Задача №17864

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением $\sqrt{7+2\sqrt{10}}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\text{.}$

Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат:

Поскольку $\sqrt{5}+\sqrt{2}>0\text{,}$ арифметический квадратный корень равен именно этой положительной величине (отрицательная ветвь отбрасывается):

Тогда исходное выражение равно произведению суммы на разность, то есть разности квадратов:

Подкоренное выражение положительно, поэтому корень определён, посторонних значений не возникает, а число $3$ натуральное.

Ответ: $3\text{.}$