Найдите все x,y из интервала (-pi,pi], удовлетворяющие системе уравнений cases24sqrt(7)sin x+8sin y+3sqrt(14)sin(x+y)/(2)=9sqrt(7) 8sin xsin y+3sqrt(14)sin xsin(x+y)/(2)+sqrt(2)sin...

Задача №18031: Уравнения (архив)

Требуется найти все пары $(x, y)$ на $(- π, π],$ удовлетворяющие системе

⎩ ⎨ ⎧ 247 sin x + 8 sin y + 314 sin \frac{x + y}{2} = 97 8 sin x sin y + 314 sin x sin \frac{x + y}{2} + 2 sin y sin \frac{x + y}{2} = \frac{9 7}{8}

Ключевая замена. Введём

A = 247 sin x, B = 8 sin y, C = 314 sin \frac{x + y}{2} .

Тогда первое уравнение есть

A + B + C = 97 .

Левую часть второго уравнения преобразуем. Прямой проверкой (раскрытием произведений) получаем тождество

8 sin x sin y + 314 sin x sin \frac{x + y}{2} + 2 sin y sin \frac{x + y}{2} = \frac{A B + A C + B C}{24 7} .

Поэтому второе уравнение равносильно

A B + A C + B C = 247 \cdot \frac{9 7}{8} = 189.

Сведение к равенству. Возведём первое равенство в квадрат:

A^{2} + B^{2} + C^{2} + 2 (A B + A C + B C) = (97)^{2} = 567,

откуда

A^{2} + B^{2} + C^{2} = 567 - 2 \cdot 189 = 189 = A B + A C + B C .

Но

A^{2} + B^{2} + C^{2} - (A B + A C + B C) = \frac{1}{2} [(A - B)^{2} + (B - C)^{2} + (C - A)^{2}] \geq 0,

и равенство нулю достигается только при $A = B = C .$ Значит

A = B = C = \frac{A + B + C}{3} = \frac{9 7}{3} = 37 .

Три простых уравнения. Возвращаясь к исходным величинам:

247 sin x = 37 \Rightarrow sin x = \frac{1}{8}; 8 sin y = 37 \Rightarrow sin y = \frac{3 7}{8};

314 sin \frac{x + y}{2} = 37 \Rightarrow sin \frac{x + y}{2} = \frac{7}{14} = \frac{2}{2} .

Таким образом исходная система равносильна системе

sin x = \frac{1}{8}, sin y = \frac{3 7}{8}, sin \frac{x + y}{2} = \frac{2}{2} .

Перебор корней на $(- π, π] .$ Обозначим $α = arcsin \frac{1}{8} \in (0, \frac{π}{2});$ тогда $sin α = \frac{1}{8},$ а $cos α = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{8} = \frac{3 7}{8} > 0 .$

Из $sin x = \frac{1}{8}$ на $(- π, π]$ ровно два корня: $x = α$ и $x = π - α .$

Из $sin y = \frac{3 7}{8}$ на $(- π, π] :$ так как $\frac{3 7}{8} = cos α = sin (\frac{π}{2} - α),$ имеем $y = \frac{π}{2} - α$ или $y = π - (\frac{π}{2} - α) = \frac{π}{2} + α .$

Получаем 4 кандидата; проверяем третье уравнение $sin \frac{x + y}{2} = \frac{2}{2} :$

$x = α, y = \frac{π}{2} - α :$ $\frac{x + y}{2} = \frac{π}{4},$ $sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ — подходит;
$x = α, y = \frac{π}{2} + α :$ $\frac{x + y}{2} = \frac{π}{4} + α,$ $sin (\frac{π}{4} + α) \approx 0, 790 \neq = \frac{2}{2}$ — не подходит;
$x = π - α, y = \frac{π}{2} - α :$ $\frac{x + y}{2} = \frac{3 π}{4} - α,$ $sin (\frac{3 π}{4} - α) \approx 0, 790 \neq = \frac{2}{2}$ — не подходит;
$x = π - α, y = \frac{π}{2} + α :$ $\frac{x + y}{2} = \frac{3 π}{4},$ $sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}$ — подходит.

Проверка диапазона и подстановка. Обе подошедшие пары лежат в $(- π, π] :$ $x \in {α, π - α} \subset (0, π),$ $y \in {\frac{π}{2} - α, \frac{π}{2} + α} \subset (0, π) .$ Подстановка в исходные уравнения обращает каждое слагаемое первого уравнения в $37$ (сумма $97$ ), а каждое слагаемое второго — в $\frac{3 7}{8}$ (сумма $\frac{9 7}{8}$ ); оба уравнения выполняются точно. Посторонних корней нет, граничные случаи перебраны.

