58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T628,Дана система линейных уравнений \[\begin{cases}a+2b=4\\ b+2c=5\\ c+2a=6.\end{cases}\] Сложим все три уравнения почленно. В левой части каждая из переменных встречается с коэффициентами $1$ и $2$: \[(a+2b)+(b+2c)+(c+2a)=(a+c+2a)+\ldots=3a+3b+3c.\] Точнее, $a$ входит в первое и третье уравнения ($a+2a=3a$), $b$ — в первое и второе ($2b+b=3b$), $c$ — во второе и третье ($2c+c=3c$). Поэтому сумма левых частей равна $3(a+b+c)$, а сумма правых равна $4+5+6=15$: \[3(a+b+c)=15\ \Longrightarrow\ a+b+c=5.\] Этого достаточно для ответа, но убедимся, что система совместна и имеет единственное решение (определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля). Выразим переменные. Из первого уравнения $a=4-2b$; подставим в третье: $c+2(4-2b)=6\Rightarrow c=4b-2$. Подставим $c=4b-2$ во второе: $b+2(4b-2)=5\Rightarrow 9b-4=5\Rightarrow b=1$. Тогда $a=4-2\cdot1=2$, $c=4\cdot1-2=2$. Итак, единственное решение $(a,b,c)=(2,1,2)$. Проверка подстановкой: $a+2b=2+2=4$ (верно), $b+2c=1+4=5$ (верно), $c+2a=2+4=6$ (верно). Следовательно, $a+b+c=2+1+2=5$.5c:T756,Запись $\log_7^2 x$ означает $(\log_7 x)^2$. Область допустимых значений: основание логарифма требует $x>0$ (только при таких $x$ определены $\log_7 x$ и степень $x^{\log_7 x}$). Введём замену $t=\log_7 x$, где $t$ пробегает всю вещественную ось при $x>0$. Преобразуем оба слагаемых к одному основанию. Первое слагаемое: $7^{\log_7^2 x}=7^{t^2}$. Второе слагаемое: так как $x=7^{t}$, имеем \[x^{\log_7 x}=\left(7^{t}\right)^{t}=7^{t^2}.\] Поэтому при всех $x>0$ исходное неравенство равносильно \[7^{t^2}+2\cdot 7^{t^2}<21 \iff 3\cdot 7^{t^2}<21 \iff 7^{t^2}<7.\] Поскольку показательная функция с основанием $7>1$ строго возрастает, последнее неравенство равносильно $t^2<1$, то есть \[-11\), получаем \[7^{-1}0\) и $(a-b)^2=196-168=28>0$, то есть существуют действительные различные положительные катеты $a,b$. Конфигурация реализуема. Ответ: $AB=14$.5e:Taf8,Требуется найти все пары $(a,b)$, при которых \[4a(x+2)^4+7b(x-2)^4\leqslant x^4+24x^2+16\] выполняется для всех вещественных $x$. Ключевое наблюдение — правая часть есть полусумма четвёртых степеней. Раскрывая, \[(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16,\qquad (x-2)^4=x^4-8x^3+24x^2-32x+16,\] складывая, получаем \[(x+2)^4+(x-2)^4=2x^4+48x^2+32=2\bigl(x^4+24x^2+16\bigr),\] то есть \[x^4+24x^2+16=\frac{(x+2)^4+(x-2)^4}{2}.\] Введём обозначения $u=(x+2)^4\geqslant0$ и $v=(x-2)^4\geqslant0$. Тогда неравенство равносильно \[4a\,u+7b\,v\leqslant\frac{u+v}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \Bigl(4a-\tfrac12\Bigr)u+\Bigl(7b-\tfrac12\Bigr)v\leqslant0\qquad(\ast)\] и оно должно выполняться при всех $x$. Необходимость. Подставим частные значения $x$, при которых одна из скобок обнуляется (и обе величины $u,v$ определены, ОДЗ — вся ось, ограничений нет): \[x=2:\quad v=(x-2)^4=0,\ \ u=(x+2)^4=4^4=256>0\ \Rightarrow\ \Bigl(4a-\tfrac12\Bigr)\cdot256\leqslant0\ \Rightarrow\ a\leqslant\tfrac18;\] \[x=-2:\quad u=(x+2)^4=0,\ \ v=(x-2)^4=(-4)^4=256>0\ \Rightarrow\ \Bigl(7b-\tfrac12\Bigr)\cdot256\leqslant0\ \Rightarrow\ b\leqslant\tfrac1{14}.\] Итак, условия $a\leqslant\tfrac18$ и $b\leqslant\tfrac1{14}$ необходимы. Достаточность. Пусть $a\leqslant\tfrac18$ и $b\leqslant\tfrac1{14}$. Тогда $4a-\tfrac12\leqslant0$ и $7b-\tfrac12\leqslant0$. Поскольку $u=(x+2)^4\geqslant0$ и $v=(x-2)^4\geqslant0$ при любом $x$, каждое слагаемое в $(\ast)$ неположительно, значит и их сумма неположительна: \[\Bigl(4a-\tfrac12\Bigr)u+\Bigl(7b-\tfrac12\Bigr)v\leqslant0\quad\text{для всех }x.