Задача №17869

Найдите все $x\text{,}$ $y$ на интервале $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{,}$ удовлетворяющие системе уравнений

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{{\sin }^{3}x}+\frac{1}{{\cos }^{3}y}=54\\ {\mathrm{ctg}}^{2}x+{\mathrm{tg}}^{2}y=16\end{array}$$

Ищем $x,y\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{.}$ На этом интервале $\sin x\in (0,1)$ и $\cos y\in (0,1)\text{,}$ поэтому корректны замены

$$a=\frac{1}{\sin x}>1,b=\frac{1}{\cos y}>1.$$

Преобразуем второе уравнение через основное тригонометрическое тождество:

$${\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{1-{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}-1=a^2-1,$$ $${\mathrm{tg}}^{2}y=\frac{{\sin }^{2}y}{{\cos }^{2}y}=\frac{1-{\cos }^{2}y}{{\cos }^{2}y}=\frac{1}{{\cos }^{2}y}-1=b^2-1.$$

Система принимает вид

$$\{\begin{array}{l}{a}^3+b^3=54,\\ (a^2-1)+(b^2-1)=16,\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{a}^3+b^3=54,\\ a^2+b^2=18,\end{array}a>1,b>1.$$

Введём симметрические функции $s=a+b,p=ab\text{.}$ Тогда $a^2+b^2=s^2-2p=18\text{,}$ откуда $p=\frac{s^2-18}{2}\text{,}$ и

$$a^3+b^3=s^3-3ps=s^3-3s\cdot \frac{s^2-18}{2}=-\frac{s^3}{2}+27s=54.$$

Умножая на $-2\text{:}$ $s^3-54s+108=0\text{.}$ Подбор даёт корень $s=6$ (так как $216-324+108=0$); деление на $(s-6)$ даёт $s^2+6s-18=0\text{,}$ то есть $s=-3\pm 3\sqrt{3}\text{.}$

Рассмотрим каждый случай (нужны $a,b$ — корни $t^2-st+p=0\text{,}$ оба $>1$):

1) $s=6\Rightarrow p=\frac{36-18}{2}=9\text{.}$ Уравнение $t^2-6t+9=(t-3{)}^2=0$ даёт $a=b=3$ (дискриминант ноль). Оба $>1$ — годится.

2) $s=-3+3\sqrt{3}\approx 2,196\Rightarrow p=9-9\sqrt{3}<0\text{.}$ Раз $p=ab<0\text{,}$ один из корней отрицателен ($\approx 3,89$ и $\approx -1,69$), что невозможно для $a,b>0\text{.}$ Не годится.

3) $s=-3-3\sqrt{3}<0\text{:}$ тогда $a+b<0$ при $a,b>0$ невозможно (а дискриминант $t^2-st+p$ при этом ещё и отрицателен). Не годится.

Итак, единственное допустимое решение системы в новых переменных: $a=b=3\text{.}$ Возвращаемся:

$$\frac{1}{\sin x}=3\Rightarrow \sin x=\frac{1}{3},\frac{1}{\cos y}=3\Rightarrow \cos y=\frac{1}{3}.$$

Так как $\sin x=\frac{1}{3}\in (0,1)$ и $\cos y=\frac{1}{3}\in (0,1)\text{,}$ на интервале $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ каждое уравнение имеет ровно один корень:

$$x=\arcsin \frac{1}{3},y=\arccos \frac{1}{3}.$$

ОДЗ соблюдено: $\sin x\ne 0,\cos y\ne 0$ (для $\mathrm{ctg}x,\mathrm{tg}y$ и для дробей) выполнено, оба значения лежат строго внутри $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{.}$ Посторонних корней нет: переход к $a,b$ — биекция на $(0,\pi /2)\text{,}$ а среди трёх ветвей лишь одна даёт $a,b>1\text{.}$

Ответ: $x=\arcsin \frac{1}{3},y=\arccos \frac{1}{3}$ (численно $x\approx 0,3398,y\approx 1,2310$).