Найти все значения переменной x, при которых все указанные функции y=sqrt(11+24x-17x^2), y=arccos(x^2-2x+1), y=_3(x^2) имеют смысл и хотя бы одна из них обращается в нуль.

Нужно одновременно выполнить два требования: все три функции должны быть определены и хотя бы одна из них должна обращаться в нуль. Поэтому сначала найдём **общую область определения** (пересечение трёх условий), а затем выберем из неё те точки, где обнуляется хотя бы одна функция. **Условия определённости.** 1) Для y=sqrt(11+24x-17x^2) нужно 11+24x-17x^2 0. Корни квадратного трёхчлена находим по формуле: x=(-24+-sqrt(24^2+4*17*11))/(2*(-17))=(24-+sqrt(576+748))/(34)=(24-+sqrt(1324))/(34)=(12-+sqrt(331))/(17), поскольку 1324=4*331 и sqrt(1324)=2sqrt(331). Старший коэффициент -17<0, поэтому трёхчлен неотрицателен между корнями: 11+24x-17x^2 0 (12-sqrt(331))/(17) x (12+sqrt(331))/(17). Численно (12-sqrt(331))/(17)~-0,364 и (12+sqrt(331))/(17)~1,776. 2) Для y=arccos(x^2-2x+1) нужно, чтобы аргумент лежал в отрезке [-1,1]. Заметим, что x^2-2x+1=(x-1)^2 0, так что левая граница -1 выполнена автоматически. Остаётся (x-1)^2 1 |x-1| 1 0 x 2. 3) Для y=_3(x^2) нужно x^2>0, то есть x!= 0. **Пересечение.** Совмещая три условия, получаем [(12-sqrt(331))/(17), (12+sqrt(331))/(17)]n[0,2]nx!= 0. Так как (12-sqrt(331))/(17)<0 и (12+sqrt(331))/(17)~1,776<2, пересечение первых двух отрезков есть [0, (12+sqrt(331))/(17)]; выбрасывая точку x=0, приходим к общей области определения D=(0, (12+sqrt(331))/(17)]. **Нули функций.** Теперь найдём, где каждая функция обращается в нуль, и отберём попадающие в D. - Корень: sqrt(11+24x-17x^2)=0 11+24x-17x^2=0 x=(12-sqrt(331))/(17) или x=(12+sqrt(331))/(17). Первый корень отрицателен и не входит в D; второй есть правый конец D и принадлежит D. Значит, подходит x=(12+sqrt(331))/(17). - Арккосинус: arccos((x-1)^2)=0 (x-1)^2=1 x=0 или x=2. Точка x=0 исключена из D (там не определён логарифм), а x=2not in D, поскольку 2>(12+sqrt(331))/(17). Новых решений нет. - Логарифм: _3(x^2)=0 x^2=1 x=1 или x=-1. Точка x=-1not in D, а x=1in D, так как 0<1(12+sqrt(331))/(17). Значит, подходит x=1. **Проверка отобранных точек на принадлежность D.** При x=1: подкоренное выражение 11+24-17=18 0; аргумент арккосинуса (1-1)^2=0in[-1,1]; x=1!= 0 — все функции определены. При этом _3(1)=0. При x=(12+sqrt(331))/(17): по построению это правый конец отрезка, где 11+24x-17x^2=0 0; аргумент арккосинуса (x-1)^2~0,602in[-1,1]; x!= 0 — все функции определены. При этом сам корень равен нулю. Других точек в D, обнуляющих хотя бы одну функцию, нет. **Ответ:** x=1 и x=(12+sqrt(331))/(17).

\(1 и \dfrac{12+\sqrt{331}}{17}\)