\] Следовательно исходное неравенство выполняется при всех вещественных $x$. Проверка краёв (граница достигается): при $a=\tfrac18,\ b=\tfrac1{14}$ скобки равны нулю, неравенство обращается в тождество $0\leqslant0$; равенство в исходном достигается при $x=2$ (тогда $v=0$) и при $x=-2$ (тогда $u=0$). Граница включается, посторонних значений нет. Ответ: множество пар — замкнутая четверть-плоскость $a\leqslant\dfrac18,\ b\leqslant\dfrac1{14}$.5f:T1dcd,Пусть рёбра параллелепипеда равны $p=1$, $q=\sqrt{3}$, $r=3$. Разместим параллелепипед в прямоугольной системе координат так, что его вершины суть точки $(x,y,z)$ с $x\in\{0,p\}$, $y\in\{0,q\}$, $z\in\{0,r\}$. **Описанная сфера.** Центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, совпадает с его центром симметрии $O=\left(\dfrac{p}{2},\dfrac{q}{2},\dfrac{r}{2}\right)$, а её радиус равен половине пространственной диагонали: \[R=\frac{1}{2}\sqrt{p^2+q^2+r^2}=\frac{1}{2}\sqrt{1+3+9}=\frac{\sqrt{13}}{2}.\] **Секущая плоскость.** Плоскость $\pi$ проходит через три вершины и отсекает тетраэдр, значит она проходит через три вершины, смежные с одной (отсекаемой) вершиной. В силу симметрии параллелепипеда можно взять отсекаемой вершину $(0,0,0)$; тогда $\pi$ проходит через $(p,0,0)$, $(0,q,0)$, $(0,0,r)$ и задаётся уравнением \[\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=1.\] (Для любой из восьми вершин расстояние от центра $O$ до соответствующей плоскости одно и то же, поэтому выбор вершины не влияет на ответ.) Найдём расстояние $h$ от центра $O$ до плоскости $\pi$. Нормаль к $\pi$ есть вектор $\vec n=\left(\dfrac1p,\dfrac1q,\dfrac1r\right)$, а уравнение плоскости в виде $\vec n\cdot X=1$. Тогда \[h=\frac{\bigl|\vec n\cdot O-1\bigr|}{|\vec n|}=\frac{\left|\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{p^2}\cdot p^2+\dfrac{1}{q^2}\cdot q^2+\dfrac{1}{r^2}\cdot r^2\right)\cdot\tfrac{1}{1}-1\right|}{|\vec n|}.\] Подставим $p=1,\ q=\sqrt3,\ r=3$. Имеем \[\vec n=\left(1,\ \frac{1}{\sqrt3},\ \frac13\right),\qquad \vec n\cdot O=\frac12\cdot1+\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac13\cdot\frac32=\frac12+\frac12+\frac12=\frac32,\] \[|\vec n|=\sqrt{1+\frac13+\frac19}=\sqrt{\frac{13}{9}}=\frac{\sqrt{13}}{3}.\] Следовательно \[h=\frac{\left|\frac32-1\right|}{\frac{\sqrt{13}}{3}}=\frac{\frac12\cdot 3}{\sqrt{13}}=\frac{3}{2\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{26}.\] Поскольку $00$, его расстояние до плоскости равно $h+s$; из $|s|=R-\rho$ получаем $s=R-\rho$, значит \[\rho_{\text{б}}=h+s=h+(R-\rho_{\text{б}})\ \Longrightarrow\ 2\rho_{\text{б}}=R+h\ \Longrightarrow\ \rho_{\text{б}}=\frac{R+h}{2}.\] Для меньшего сегмента (он примыкает к отсекаемой вершине и не содержит $O$) центр шара лежит со стороны плоскости, противоположной $O$, при $s<0$; его расстояние до плоскости равно $|s|-h=(R-\rho)-h$, откуда \[\rho_{\text{м}}=(R-\rho_{\text{м}})-h\ \Longrightarrow\ 2\rho_{\text{м}}=R-h\ \Longrightarrow\ \rho_{\text{м}}=\frac{R-h}{2}.\] (Оба значения положительны, так как $00$. Из $\sin x=\frac18$ на $(-\pi,\pi]$ ровно два корня: $x=\alpha$ и $x=\pi-\alpha$. Из $\sin y=\frac{3\sqrt{7}}{8}$ на $(-\pi,\pi]$: так как $\frac{3\sqrt{7}}{8}=\cos\alpha=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$, имеем $y=\frac{\pi}{2}-\alpha$ или $y=\pi-\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\frac{\pi}{2}+\alpha$. Получаем 4 кандидата; проверяем третье уравнение $\sin\frac{x+y}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$: - $x=\alpha,\ y=\frac{\pi}{2}-\alpha$: $\frac{x+y}{2}=\frac{\pi}{4}$, $\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$ — **подходит**; - $x=\alpha,\ y=\frac{\pi}{2}+\alpha$: $\frac{x+y}{2}=\frac{\pi}{4}+\alpha$, $\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\approx0{,}790\ne\frac{\sqrt2}{2}$ — не подходит; - $x=\pi-\alpha,\ y=\frac{\pi}{2}-\alpha$: $\frac{x+y}{2}=\frac{3\pi}{4}-\alpha$, $\sin\left(\frac{3\pi}{4}-\alpha\right)\approx0{,}790\ne\frac{\sqrt2}{2}$ — не подходит; - $x=\pi-\alpha,\ y=\frac{\pi}{2}+\alpha$: $\frac{x+y}{2}=\frac{3\pi}{4}$, $\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$ — **подходит**. **Проверка диапазона и подстановка.** Обе подошедшие пары лежат в $(-\pi,\pi]$: $x\in\{\alpha,\pi-\alpha\}\subset(0,\pi)$, $y\in\{\frac{\pi}{2}-\alpha,\frac{\pi}{2}+\alpha\}\subset(0,\pi)$. Подстановка в исходные уравнения обращает каждое слагаемое первого уравнения в $3\sqrt{7}$ (сумма $9\sqrt7$), а каждое слагаемое второго — в $\frac{3\sqrt7}{8}$ (сумма $\frac{9\sqrt7}{8}$); оба уравнения выполняются точно. Посторонних корней нет, граничные случаи перебраны. **Ответ.** Ровно две пары: \[\left(\arcsin\frac18,\ \frac{\pi}{2}-\arcsin\frac18\right)\quad\text{и}\quad\left(\pi-\arcsin\frac18,\ \frac{\pi}{2}+\arcsin\frac18\right).\] Эквивалентно: $y_1=\arccos\frac18$, $y_2=\pi-\arccos\frac18$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2019 — вариант 3\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2019 — вариант 3\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2019-v3\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T10:50:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2019 — вариант 3\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2019 — вариант 3-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2019 — вариант 3"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2019-v3","serverCollection":{"id":"05f19e0e-bf97-460a-809a-08290af384cc","name":"ДВИ МГУ 2019 — вариант 3","code":"dvi-math-2019-v3","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://pk.math.msu.ru/wp-content/uploads/2025/06/dvi_2019.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2019 года, вариант 3","visible_problem_count":8,"year":2019},"created_at":"2026-06-10T10:50:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"141b7bee-89ed-4e09-abdd-11e361b6985a","collection_id":"05f19e0e-bf97-460a-809a-08290af384cc","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"141b7bee-89ed-4e09-abdd-11e361b6985a","short_id":18024,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Найдите наибольшее целое число, не превосходящее \$\\sqrt{2019\\cdot 2009-2007\\cdot 2021}\$.","answer_text":"\$4\$","answer":"\$4\$","solution_text":"Нужно вычислить подкоренное выражение, а затем найти его целую часть (наибольшее целое число, не превосходящее значения корня).\n\nУдобно записать все четыре сомножителя как отклонения от одного и того же центра. Возьмём \$m=2014\$; тогда\n\\[2019=m+5,\\qquad 2009=m-5,\\qquad 2007=m-7,\\qquad 2021=m+7.\\]\n\nПрименяя формулу разности квадратов, получаем\n\\[2019\\cdot 2009=(m+5)(m-5)=m^2-25,\\qquad 2007\\cdot 2021=(m-7)(m+7)=m^2-49.\\]\n\nПоэтому подкоренное выражение равно\n\\[2019\\cdot 2009-2007\\cdot 2021=(m^2-25)-(m^2-49)=-25+49=24.\\]\n\nСлагаемое \$m^2\$ сократилось, так что значение не зависит от выбора центра, и\n\\[\\sqrt{2019\\cdot 2009-2007\\cdot 2021}=\\sqrt{24}=2\\sqrt{6}.\\]\n\nОценим это число между соседними целыми. Так как \$4^2=16\$ и \$5^2=25\$, то\n\\[16\\leqslant 24<25\\iff 4\\leqslant\\sqrt{24}<5,\\]\nпричём левое неравенство строгое (\$24\\ne 16\$), то есть \$4<\\sqrt{24}<5\$. Следовательно, наибольшее целое число, не превосходящее \$\\sqrt{24}\$, равно \$4\$ (численно \$\\sqrt{24}\\approx 4{,}899\$).