58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Ta22,**Идея.** Прямая подстановка $x=1/2$ в пять дробей и сложение обыкновенных дробей — путь громоздкий. Гораздо проще заметить, что все знаменатели раскладываются на множители вида $(x+k)(x+k+1)$, после чего каждая дробь разбивается на разность и сумма телескопируется. **Разложение знаменателей.** Каждый квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с последовательными корнями: \[ \begin{aligned} x^2+3x+2 &= (x+1)(x+2),\\ x^2+5x+6 &= (x+2)(x+3),\\ x^2+7x+12 &= (x+3)(x+4),\\ x^2+9x+20 &= (x+4)(x+5),\\ x^2+11x+30 &= (x+5)(x+6). \end{aligned} \] При $x=1/2$ ни один из множителей $(x+1),\dots,(x+6)$ в ноль не обращается (они равны $3/2,\,5/2,\,\dots,\,13/2$), поэтому все дроби определены и выражение имеет смысл. **Разбиение на разности.** Для соседних множителей справедливо тождество \[ \frac{1}{(x+k)(x+k+1)}=\frac{(x+k+1)-(x+k)}{(x+k)(x+k+1)}=\frac{1}{x+k}-\frac{1}{x+k+1}. \] Применяя его к каждому слагаемому, получаем \[ S=\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)+\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\right)+\left(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}\right)+\left(\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}\right). \] **Телескопирование.** Все промежуточные слагаемые сокращаются попарно, остаются только крайние: \[ S=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+6}=\frac{(x+6)-(x+1)}{(x+1)(x+6)}=\frac{5}{(x+1)(x+6)}. \] **Подстановка $x=\tfrac12$.** Считаем множители: \[ x+1=\frac{3}{2},\qquad x+6=\frac{13}{2},\qquad (x+1)(x+6)=\frac{3}{2}\cdot\frac{13}{2}=\frac{39}{4}. \] Поэтому \[ S=\frac{5}{\,39/4\,}=\frac{5\cdot 4}{39}=\frac{20}{39}. \] **Проверка.** Прямое сложение пяти обыкновенных дробей при $x=1/2$ даёт тот же результат $\dfrac{20}{39}$ (подтверждено вычислением в точной арифметике), что согласуется с телескопической формулой. **Ответ:** $\displaystyle S=\frac{20}{39}$.5c:T821,**Приводим дробь к целочисленному виду.** Домножим числитель и знаменатель на $100000=10^5$: \[ \frac{0{,}76543}{0{,}99999}=\frac{0{,}76543\cdot 10^5}{0{,}99999\cdot 10^5}=\frac{76543}{99999}. \] **Раскладываем в периодическую десятичную дробь.** Заметим, что знаменатель есть $99999=10^5-1$. Тогда \[ \frac{1}{99999}=\frac{1}{10^5-1}=\frac{10^{-5}}{1-10^{-5}}=\sum_{k=1}^{\infty}10^{-5k}=0{,}\overline{00001}. \] Умножая на $76543$ (число из пяти цифр, поэтому переносов между соседними блоками не возникает), получаем \[ \frac{76543}{99999}=76543\cdot\sum_{k=1}^{\infty}10^{-5k}=0{,}\overline{76543}=0{,}76543\,76543\,76543\ldots \] Таким образом, это чисто периодическая дробь с периодом длины $5$, а период — блок цифр $76543$. **Находим 2026-ю цифру.** Цифры после запятой разбиваются на блоки по $5$ штук: | позиция в блоке | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | цифра | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | Позиция цифры внутри периода определяется остатком номера при делении на $5$. Поделим $2026$ на $5$ с остатком: \[ 2026=5\cdot 405+1,\qquad 2026\equiv 1\pmod 5. \] Значит, 2026-я цифра стоит на первом месте очередного (406-го) периода, а первая цифра периода — это $7$. **Проверка.