Задача №17866

Найдите все положительные $x\text{,}$ удовлетворяющие неравенству $x^{-7x+5}<x^{-4}\text{.}$

Решаем неравенство $x^{-7x+5}<x^{-4}$ на области $x>0$ (даны положительные $x$). Это показательное неравенство с переменным основанием $x\text{;}$ знак при сравнении показателей зависит от того, больше или меньше единицы основание, поэтому разбираем три случая.

Случай 1: $x=1\text{.}$ Тогда $1^{-7\cdot 1+5}=1$ и $1^{-4}=1\text{,}$ то есть $1<1$ — ложно. Значит $x=1$ не входит в ответ.

Случай 2: $x>1\text{.}$ Функция $t\mapsto x^t$ при основании $x>1$ строго возрастает, поэтому неравенство $x^{-7x+5}<x^{-4}$ равносильно сравнению показателей с сохранением знака:

Пересекая с условием случая $x>1$ и учитывая, что $\frac{9}{7}>1\text{,}$ получаем $x>\frac{9}{7}\text{.}$ Точка $x=\frac{9}{7}$ даёт равенство показателей ($-7\cdot \frac{9}{7}+5=-4$), то есть равенство сторон, а неравенство строгое — поэтому $x=\frac{9}{7}$ исключается.

Случай 3: $0<x<1\text{.}$ Функция $t\mapsto x^t$ при основании $0<x<1$ строго убывает, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

Так как на всём промежутке $0<x<1$ уже выполнено $x<1<\frac{9}{7}\text{,}$ условие $x<\frac{9}{7}$ выполнено автоматически. Следовательно, весь интервал $(0,1)$ входит в решение.

Объединение случаев. Решение неравенства:

Границы $x=1$ (основание 1, строгое равенство) и $x=\frac{9}{7}$ (равные показатели) исключены явно, как посторонние для строгого неравенства; область $x>0$ учтена.