Решите уравнение 7sinx+4cos2x=3.
Решим уравнение 7sinx+4cos2x=3.
Воспользуемся тождеством cos2x=1−2sin2x (справедливо для всех x, поэтому преобразование равносильное, ОДЗ всей вещественной прямой не сужается):
7sinx+4(1−2sin2x)=3⟺−8sin2x+7sinx+1=0⟺8sin2x−7sinx−1=0.Обозначим t=sinx, где t∈[−1,1]. Получаем квадратное уравнение
8t2−7t−1=0⟺(t−1)(8t+1)=0⟺t=1илиt=−81.Оба корня лежат в [−1,1], значит оба допустимы (постороних корней нет).
1) sinx=1⟺x=2π+2kπ, k∈Z.
2) sinx=−81⟺x=(−1)narcsin(−81)+nπ=(−1)n+1arcsin81+nπ, n∈Z.
Поскольку синус и косинус определены на всей числовой прямой, ограничений ОДЗ нет; преобразование было равносильным, поэтому все найденные значения являются решениями, и других нет.
Ответ:
x=2π+2kπ,x=(−1)k+1arcsin81+kπ,k∈Z.Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ДВИ МГУ