В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 1. Высота призмы равна sqrt(3). Найдите расстояние между большой диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.

Задача №17870: Стереометрия

Введём прямоугольные координаты. Пусть основание призмы — квадрат $A B C D$ со стороной 1, а высота равна $3 :$

A (0, 0, 0), B (1, 0, 0), C (1, 1, 0), D (0, 1, 0), A_{1} (0, 0, 3), B_{1} (1, 0, 3), C_{1} (1, 1, 3), D_{1} (0, 1, 3) .

Большая (пространственная) диагональ призмы — это, например, $A C_{1}$ с направляющим вектором

d_{1} = A C_{1} = (1, 1, 3) .

Диагональ боковой грани, скрещивающаяся с $A C_{1} :$ возьмём грань $A B B_{1} A_{1}$ и её диагональ $B A_{1}$ с направляющим вектором

d_{2} = B A_{1} = (- 1, 0, 3), точка B (1, 0, 0) .

(Две диагонали каждой боковой грани: одна проходит через вершину диагонали $A C_{1}$ и пересекает её — для таких смешанное произведение равно нулю; другая, как $B A_{1},$ скрещивается. Симметрия даёт один и тот же ответ для всех четырёх скрещивающихся диагоналей.)

Проверим скрещивание (некомпланарность) через смешанное произведение:

n = d_{1} \times d_{2} = (1, 1, 3) \times (- 1, 0, 3) = (3, - 23, 1),

A B \cdot n = (1, 0, 0) \cdot (3, - 23, 1) = 3 \neq = 0,

значит прямые скрещивающиеся (не пересекаются и не параллельны).

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно

ρ = \frac{A B \cdot ( d _{1} \times d _{2} )}{d _{1} \times d _{2}} = \frac{3}{( 3 ) ^{2} + ( 2 3 ) ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{3}{3 + 12 + 1} = \frac{3}{16} = \frac{3}{4} .

Проверка реализуемости общего перпендикуляра на самих отрезках: решая систему $(Q_{2} - Q_{1}) \cdot d_{1} = 0, (Q_{2} - Q_{1}) \cdot d_{2} = 0,$ где $Q_{1} = A + t d_{1},$ $Q_{2} = B + s d_{2},$ получаем $t = \frac{3}{8} \in [0, 1],$ $s = \frac{7}{16} \in [0, 1];$ вектор перпендикуляра $(\frac{3}{16}, - \frac{3}{8}, \frac{3}{16})$ ортогонален обоим направлениям, его длина равна $\frac{3}{4}$ — то есть общий перпендикуляр опирается на внутренние точки обеих диагоналей.

Ответ: $\frac{3}{4} .$

Задача №17870

Задача #17870

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17870

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация