Задача №17867

Решите уравнение ${\cos }^{2}x+\sqrt{2}|\cos x|\sin \left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi }{8}\right)+\frac{1}{2}=0\text{.}$

Обозначим $t=|\cos x|⩾0$ и $\theta =\frac{5x}{2}-\frac{\pi }{8}\text{.}$ Тогда ${\cos }^{2}x=t^2\text{,}$ и левая часть уравнения есть квадратный относительно $t$ трёхчлен:

Выделим полный квадрат:

Оба слагаемых неотрицательны, поэтому левая часть $⩾0\text{,}$ и равенство нулю возможно лишь при одновременном выполнении двух условий:

Из второго условия $|\cos x|=-\frac{\sin \theta }{\sqrt{2}}⩾0\text{,}$ значит $\sin \theta ⩽0\text{;}$ вместе с $\cos \theta =0$ (откуда $\sin \theta =\pm 1$) это даёт $\sin \theta =-1$ (и автоматически $\cos \theta =0$). Тогда $|\cos x|=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}$ Получаем систему:

Из первого уравнения $\frac{5x}{2}-\frac{\pi }{8}=-\frac{\pi }{2}+2\pi m\text{,}$ то есть

Из второго уравнения $\cos x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\text{,}$ то есть $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$ Пересечение двух серий: приравнивая $-\frac{3\pi }{20}+\frac{4\pi m}{5}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}$ и домножая на $\frac{20}{\pi }\text{,}$ получаем $16m-10k=8\text{,}$ то есть $8m-5k=4\text{.}$ Отсюда $m\equiv 3(\mathrm{mod}5)\text{,}$ $m=3+5n\text{,}$ и

Проверим знак косинуса: $\cos \frac{9\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$ (период серии $4\pi$ кратен $2\pi \text{,}$ поэтому знак сохраняется), значит $|\cos x|=\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ — посторонних корней из-за модуля нет. Подстановка: ${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\text{,}$ $\sin \theta =-1\text{,}$ и левая часть равна $\frac{1}{2}+\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (-1)+\frac{1}{2}=1-1=0\text{.}$ Других корней нет, так как оба неотрицательных слагаемых полного квадрата обязаны обращаться в нуль одновременно.

Ответ: $x=\frac{9\pi }{4}+4\pi n,n\in \mathbb{Z}.$