Задача №18287

В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна 38, а медиана $CM$ наклонена к $AB$ под углом $40^{\circ }$ и равна 19. В этот треугольник вписана окружность. Найти периметр треугольника, вписанного в эту окружность и подобного треугольнику $ABC\text{.}$

Пусть $M$ — середина стороны $AB\text{,}$ так что $CM$ — медиана. По условию $AB=38\text{,}$ значит $AM=MB=19\text{,}$ а медиана $CM=19\text{.}$ Получаем равенства

Треугольник прямоугольный. Точка $M$ равноудалена от $A\text{,}$ $B$ и $C$ на расстояние $19\text{,}$ поэтому все три вершины лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $19\text{.}$ Сторона $AB=38=2\cdot 19$ служит диаметром этой окружности. Вписанный угол $\angle ACB\text{,}$ опирающийся на диаметр, прямой (теорема, обратная к теореме о вписанном угле): $\angle ACB=90^{\circ }\text{.}$ Итак, треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AB\text{,}$ а окружность с центром $M$ — это его описанная окружность. Следовательно, её радиус есть радиус описанной окружности треугольника $ABC\text{:}$

Условие про угол наклона медианы. Треугольник $BMC$ равнобедренный ($MB=MC=19$); угол при основании, то есть угол наклона медианы $CM$ к прямой $AB\text{,}$ равен $40^{\circ }\text{.}$ Это условие однозначно определяет форму треугольника (а вместе с ним и катеты), но для искомого периметра нам понадобится лишь связь, которую оно даёт через площадь, — см. ниже. Здесь существенно, что треугольник $ABC$ полностью задан и невырожден.

Что требуется найти. В треугольник $ABC$ вписана окружность; обозначим её радиус через $r\text{.}$ Рассматривается треугольник, вписанный в эту вписанную окружность и подобный треугольнику $ABC\text{.}$ Для треугольника, подобного $ABC\text{,}$ описанной окружностью служит данная окружность радиуса $r$ (он вписан именно в неё), тогда как у самого $ABC$ радиус описанной окружности равен $R\text{.}$ У подобных треугольников все линейные элементы — в том числе радиусы описанных окружностей и периметры — пропорциональны с одним и тем же коэффициентом. Поэтому коэффициент подобия равен

и периметр искомого треугольника

где $P_{ABC}$ — периметр треугольника $ABC\text{.}$

Вычисление отношения. Для любого треугольника площадь $S=\frac{1}{2}r{P}_{ABC}$ (полупериметр на радиус вписанной окружности), откуда

С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника $ABC$ удобно посчитать через основание $AB$ и высоту, опущенную на него из вершины $C\text{.}$ Эта высота равна расстоянию от $C$ до прямой $AB\text{,}$ то есть

Тогда

Подставляя $R=19\text{,}$ получаем

Ответ: периметр искомого треугольника равен $38\sin 40^{\circ }\text{.}$

Замечание о корректности: подстановка коэффициента $k=r/R$ законна, поскольку любой треугольник, подобный $ABC$ и вписанный в данную окружность, имеет эту окружность своей описанной, а радиус описанной окружности — линейная характеристика, масштабирующаяся вместе с периметром. Сам угол $40^{\circ }$ фиксирует конкретные катеты (например, $CA=2R\cos \alpha \text{,}$ $CB=2R\sin \alpha$ с $\alpha$ — острым углом при $A$), но в окончательную формулу периметра он входит лишь через высоту $h_C=19\sin 40^{\circ }\text{,}$ и финальный результат $38\sin 40^{\circ }$ не зависит от того, какой именно из двух острых углов считать углом при $A\text{.}$