Ответ. Ровно две пары:

(arcsin \frac{1}{8}, \frac{π}{2} - arcsin \frac{1}{8}) и (π - arcsin \frac{1}{8}, \frac{π}{2} + arcsin \frac{1}{8}) .

Эквивалентно: $y_{1} = arccos \frac{1}{8},$ $y_{2} = π - arccos \frac{1}{8} .$

Требуется найти все пары $(x, y)$ на $(- π, π],$ удовлетворяющие системе

⎩ ⎨ ⎧ 247 sin x + 8 sin y + 314 sin \frac{x + y}{2} = 97 8 sin x sin y + 314 sin x sin \frac{x + y}{2} + 2 sin y sin \frac{x + y}{2} = \frac{9 7}{8}

Ключевая замена. Введём

A = 247 sin x, B = 8 sin y, C = 314 sin \frac{x + y}{2} .

Тогда первое уравнение есть

A + B + C = 97 .

Левую часть второго уравнения преобразуем. Прямой проверкой (раскрытием произведений) получаем тождество

8 sin x sin y + 314 sin x sin \frac{x + y}{2} + 2 sin y sin \frac{x + y}{2} = \frac{A B + A C + B C}{24 7} .

Поэтому второе уравнение равносильно

A B + A C + B C = 247 \cdot \frac{9 7}{8} = 189.

Сведение к равенству. Возведём первое равенство в квадрат:

A^{2} + B^{2} + C^{2} + 2 (A B + A C + B C) = (97)^{2} = 567,

откуда

A^{2} + B^{2} + C^{2} = 567 - 2 \cdot 189 = 189 = A B + A C + B C .

Но

A^{2} + B^{2} + C^{2} - (A B + A C + B C) = \frac{1}{2} [(A - B)^{2} + (B - C)^{2} + (C - A)^{2}] \geq 0,

и равенство нулю достигается только при $A = B = C .$ Значит

A = B = C = \frac{A + B + C}{3} = \frac{9 7}{3} = 37 .

Три простых уравнения. Возвращаясь к исходным величинам:

247 sin x = 37 \Rightarrow sin x = \frac{1}{8}; 8 sin y = 37 \Rightarrow sin y = \frac{3 7}{8};

314 sin \frac{x + y}{2} = 37 \Rightarrow sin \frac{x + y}{2} = \frac{7}{14} = \frac{2}{2} .

Таким образом исходная система равносильна системе

sin x = \frac{1}{8}, sin y = \frac{3 7}{8}, sin \frac{x + y}{2} = \frac{2}{2} .

Из $sin x = \frac{1}{8}$ на $(- π, π]$ ровно два корня: $x = α$ и $x = π - α .$

Получаем 4 кандидата; проверяем третье уравнение $sin \frac{x + y}{2} = \frac{2}{2} :$

$x = α, y = \frac{π}{2} - α :$ $\frac{x + y}{2} = \frac{π}{4},$ $sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ — подходит;
$x = α, y = \frac{π}{2} + α :$ $\frac{x + y}{2} = \frac{π}{4} + α,$ $sin (\frac{π}{4} + α) \approx 0, 790 \neq = \frac{2}{2}$ — не подходит;
$x = π - α, y = \frac{π}{2} - α :$ $\frac{x + y}{2} = \frac{3 π}{4} - α,$ $sin (\frac{3 π}{4} - α) \approx 0, 790 \neq = \frac{2}{2}$ — не подходит;
$x = π - α, y = \frac{π}{2} + α :$ $\frac{x + y}{2} = \frac{3 π}{4},$ $sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}$ — подходит.

Ответ. Ровно две пары:

(arcsin \frac{1}{8}, \frac{π}{2} - arcsin \frac{1}{8}) и (π - arcsin \frac{1}{8}, \frac{π}{2} + arcsin \frac{1}{8}) .

Эквивалентно: $y_{1} = arccos \frac{1}{8},$ $y_{2} = π - arccos \frac{1}{8} .$

Задача №18031

Задача #18031

Решай похожие задачи

Информация

Задача №18031

Задача #18031

Решай похожие задачи

Информация

Задача #18031

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #18031

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация