58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T834,Рассмотрим функцию $y=\log_{1/3}\left(x^2+10x+34\right)$. **ОДЗ.** Аргумент логарифма $u(x)=x^2+10x+34$. Выделим полный квадрат: $u(x)=(x+5)^2+9$. Так как $(x+5)^2\ge 0$, то $u(x)\ge 9>0$ при всех $x\in\mathbb{R}$. Значит ОДЗ -- вся числовая прямая, функция определена всюду (дискриминант $100-136=-36<0$ при положительном старшем коэффициенте подтверждает положительность аргумента). **Монотонность внешней функции.** Основание логарифма $\tfrac{1}{3}\in(0,1)$, поэтому функция $t\mapsto\log_{1/3}t$ строго убывает по $t$. Следовательно $y$ максимально тогда и только тогда, когда внутренняя функция $u(x)$ минимальна. **Минимум аргумента.** $u(x)=(x+5)^2+9$ -- парабола ветвями вверх; её наименьшее значение равно $9$ и достигается единственный раз при $x=-5$ (вершина). **Подстановка.** Подставляя $u_{\min}=9$: \[y_{\max}=\log_{1/3}9=\frac{\ln 9}{\ln\frac13}=\frac{2\ln 3}{-\ln 3}=-2.\] Иначе: $\left(\tfrac13\right)^{-2}=3^{2}=9$, то есть $\log_{1/3}9=-2$. **Края/посторонние значения.** Точек разрыва и краёв нет (область -- вся прямая), посторонних корней не возникает (решалась задача на экстремум, не уравнение). При $x\to\pm\infty$ имеем $u\to+\infty$, значит $y\to-\infty$ -- это подтверждает, что найденное значение есть именно максимум. **Ответ:** максимальное значение функции равно $-2$ (достигается при $x=-5$).5c:T9a7,Решаем неравенство $x^{-7x+5}0$ (даны положительные $x$). Это показательное неравенство с переменным основанием $x$; знак при сравнении показателей зависит от того, больше или меньше единицы основание, поэтому разбираем три случая. **Случай 1: $x=1$.** Тогда $1^{-7\cdot1+5}=1$ и $1^{-4}=1$, то есть $1<1$ — ложно. Значит $x=1$ не входит в ответ. **Случай 2: $x>1$.** Функция $t\mapsto x^{t}$ при основании $x>1$ строго возрастает, поэтому неравенство $x^{-7x+5}\frac{9}{7}.\] Пересекая с условием случая \(x>1$ и учитывая, что $\dfrac{9}{7}>1$, получаем $x>\dfrac{9}{7}$. Точка $x=\dfrac{9}{7}$ даёт равенство показателей ($-7\cdot\frac{9}{7}+5=-4$), то есть равенство сторон, а неравенство строгое — поэтому $x=\dfrac{9}{7}$ исключается. **Случай 3: $0-4 \;\Longleftrightarrow\; -7x>-9 \;\Longleftrightarrow\; x<\frac{9}{7}.\] Так как на всём промежутке \(00$ учтена.5d:Tb21,Обозначим $t=|\cos x|\geqslant 0$ и $\theta=\dfrac{5x}{2}-\dfrac{\pi}{8}$. Тогда $\cos^2 x=t^2$, и левая часть уравнения есть квадратный относительно $t$ трёхчлен: \[\cos^2 x+\sqrt{2}\,|\cos x|\sin\theta+\frac12=t^2+\sqrt{2}\,t\sin\theta+\frac12.\] Выделим полный квадрат: \[t^2+\sqrt{2}\,t\sin\theta+\frac12=\left(t+\frac{\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2+\frac12-\frac{\sin^2\theta}{2}=\left(|\cos x|+\frac{\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2+\frac{\cos^2\theta}{2}.\] Оба слагаемых неотрицательны, поэтому левая часть $\geqslant 0$, и равенство нулю возможно лишь при одновременном выполнении двух условий: \[\begin{cases}\cos\theta=0,\\ |\cos x|+\dfrac{\sin\theta}{\sqrt{2}}=0.\end{cases}\] Из второго условия $|\cos x|=-\dfrac{\sin\theta}{\sqrt{2}}\geqslant 0$, значит $\sin\theta\leqslant 0$; вместе с $\cos\theta=0$ (откуда $\sin\theta=\pm1$) это даёт $\sin\theta=-1$ (и автоматически $\cos\theta=0$). Тогда $|\cos x|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Получаем систему: \[\begin{cases}\sin\!\left(\dfrac{5x}{2}-\dfrac{\pi}{8}\right)=-1,\\ |\cos x|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\end{cases}\] Из первого уравнения $\dfrac{5x}{2}-\dfrac{\pi}{8}=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi m$, то есть \[x=-\frac{3\pi}{20}+\frac{4\pi m}{5},\qquad m\in\mathbb{Z}.\] Из второго уравнения $\cos x=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, то есть $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$. Пересечение двух серий: приравнивая $-\dfrac{3\pi}{20}+\dfrac{4\pi m}{5}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}$ и домножая на $\dfrac{20}{\pi}$, получаем $16m-10k=8$, то есть $8m-5k=4$. Отсюда $m\equiv 3\pmod 5$, $m=3+5n$, и \[x=-\frac{3\pi}{20}+\frac{4\pi(3+5n)}{5}=\frac{9\pi}{4}+4\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.\] Проверим знак косинуса: $\cos\dfrac{9\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}>0$ (период серии $4\pi$ кратен $2\pi$, поэтому знак сохраняется), значит $|\cos x|=\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ — посторонних корней из-за модуля нет. Подстановка: $\cos^2 x=\dfrac12$, $\sin\theta=-1$, и левая часть равна $\dfrac12+\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot(-1)+\dfrac12=1-1=0$. Других корней нет, так как оба неотрицательных слагаемых полного квадрата обязаны обращаться в нуль одновременно. Ответ: $x=\dfrac{9\pi}{4}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$5e:Td3a,Обозначим радиусы $r_1$ и $r_2$ окружностей $\Omega_1$ (центр $O_1$) и $\Omega_2$ (центр $O_2$). Введём координаты: $O_1=(0,0)$, $O_2=(r_1+r_2,0)$, точка касания $A=(r_1,0)$ лежит на отрезке $O_1O_2$. **Точка $C$ и ключевые свойства.** Общая касательная через $A$ перпендикулярна линии центров, то есть это прямая $x=r_1$. Для общей внешней касательной её единичная нормаль есть $n=\left(\dfrac{r_1-r_2}{r_1+r_2},\ \dfrac{2\sqrt{r_1r_2}}{r_1+r_2}\right)$; она касается $\Omega_1$ в точке $B=O_1+r_1 n$ и задаётся уравнением $n\cdot X=r_1$. Пересекая её с прямой $x=r_1$, получаем \[C=\bigl(r_1,\ \sqrt{r_1 r_2}\,\bigr).\] Так как $CA$ и $CB$ — две касательные из $C$ к $\Omega_1$, то $CA=CB=\sqrt{r_1r_2}$; аналогично из $C$ к $\Omega_2$ имеем $CA=CB'$. Поэтому $CO_1$ — биссектриса угла $ACB$, $CO_2$ — биссектриса угла $ACB'$, а так как углы $ACB$ и $ACB'$ смежные, то \[\angle O_1CO_2=90^\circ\qquad(CO_1\perp CO_2).\] Прямой проверкой: $(O_1-C)\cdot(O_2-C)=0$. Длины: $CO_2=\sqrt{r_2(r_1+r_2)}$. **Биссектриса угла $ACO_1$ и точки $L,D$.** Пусть $\gamma=\angle ACO_1=\angle BCO_1$ (так как $CO_1$ делит угол $ACB$ пополам). Из прямоугольного треугольника $O_1BC$ ($\angle B=90^\circ$, $O_1B=r_1$, $CB=\sqrt{r_1r_2}$) получаем $\operatorname{tg}\gamma=\dfrac{r_1}{\sqrt{r_1r_2}}=\sqrt{\dfrac{r_1}{r_2}}$. Луч биссектрисы угла $ACO_1$ из вершины $C$ пересекает прямую $O_1O_2$ в точке $L$, а прямую $BO_1$ — в точке $D$. **Условие $CO_2\perp DO_2$.** Записав координаты $L,D$ через $r_1,r_2$ и потребовав $(O_2-C)\cdot(O_2-D)=0$ совместно с $CO_2=2$, получаем систему. Её единственное положительное решение: \[r_1=\frac{5}{3},\qquad r_2=\frac{4}{3}\qquad\Bigl(\tfrac{r_2}{r_1}=\tfrac{4}{5},\ \cos\gamma=\tfrac{2}{3},\ \gamma\approx48{,}19^\circ\Bigr).\] При этом \[CO_2=\sqrt{r_2(r_1+r_2)}=\sqrt{\tfrac{4}{3}\cdot 3}=2\quad[\text{совпадает с условием}],\qquad LO_1=1.\] **Ответ.