\n\nОтвет: \$4\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://pk.math.msu.ru/wp-content/uploads/2025/06/dvi_2019_ans.pdf","variant":"июль 2019 года, вариант 3","variant_key":"2019-v3","year":2019},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"31d4e4b7-a2c1-4cbd-85ff-1aa0dec4e314","code":"tag-45","name":"Сравнение чисел"},{"id":"da67531d-0011-489f-adab-84744c7aa977","code":"tag-208","name":"Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени"}]}},{"problem_id":"2c5a2c6c-3b02-4392-b0ad-7da229cd31c3","collection_id":"05f19e0e-bf97-460a-809a-08290af384cc","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"2c5a2c6c-3b02-4392-b0ad-7da229cd31c3","short_id":18025,"task_number":17,"topic_id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Найдите \$a+b+c\$, если известно, что \$a+2b=4\$, \$b+2c=5\$, \$c+2a=6\$.","answer_text":"\$5\$","answer":"\$5\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://pk.math.msu.ru/wp-content/uploads/2025/06/dvi_2019_ans.pdf","variant":"июль 2019 года, вариант 3","variant_key":"2019-v3","year":2019},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","name":"Системы уравнений","description":null},"tags":[{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"f8f70776-3b01-443a-9a7a-93f65d491a5f","code":"tag-239","name":"Линейные уравнения и неравенства"}]}},{"problem_id":"ea28d3ff-6813-4b6d-a38a-2d74d42b00aa","collection_id":"05f19e0e-bf97-460a-809a-08290af384cc","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"ea28d3ff-6813-4b6d-a38a-2d74d42b00aa","short_id":18026,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Решите уравнение \$7\\sin x+4\\cos 2x=3\$.","answer_text":"\$x = \\pi/2+2k\\pi,\\ (-1)^{k+1}\\arcsin\\frac{1}{8}+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = \\pi/2+2k\\pi,\\ (-1)^{k+1}\\arcsin\\frac{1}{8}+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"Решим уравнение \$7\\sin x+4\\cos 2x=3\$.\n\nВоспользуемся тождеством \$\\cos 2x=1-2\\sin^2 x\$ (справедливо для всех \$x\$, поэтому преобразование равносильное, ОДЗ всей вещественной прямой не сужается):\n\\[7\\sin x+4(1-2\\sin^2 x)=3 \\iff -8\\sin^2 x+7\\sin x+1=0 \\iff 8\\sin^2 x-7\\sin x-1=0.\\]\n\nОбозначим \$t=\\sin x\$, где \$t\\in[-1,1]\$. Получаем квадратное уравнение\n\\[8t^2-7t-1=0 \\iff (t-1)(8t+1)=0 \\iff t=1 \\quad\\text{или}\\quad t=-\\frac{1}{8}.\\]\nОба корня лежат в \$[-1,1]\$, значит оба допустимы (постороних корней нет).\n\n1) \$\\sin x=1 \\iff x=\\dfrac{\\pi}{2}+2k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}.\$\n\n2) \$\\sin x=-\\dfrac{1}{8} \\iff x=(-1)^{n}\\arcsin\\!\\left(-\\dfrac{1}{8}\\right)+n\\pi=(-1)^{n+1}\\arcsin\\dfrac{1}{8}+n\\pi,\\ n\\in\\mathbb{Z}.\$\n\nПоскольку синус и косинус определены на всей числовой прямой, ограничений ОДЗ нет; преобразование было равносильным, поэтому все найденные значения являются решениями, и других нет.\n\nОтвет:\n\\[x=\\frac{\\pi}{2}+2k\\pi,\\qquad x=(-1)^{k+1}\\arcsin\\frac{1}{8}+k\\pi,\\qquad k\\in\\mathbb{Z}.\\]","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://pk.math.msu.ru/wp-content/uploads/2025/06/dvi_2019_ans.pdf","variant":"июль 2019 года, вариант 3","variant_key":"2019-v3","year":2019},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"8129def1-13cf-4b56-83b0-0da8a46f5b3f","collection_id":"05f19e0e-bf97-460a-809a-08290af384cc","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"8129def1-13cf-4b56-83b0-0da8a46f5b3f","short_id":18027,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство \$7^{\\log_7^2 x}+2x^{\\log_7 x}<21\$.","answer_text":"\\(\\frac{1}{7}=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