В треугольнике ABC сторона AB равна 38, а медиана CM наклонена к AB под углом 40^ и равна 19. В этот треугольник вписана окружность. Найти периметр треугольника, вписанного в эту окружность и подобного треугольнику ABC.

Пусть M — середина стороны AB, так что CM — медиана. По условию AB=38, значит AM=MB=19, а медиана CM=19. Получаем равенства AM=MB=MC=19. **Треугольник прямоугольный.** Точка M равноудалена от A, B и C на расстояние 19, поэтому все три вершины лежат на окружности с центром M и радиусом 19. Сторона AB=38=2* 19 служит диаметром этой окружности. Вписанный угол ACB, опирающийся на диаметр, прямой (теорема, обратная к теореме о вписанном угле): ACB=90^. Итак, треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AB, а окружность с центром M — это его описанная окружность. Следовательно, её радиус есть радиус описанной окружности треугольника ABC: R=(AB)/(2)=19. **Условие про угол наклона медианы.** Треугольник BMC равнобедренный (MB=MC=19); угол при основании, то есть угол наклона медианы CM к прямой AB, равен 40^. Это условие однозначно определяет форму треугольника (а вместе с ним и катеты), но для искомого периметра нам понадобится лишь связь, которую оно даёт через площадь, — см. ниже. Здесь существенно, что треугольник ABC полностью задан и невырожден. **Что требуется найти.** В треугольник ABC вписана окружность; обозначим её радиус через r. Рассматривается треугольник, **вписанный в эту вписанную окружность** и **подобный** треугольнику ABC. Для треугольника, подобного ABC, описанной окружностью служит данная окружность радиуса r (он вписан именно в неё), тогда как у самого ABC радиус описанной окружности равен R. У подобных треугольников все линейные элементы — в том числе радиусы описанных окружностей и периметры — пропорциональны с одним и тем же коэффициентом. Поэтому коэффициент подобия равен k=(r)/(R), и периметр искомого треугольника P'=k* P_(ABC)=(r)/(R)P_(ABC), где P_(ABC) — периметр треугольника ABC. **Вычисление отношения.** Для любого треугольника площадь S=(1)/(2)rP_(ABC) (полупериметр на радиус вписанной окружности), откуда rP_(ABC)=2S. С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника ABC удобно посчитать через основание AB и высоту, опущенную на него из вершины C. Эта высота равна расстоянию от C до прямой AB, то есть h_C=CM*sin 40^=19sin 40^. Тогда S=(1)/(2)AB* h_C=(1)/(2)* 38* 19sin 40^=361sin 40^. Подставляя R=19, получаем P'=(rP_(ABC))/(R)=(2S)/(R)=(2* 361sin 40^)/(19)=(722sin 40^)/(19)=38sin 40^. **Ответ:** периметр искомого треугольника равен 38sin 40^. Замечание о корректности: подстановка коэффициента k=r/R законна, поскольку любой треугольник, подобный ABC и вписанный в данную окружность, имеет эту окружность своей описанной, а радиус описанной окружности — линейная характеристика, масштабирующаяся вместе с периметром. Сам угол 40^ фиксирует конкретные катеты (например, CA=2R, CB=2R с alpha — острым углом при A), но в окончательную формулу периметра он входит лишь через высоту h_C=19sin 40^, и финальный результат 38sin 40^ не зависит от того, какой именно из двух острых углов считать углом при A.

\(38\sin 40^\circ\)