** $LO_1=1$. Замечание (ОДЗ/края/посторонние корни): система $\{CO_2\perp DO_2,\ CO_2=2\}$ для положительных $r_1,r_2$ имеет ровно одно решение, поэтому посторонних корней нет. Альтернативная алгебраическая ветвь $r_2/r_1=1/3$, $\gamma=60^\circ$ даёт $LO_1=2$, но она не удовлетворяет условию $CO_2\perp DO_2$ при $D$ на прямой $BO_1$ и в данную конфигурацию не входит. Все точки $A,B,C,O_1,O_2,L,D$ существуют и невырождены при $r_1=5/3,\ r_2=4/3$.5f:Tbc7,Ищем $x,y\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$. На этом интервале $\sin x\in(0,1)$ и $\cos y\in(0,1)$, поэтому корректны замены \[a=\frac{1}{\sin x}>1,\qquad b=\frac{1}{\cos y}>1.\] Преобразуем второе уравнение через основное тригонометрическое тождество: \[\operatorname{ctg}^2 x=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}=\frac{1}{\sin^2 x}-1=a^2-1,\] \[\operatorname{tg}^2 y=\frac{\sin^2 y}{\cos^2 y}=\frac{1-\cos^2 y}{\cos^2 y}=\frac{1}{\cos^2 y}-1=b^2-1.\] Система принимает вид \[\begin{cases}a^3+b^3=54,\\ (a^2-1)+(b^2-1)=16,\end{cases}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\begin{cases}a^3+b^3=54,\\ a^2+b^2=18,\end{cases}\quad a>1,\ b>1.\] Введём симметрические функции $s=a+b,\ p=ab$. Тогда $a^2+b^2=s^2-2p=18$, откуда $p=\dfrac{s^2-18}{2}$, и \[a^3+b^3=s^3-3ps=s^3-3s\cdot\frac{s^2-18}{2}=-\frac{s^3}{2}+27s=54.\] Умножая на $-2$: $s^3-54s+108=0$. Подбор даёт корень $s=6$ (так как $216-324+108=0$); деление на $(s-6)$ даёт $s^2+6s-18=0$, то есть $s=-3\pm3\sqrt3$. Рассмотрим каждый случай (нужны $a,b$ — корни $t^2-st+p=0$, оба $>1$): 1) $s=6\Rightarrow p=\dfrac{36-18}{2}=9$. Уравнение $t^2-6t+9=(t-3)^2=0$ даёт $a=b=3$ (дискриминант ноль). Оба $>1$ — годится. 2) $s=-3+3\sqrt3\approx2,196\Rightarrow p=9-9\sqrt3<0$. Раз $p=ab<0$, один из корней отрицателен ($\approx3,89$ и $\approx-1,69$), что невозможно для $a,b>0$. Не годится. 3) $s=-3-3\sqrt3<0$: тогда $a+b<0$ при $a,b>0$ невозможно (а дискриминант $t^2-st+p$ при этом ещё и отрицателен). Не годится. Итак, единственное допустимое решение системы в новых переменных: $a=b=3$. Возвращаемся: \[\frac{1}{\sin x}=3\ \Rightarrow\ \sin x=\frac13,\qquad \frac{1}{\cos y}=3\ \Rightarrow\ \cos y=\frac13.\] Так как $\sin x=\dfrac13\in(0,1)$ и $\cos y=\dfrac13\in(0,1)$, на интервале $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ каждое уравнение имеет ровно один корень: \[x=\arcsin\frac13,\qquad y=\arccos\frac13.\] ОДЗ соблюдено: $\sin x\neq0,\ \cos y\neq0$ (для $\operatorname{ctg}x,\operatorname{tg}y$ и для дробей) выполнено, оба значения лежат строго внутри $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$. Посторонних корней нет: переход к $a,b$ — биекция на $(0,\pi/2)$, а среди трёх ветвей лишь одна даёт $a,b>1$. Ответ: $x=\arcsin\dfrac13,\ y=\arccos\dfrac13$ (численно $x\approx0{,}3398,\ y\approx1{,}2310$).60:Taff,Введём прямоугольные координаты. Пусть основание призмы — квадрат $ABCD$ со стороной 1, а высота равна $\sqrt{3}$: \[A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ C(1,1,0),\ D(0,1,0),\ A_1(0,0,\sqrt{3}),\ B_1(1,0,\sqrt{3}),\ C_1(1,1,\sqrt{3}),\ D_1(0,1,\sqrt{3}).\] Большая (пространственная) диагональ призмы — это, например, $AC_1$ с направляющим вектором \[\vec{d_1}=\overrightarrow{AC_1}=(1,1,\sqrt{3}).\] Диагональ боковой грани, скрещивающаяся с $AC_1$: возьмём грань $ABB_1A_1$ и её диагональ $BA_1$ с направляющим вектором \[\vec{d_2}=\overrightarrow{BA_1}=(-1,0,\sqrt{3}),\qquad \text{точка } B(1,0,0).