Задача №18025

Найдите $a+b+c\text{,}$ если известно, что $a+2b=4\text{,}$ $b+2c=5\text{,}$ $c+2a=6\text{.}$

Дана система линейных уравнений

Сложим все три уравнения почленно. В левой части каждая из переменных встречается с коэффициентами $1$ и $2\text{:}$

Точнее, $a$ входит в первое и третье уравнения ($a+2a=3a$), $b$ — в первое и второе ($2b+b=3b$), $c$ — во второе и третье ($2c+c=3c$). Поэтому сумма левых частей равна $3(a+b+c)\text{,}$ а сумма правых равна $4+5+6=15\text{:}$

Этого достаточно для ответа, но убедимся, что система совместна и имеет единственное решение (определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля). Выразим переменные. Из первого уравнения $a=4-2b\text{;}$ подставим в третье: $c+2(4-2b)=6\Rightarrow c=4b-2\text{.}$ Подставим $c=4b-2$ во второе: $b+2(4b-2)=5\Rightarrow 9b-4=5\Rightarrow b=1\text{.}$ Тогда $a=4-2\cdot 1=2\text{,}$ $c=4\cdot 1-2=2\text{.}$ Итак, единственное решение $(a,b,c)=(2,1,2)\text{.}$

Проверка подстановкой: $a+2b=2+2=4$ (верно), $b+2c=1+4=5$ (верно), $c+2a=2+4=6$ (верно). Следовательно, $a+b+c=2+1+2=5\text{.}$