Задача №18028

На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ таким образом, что $AD:DB=BE:EA=1:6\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если известно, что площадь треугольника $ABC$ равна 42, а тангенс угла $\angle DCE$ равен $5/2\text{.}$

Прямой угол треугольника $ABC$ находится в вершине $C$ (так как $AB$ — гипотенуза). Введём прямоугольную систему координат с началом в $C$ и катетами вдоль осей: $C=(0,0)\text{,}$ $A=(b,0)\text{,}$ $B=(0,a)\text{,}$ где $a=CB\text{,}$ $b=CA$ — длины катетов.

Условие на точки: $AD:DB=1:6$ и $BE:EA=1:6\text{,}$ причём $D,E$ лежат на $AB\text{.}$ Значит

откуда $D=\left(\frac{6b}{7},\frac{a}{7}\right)\text{,}$ $E=\left(\frac{b}{7},\frac{6a}{7}\right)\text{.}$

Рассмотрим угол $\angle DCE$ между векторами $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{CE}\text{.}$ Их скалярное произведение и величина векторного произведения (z-компонента):

Поэтому

(Скалярное произведение положительно, значит угол острый и тангенс положителен — деление корректно.)

Площадь прямоугольного треугольника: $S_{ABC}=\frac{1}{2}ab=42\text{,}$ откуда $ab=84\text{.}$ По теореме Пифагора $A{B}^2=a^2+b^2\text{.}$ Подставляя данное $\tan \angle DCE=\frac{5}{2}\text{:}$

Проверка существования конфигурации: при $ab=84$ и $a^2+b^2=196$ имеем $(a+b{)}^2=196+168=364>0$ и $(a-b{)}^2=196-168=28>0\text{,}$ то есть существуют действительные различные положительные катеты $a,b\text{.}$ Конфигурация реализуема.

Ответ: $AB=14\text{.}$