\] (Две диагонали каждой боковой грани: одна проходит через вершину диагонали $AC_1$ и пересекает её — для таких смешанное произведение равно нулю; другая, как $BA_1$, скрещивается. Симметрия даёт один и тот же ответ для всех четырёх скрещивающихся диагоналей.) Проверим скрещивание (некомпланарность) через смешанное произведение: \[\vec{n}=\vec{d_1}\times\vec{d_2}=(1,1,\sqrt{3})\times(-1,0,\sqrt{3})=(\sqrt{3},\,-2\sqrt{3},\,1),\] \[\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}=(1,0,0)\cdot(\sqrt{3},-2\sqrt{3},1)=\sqrt{3}\neq 0,\] значит прямые скрещивающиеся (не пересекаются и не параллельны). Расстояние между скрещивающимися прямыми равно \[\rho=\frac{\bigl|\overrightarrow{AB}\cdot(\vec{d_1}\times\vec{d_2})\bigr|}{\bigl|\vec{d_1}\times\vec{d_2}\bigr|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3})^2+1^2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+12+1}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.\] Проверка реализуемости общего перпендикуляра на самих отрезках: решая систему $(Q_2-Q_1)\cdot\vec{d_1}=0,\ (Q_2-Q_1)\cdot\vec{d_2}=0$, где $Q_1=A+t\,\vec{d_1}$, $Q_2=B+s\,\vec{d_2}$, получаем $t=\tfrac38\in[0,1]$, $s=\tfrac{7}{16}\in[0,1]$; вектор перпендикуляра $\left(\tfrac{3}{16},-\tfrac38,\tfrac{\sqrt3}{16}\right)$ ортогонален обоим направлениям, его длина равна $\tfrac{\sqrt3}{4}$ — то есть общий перпендикуляр опирается на внутренние точки обеих диагоналей. Ответ: $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$.61:Tbb1,Обозначим подкоренное выражение $Q(x,y)=-6x^2-11y^2-16xy+5$ и $R=\sqrt{Q}\geqslant 0$; функции определены там, где $Q(x,y)\geqslant 0$. Тогда $f=R+y$, $g=-R+y$. **Сведение к одному условию.** Значение $v$ принимается хотя бы одной из функций тогда и только тогда, когда найдутся $x,y$ из области определения с $v=R+y$ (тогда $v-y=R\geqslant 0$) или $v=-R+y$ (тогда $v-y=-R\leqslant 0$). В обоих случаях $(v-y)^2=R^2=Q$. Обратно, если для некоторых $x,y$ выполнено $(v-y)^2=Q$, то автоматически $Q\geqslant 0$ (как квадрат), а значит $v-y=\pm\sqrt{Q}$; при знаке $+$ значение даёт $f$, при знаке $-$ — $g$ (при $Q=0$ обе). Поэтому \[v\ \text{достижимо}\iff \exists\,x,y\in\mathbb{R}:\ (v-y)^2=-6x^2-11y^2-16xy+5,\] то есть \[6x^2+16xy+12y^2-2vy+v^2-5=0.\qquad(\ast)\] **Условие разрешимости $(\ast)$.** Рассмотрим $(\ast)$ как квадратное уравнение относительно $x$: \[6x^2+(16y)x+(12y^2-2vy+v^2-5)=0.\] Действительное $x$ существует, когда дискриминант неотрицателен: \[D_x=(16y)^2-24\,(12y^2-2vy+v^2-5)=-32y^2+48vy+120-24v^2\geqslant 0.\] Это парабола относительно $y$ с отрицательным старшим коэффициентом, поэтому она принимает неотрицательные значения при некотором $y$ тогда и только тогда, когда её максимум неотрицателен, то есть когда её собственный дискриминант неотрицателен: \[(48v)^2-4\cdot(-32)\cdot(120-24v^2)=15360-768v^2\geqslant 0\iff v^2\leqslant 20\iff -2\sqrt{5}\leqslant v\leqslant 2\sqrt{5}.\] **Достижимость концов и всего отрезка.** В точке максимума $y=\dfrac{3v}{4}$. При $v=2\sqrt{5}$ получаем $y=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$, $x=-2\sqrt{5}$, при этом $Q=\dfrac{5}{4}>0$ и $f(-2\sqrt5,\tfrac{3\sqrt5}{2})=\sqrt{5/4}+\tfrac{3\sqrt5}{2}=2\sqrt5$. Симметрично $v=-2\sqrt{5}$ даётся значением $g(2\sqrt5,-\tfrac{3\sqrt5}{2})=-2\sqrt5$. Множество значений непрерывных функций на связной области определения связно, а концы $\pm 2\sqrt5$ достигаются, поэтому достижим весь отрезок. **Ответ.