Задача №17865

Найдите максимальное значение функции ${\log }_{1/3}(x^2+10x+34)\text{.}$

Рассмотрим функцию $y={\log }_{1/3}\left(x^2+10x+34\right)\text{.}$

ОДЗ. Аргумент логарифма $u(x)=x^2+10x+34\text{.}$ Выделим полный квадрат: $u(x)=(x+5{)}^2+9\text{.}$ Так как $(x+5{)}^2\ge 0\text{,}$ то $u(x)\ge 9>0$ при всех $x\in \mathbb{R}\text{.}$ Значит ОДЗ — вся числовая прямая, функция определена всюду (дискриминант $100-136=-36<0$ при положительном старшем коэффициенте подтверждает положительность аргумента).

Монотонность внешней функции. Основание логарифма $\frac{1}{3}\in (0,1)\text{,}$ поэтому функция $t\mapsto {\log }_{1/3}t$ строго убывает по $t\text{.}$ Следовательно $y$ максимально тогда и только тогда, когда внутренняя функция $u(x)$ минимальна.

Минимум аргумента. $u(x)=(x+5{)}^2+9$ — парабола ветвями вверх; её наименьшее значение равно $9$ и достигается единственный раз при $x=-5$ (вершина).

Подстановка. Подставляя $u_{\min }=9\text{:}$

Иначе: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=3^2=9\text{,}$ то есть ${\log }_{1/3}9=-2\text{.}$

Края/посторонние значения. Точек разрыва и краёв нет (область — вся прямая), посторонних корней не возникает (решалась задача на экстремум, не уравнение). При $x\to \pm \infty$ имеем $u\to +\infty \text{,}$ значит $y\to -\infty$ — это подтверждает, что найденное значение есть именно максимум.

Ответ: максимальное значение функции равно $-2$ (достигается при $x=-5$).