Задача №18027

Решите неравенство $7^{{\log }_7^{2}x}+2x^{{\log }_{7}x}<21\text{.}$

Запись ${\log }_7^{2}x$ означает $({\log }_{7}x{)}^2\text{.}$ Область допустимых значений: основание логарифма требует $x>0$ (только при таких $x$ определены ${\log }_{7}x$ и степень $x^{{\log }_{7}x}$).

Введём замену $t={\log }_{7}x\text{,}$ где $t$ пробегает всю вещественную ось при $x>0\text{.}$ Преобразуем оба слагаемых к одному основанию.

Первое слагаемое: $7^{{\log }_7^{2}x}=7^{t^2}\text{.}$

Второе слагаемое: так как $x=7^t\text{,}$ имеем

Поэтому при всех $x>0$ исходное неравенство равносильно

Поскольку показательная функция с основанием $7>1$ строго возрастает, последнее неравенство равносильно $t^2<1\text{,}$ то есть

Снова пользуясь возрастанием логарифма по основанию $7>1\text{,}$ получаем

Все найденные $x$ положительны, то есть лежат в ОДЗ; преобразования были равносильными, поэтому посторонних корней нет и решений вне найденного интервала тоже нет. Концы интервала не входят: при $x=\frac{1}{7}$ и $x=7$ имеем $t^2=1$ и левая часть равна $3\cdot 7=21\text{,}$ что не меньше $21\text{,}$ то есть строгое неравенство не выполняется.

Ответ: $\frac{1}{7}<x<7\text{.}$