Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ
Пусть
f(x,y)=−6x2−11y2−16xy+5+y, g(x,y)=−−6x2−11y2−16xy+5+y.Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.
Обозначим подкоренное выражение Q(x,y)=−6x2−11y2−16xy+5 и R=Q⩾0; функции определены там, где Q(x,y)⩾0. Тогда f=R+y, g=−R+y.
Сведение к одному условию. Значение v принимается хотя бы одной из функций тогда и только тогда, когда найдутся x,y из области определения с v=R+y (тогда v−y=R⩾0) или v=−R+y (тогда v−y=−R⩽0). В обоих случаях (v−y)2=R2=Q. Обратно, если для некоторых x,y выполнено (v−y)2=Q, то автоматически Q⩾0 (как квадрат), а значит v−y=±Q; при знаке + значение даёт f, при знаке − — g (при Q=0 обе). Поэтому
v достижимо⟺∃x,y∈R: (v−y)2=−6x2−11y2−16xy+5,то есть
6x2+16xy+12y2−2vy+v2−5=0.(∗)Условие разрешимости (∗). Рассмотрим (∗) как квадратное уравнение относительно x:
6x2+(16y)x+(12y2−2vy+v2−5)=0.Действительное x существует, когда дискриминант неотрицателен:
Dx=(16y)2−24(12y2−2vy+v2−5)=−32y2+48vy+120−24v2⩾0.Это парабола относительно y с отрицательным старшим коэффициентом, поэтому она принимает неотрицательные значения при некотором y тогда и только тогда, когда её максимум неотрицателен, то есть когда её собственный дискриминант неотрицателен:
(48v)2−4⋅(−32)⋅(120−24v2)=15360−768v2⩾0⟺v2⩽20⟺−25⩽v⩽25.Достижимость концов и всего отрезка. В точке максимума y=43v. При v=25 получаем y=235, x=−25, при этом Q=45>0 и f(−25,235)=5/4+235=25. Симметрично v=−25 даётся значением g(25,−235)=−25. Множество значений непрерывных функций на связной области определения связно, а концы ±25 достигаются, поэтому достижим весь отрезок.
Ответ. Множество всех значений, принимаемых хотя бы одной из функций, есть отрезок [−25, 25].