Задача №18030

Плоскость $\pi$ проходит через три вершины прямоугольного параллелепипеда, отсекая от него тетраэдр. Два шара максимально возможных радиусов находятся внутри сферы, описанной около этого параллелепипеда, по разные стороны от плоскости $\pi \text{.}$ Найдите отношение радиусов этих шаров, если известно, что рёбра параллелепипеда равны $1\text{,}$ $\sqrt{3}\text{,}$ $3\text{.}$

Пусть рёбра параллелепипеда равны $p=1\text{,}$ $q=\sqrt{3}\text{,}$ $r=3\text{.}$ Разместим параллелепипед в прямоугольной системе координат так, что его вершины суть точки $(x,y,z)$ с $x\in \{0,p\}\text{,}$ $y\in \{0,q\}\text{,}$ $z\in \{0,r\}\text{.}$

Описанная сфера. Центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, совпадает с его центром симметрии $O=\left(\frac{p}{2},\frac{q}{2},\frac{r}{2}\right)\text{,}$ а её радиус равен половине пространственной диагонали:

Секущая плоскость. Плоскость $\pi$ проходит через три вершины и отсекает тетраэдр, значит она проходит через три вершины, смежные с одной (отсекаемой) вершиной. В силу симметрии параллелепипеда можно взять отсекаемой вершину $(0,0,0)\text{;}$ тогда $\pi$ проходит через $(p,0,0)\text{,}$ $(0,q,0)\text{,}$ $(0,0,r)$ и задаётся уравнением

(Для любой из восьми вершин расстояние от центра $O$ до соответствующей плоскости одно и то же, поэтому выбор вершины не влияет на ответ.)

Найдём расстояние $h$ от центра $O$ до плоскости $\pi \text{.}$ Нормаль к $\pi$ есть вектор $\vec{n}=\left(\frac{1}{p},\frac{1}{q},\frac{1}{r}\right)\text{,}$ а уравнение плоскости в виде $\vec{n}\cdot X=1\text{.}$ Тогда

Подставим $p=1,q=\sqrt{3},r=3\text{.}$ Имеем

Следовательно

Поскольку $0<h<R\text{,}$ плоскость $\pi$ пересекает описанную сферу (но не проходит через её центр), деля внутренность сферы на две части — два сферических сегмента (шаровых сегмента) по разные стороны от $\pi \text{.}$

Наибольший шар в сферическом сегменте. Рассмотрим один из двух сегментов — пересечение шара (центр $O\text{,}$ радиус $R$) с полупространством, ограниченным плоскостью $\pi \text{.}$ Это выпуклое тело, симметричное относительно прямой $\ell \text{,}$ проходящей через $O$ перпендикулярно $\pi$ (оси сегмента): любая вращение вокруг $\ell$ переводит тело в себя. Если бы центр наибольшего вписанного шара не лежал на оси $\ell \text{,}$ то, повернув этот шар вокруг $\ell \text{,}$ мы получили бы другой вписанный шар того же радиуса; их выпуклая оболочка, а с нею и шар большего радиуса с центром ближе к оси, также лежали бы внутри тела — противоречие с максимальностью. Значит центр искомого шара лежит на оси $\ell \text{.}$

Введём на оси $\ell$ координату $t\text{,}$ отсчитываемую от центра $O$ в сторону, противоположную отсекаемой вершине (то есть в сторону большего сегмента); тогда плоскость $\pi$ пересекает ось в точке $t=h$ (со стороны меньшего сегмента, при $t=-h$ от $O\text{,}$ а сама отсекаемая вершина — при ещё меньших $t$). Уточним: центр $O$ находится на расстоянии $h$ от $\pi \text{;}$ обозначим через $s$ координату центра вписанного шара на оси $\ell \text{,}$ измеряемую от $O\text{,}$ считая положительное направление к большему сегменту.

Наибольший шар, вписанный в сегмент, касается и плоскости $\pi \text{,}$ и описанной сферы изнутри (иначе его можно было бы немного увеличить, сдвинув вдоль оси). Условие касания сферы изнутри: расстояние от $O$ до центра шара равно $R-\rho \text{,}$ где $\rho$ — радиус шара, то есть $|s|=R-\rho \text{.}$ Условие касания плоскости: расстояние от центра шара до $\pi$ равно $\rho \text{.}$

Для большего сегмента (он содержит центр $O$) центр шара лежит при $s>0\text{,}$ его расстояние до плоскости равно $h+s\text{;}$ из $|s|=R-\rho$ получаем $s=R-\rho \text{,}$ значит

Для меньшего сегмента (он примыкает к отсекаемой вершине и не содержит $O$) центр шара лежит со стороны плоскости, противоположной $O\text{,}$ при $s<0\text{;}$ его расстояние до плоскости равно $|s|-h=(R-\rho )-h\text{,}$ откуда

(Оба значения положительны, так как $0<h<R\text{;}$ требуемые касания геометрически реализуемы, ибо центр шара остаётся внутри сегмента.)

Подстановка чисел.

Искомое отношение.

Отношение радиусов шаров (большего к меньшему) равно $8:5\text{.}$

Ответ: $8:5\text{.}$