Задача №18281

Найти все значения переменной $x\text{,}$ при которых все указанные функции

$$y=\sqrt{11+24x-17x^2},y=\arccos \left(x^2-2x+1\right),y={\log }_3\left(x^2\right)$$

имеют смысл и хотя бы одна из них обращается в нуль.

Нужно одновременно выполнить два требования: все три функции должны быть определены и хотя бы одна из них должна обращаться в нуль. Поэтому сначала найдём общую область определения (пересечение трёх условий), а затем выберем из неё те точки, где обнуляется хотя бы одна функция.

Условия определённости.

1) Для $y=\sqrt{11+24x-17x^2}$ нужно $11+24x-17x^2⩾0\text{.}$ Корни квадратного трёхчлена находим по формуле:

$$x=\frac{-24\pm \sqrt{24^2+4\cdot 17\cdot 11}}{2\cdot (-17)}=\frac{24\mp \sqrt{576+748}}{34}=\frac{24\mp \sqrt{1324}}{34}=\frac{12\mp \sqrt{331}}{17},$$

поскольку $1324=4\cdot 331$ и $\sqrt{1324}=2\sqrt{331}\text{.}$ Старший коэффициент $-17<0\text{,}$ поэтому трёхчлен неотрицателен между корнями:

$$11+24x-17x^2⩾0⟺\frac{12-\sqrt{331}}{17}⩽x⩽\frac{12+\sqrt{331}}{17}.$$

Численно $\frac{12-\sqrt{331}}{17}\approx -0,364$ и $\frac{12+\sqrt{331}}{17}\approx 1,776\text{.}$

2) Для $y=\arccos \left(x^2-2x+1\right)$ нужно, чтобы аргумент лежал в отрезке $[-1,1]\text{.}$ Заметим, что $x^2-2x+1=(x-1{)}^2⩾0\text{,}$ так что левая граница $-1$ выполнена автоматически. Остаётся

$$(x-1{)}^2⩽1⟺|x-1|⩽1⟺0⩽x⩽2.$$

3) Для $y={\log }_3\left(x^2\right)$ нужно $x^2>0\text{,}$ то есть $x\ne 0\text{.}$

Пересечение. Совмещая три условия, получаем

$$\left[\frac{12-\sqrt{331}}{17},\frac{12+\sqrt{331}}{17}\right]\cap [0,2]\cap \{x\ne 0\}.$$

Так как $\frac{12-\sqrt{331}}{17}<0$ и $\frac{12+\sqrt{331}}{17}\approx 1,776<2\text{,}$ пересечение первых двух отрезков есть $\left[0,\frac{12+\sqrt{331}}{17}\right]\text{;}$ выбрасывая точку $x=0\text{,}$ приходим к общей области определения

$$D=\left(0,\frac{12+\sqrt{331}}{17}\right].$$

Нули функций. Теперь найдём, где каждая функция обращается в нуль, и отберём попадающие в $D\text{.}$

• Корень: $\sqrt{11+24x-17x^2}=0⟺11+24x-17x^2=0⟺x=\frac{12-\sqrt{331}}{17}$ или $x=\frac{12+\sqrt{331}}{17}\text{.}$ Первый корень отрицателен и не входит в $D\text{;}$ второй есть правый конец $D$ и принадлежит $D\text{.}$ Значит, подходит $x=\frac{12+\sqrt{331}}{17}\text{.}$

• Арккосинус: $\arccos \left((x-1{)}^2\right)=0⟺(x-1{)}^2=1⟺x=0$ или $x=2\text{.}$ Точка $x=0$ исключена из $D$ (там не определён логарифм), а $x=2\notin D\text{,}$ поскольку $2>\frac{12+\sqrt{331}}{17}\text{.}$ Новых решений нет.

• Логарифм: ${\log }_3\left(x^2\right)=0⟺x^2=1⟺x=1$ или $x=-1\text{.}$ Точка $x=-1\notin D\text{,}$ а $x=1\in D\text{,}$ так как $0<1⩽\frac{12+\sqrt{331}}{17}\text{.}$ Значит, подходит $x=1\text{.}$

Проверка отобранных точек на принадлежность $D\text{.}$

При $x=1\text{:}$ подкоренное выражение $11+24-17=18⩾0\text{;}$ аргумент арккосинуса $(1-1{)}^2=0\in [-1,1]\text{;}$ $x=1\ne 0$ — все функции определены. При этом ${\log }_3(1)=0\text{.}$

При $x=\frac{12+\sqrt{331}}{17}\text{:}$ по построению это правый конец отрезка, где $11+24x-17x^2=0⩾0\text{;}$ аргумент арккосинуса $(x-1{)}^2\approx 0,602\in [-1,1]\text{;}$ $x\ne 0$ — все функции определены. При этом сам корень равен нулю.

Других точек в $D\text{,}$ обнуляющих хотя бы одну функцию, нет.

Ответ: $x=1$ и $x=\frac{12+\sqrt{331}}{17}\text{.}$