** Множество всех значений, принимаемых хотя бы одной из функций, есть отрезок $[-2\sqrt5,\ 2\sqrt5]$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2014 — вариант 3\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2014 — вариант 3\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2014-v3\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T07:30:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2014 — вариант 3\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2014 — вариант 3-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2014 — вариант 3"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2014-v3","serverCollection":{"id":"5e3abb78-c316-4a62-ab2a-f666a1fcce19","name":"ДВИ МГУ 2014 — вариант 3","code":"dvi-math-2014-v3","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/files/2014/math3.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2014 года, вариант 3","visible_problem_count":8,"year":2014},"created_at":"2026-06-10T07:30:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"9c1dde00-b387-4326-8b25-de11fe8e4ba5","collection_id":"5e3abb78-c316-4a62-ab2a-f666a1fcce19","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"9c1dde00-b387-4326-8b25-de11fe8e4ba5","short_id":17864,"task_number":14,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением \$\\sqrt{7+2\\sqrt{10}}\\left(\\sqrt{5}-\\sqrt{2}\\right)\$.","answer_text":"\$3\$","answer":"\$3\$","solution_text":"Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат:\n\\[7+2\\sqrt{10}=5+2\\sqrt{5}\\sqrt{2}+2=\\left(\\sqrt{5}+\\sqrt{2}\\right)^2.\\]\nПоскольку \$\\sqrt{5}+\\sqrt{2}>0\$, арифметический квадратный корень равен именно этой положительной величине (отрицательная ветвь отбрасывается):\n\\[\\sqrt{7+2\\sqrt{10}}=\\sqrt{\\left(\\sqrt{5}+\\sqrt{2}\\right)^2}=\\sqrt{5}+\\sqrt{2}.\\]\nТогда исходное выражение равно произведению суммы на разность, то есть разности квадратов:\n\\[\\left(\\sqrt{5}+\\sqrt{2}\\right)\\left(\\sqrt{5}-\\sqrt{2}\\right)=\\left(\\sqrt{5}\\right)^2-\\left(\\sqrt{2}\\right)^2=5-2=3.\\]\nПодкоренное выражение положительно, поэтому корень определён, посторонних значений не возникает, а число \$3\$ натуральное.\n\nОтвет: \$3\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2014/math_solutions.pdf","variant":"июль 2014 года, вариант 3","variant_key":"2014-v3","year":2014},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"da67531d-0011-489f-adab-84744c7aa977","code":"tag-208","name":"Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени"}]}},{"problem_id":"fc8fa50f-c49a-403f-a6ed-6d68e6f73eac","collection_id":"5e3abb78-c316-4a62-ab2a-f666a1fcce19","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"fc8fa50f-c49a-403f-a6ed-6d68e6f73eac","short_id":17865,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Найдите максимальное значение функции \$\\log_{1/3}(x^2+10x+34)\$.","answer_text":"\$-2\$","answer":"\$-2\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2014/math_solutions.pdf","variant":"июль 2014 года, вариант 3","variant_key":"2014-v3","year":2014},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"b9f4a872-6dc7-4bce-9c84-97badc6cfe16","code":"tag-177","name":"Логарифмическая функция, её график"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"9836ab2a-cc5c-4f8e-9b0a-6d9d64a1dcfd","collection_id":"5e3abb78-c316-4a62-ab2a-f666a1fcce19","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"9836ab2a-cc5c-4f8e-9b0a-6d9d64a1dcfd","short_id":17866,"task_number":16,"topic_id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Найдите все положительные \$x\$, удовлетворяющие неравенству \\(x^{-7x+5}=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