** Прямое деление даёт $0{,}765437654376543\ldots$; цифры с номерами $1,6,11,\ldots$ (то есть все с остатком $1$ по модулю $5$) равны $7$. Число $2026$ как раз даёт остаток $1$, что подтверждает ответ. **Ответ:** $7$.5d:Tf6f,Уравнение \[(\sin^4 x + \sin^2 x\cos^2 x + \cos^4 x - 1)\cdot\sqrt{-x^2-15\pi x+100\pi^2}=0\] представляет собой произведение двух множителей, поэтому его удобно решать через ОДЗ и обращение множителей в нуль. Ключевая тонкость традиционной части: корень определён только там, где подкоренное выражение неотрицательно, поэтому область определения ограничивает множество корней. **Шаг 1. Область определения (ОДЗ).** Квадратный корень требует \[-x^2-15\pi x+100\pi^2\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+15\pi x-100\pi^2\le 0.\] Корни квадратного трёхчлена: \[x=\frac{-15\pi\pm\sqrt{225\pi^2+400\pi^2}}{2}=\frac{-15\pi\pm\sqrt{625\pi^2}}{2}=\frac{-15\pi\pm 25\pi}{2},\] откуда $x=5\pi$ и $x=-20\pi$. Так как ветви параболы $x^2+15\pi x-100\pi^2$ направлены вверх, неравенство выполнено между корнями: \[-20\pi\le x\le 5\pi.\] **Шаг 2. Упрощение первого множителя.** Обозначим $a=\sin^2 x$, $b=\cos^2 x$, так что $a+b=1$. Тогда \[\sin^4 x+\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x=a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab=1-\sin^2 x\cos^2 x.\] Вычитая единицу, получаем \[\sin^4 x+\sin^2 x\cos^2 x+\cos^4 x-1=-\sin^2 x\cos^2 x=-\frac14\sin^2 2x.\] Таким образом, на ОДЗ исходное уравнение равносильно \[-\frac14\sin^2 2x\cdot\sqrt{-x^2-15\pi x+100\pi^2}=0.\] **Шаг 3. Обращение произведения в нуль.** Произведение равно нулю, когда обнуляется хотя бы один множитель (при условии, что оба определены, что уже обеспечено ОДЗ): - либо $\sqrt{-x^2-15\pi x+100\pi^2}=0$, то есть $x=-20\pi$ или $x=5\pi$ (концы отрезка ОДЗ); - либо $\sin^2 2x=0$, то есть $\sin 2x=0$, откуда $2x=\pi n$ и $x=\dfrac{\pi n}{2}$, $n\in\mathbb{Z}$. Заметим, что оба конца отрезка сами имеют вид $x=\dfrac{\pi n}{2}$: для $x=5\pi$ это $n=10$, для $x=-20\pi$ это $n=-40$ (действительно, $\sin(10\pi)=0$ и $\sin(-40\pi)=0$). Поэтому концевые корни не добавляют ничего нового — всё множество решений описывается одной серией \[x=\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.\] **Шаг 4. Отбор корней по ОДЗ.** Требуется $-20\pi\le \dfrac{\pi n}{2}\le 5\pi$, то есть $-40\le n\le 10$. Значит, \[n\in\{-40,-39,\dots,9,10\}.\] Это $10-(-40)+1=51$ целых значений, каждому из которых отвечает свой корень $x=\dfrac{\pi n}{2}$. **Шаг 5. Сумма корней.** \[\sum_{n=-40}^{10}\frac{\pi n}{2}=\frac{\pi}{2}\sum_{n=-40}^{10} n.\] Сумма арифметической прогрессии из $51$ слагаемого с крайними членами $-40$ и $10$: \[\sum_{n=-40}^{10} n=\frac{51\cdot(-40+10)}{2}=\frac{51\cdot(-30)}{2}=-765.\] Следовательно, \[\sum x=\frac{\pi}{2}\cdot(-765)=-\frac{765\pi}{2}.\] **Ответ:** сумма корней равна $-\dfrac{765\pi}{2}$ (то есть $-382{,}5\pi$). Проверка (численно): все $51$ точек $x=\pi n/2$, $n=-40,\dots,10$, обращают левую часть в нуль и лежат в ОДЗ; их сумма равна $-1201{,}66\ldots=-382{,}5\pi$, что совпадает с $-\dfrac{765\pi}{2}$.5e:T12d6,## Область допустимых значений В неравенстве участвуют логарифмы $\log_{5-x}x$ и $\log_x(5-x)$. Чтобы оба были определены, нужно: - аргументы положительны: $x>0$ и $5-x>0$, то есть $0\frac{v^2}{u}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{u^2}{v}-\frac{v^2}{u}>0\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{u^3-v^3}{uv}>0.\] ## Упрощение Разложим числитель: \[u^3-v^3=(u-v)\left(u^2+uv+v^2\right).\] Множитель \(u^2+uv+v^2$ неотрицателен всегда, так как \[u^2+uv+v^2=\left(u+\tfrac{v}{2}\right)^2+\tfrac{3}{4}v^2\ge 0,\] и обращается в нуль лишь при $u=v=0$, то есть при $x=1$ и одновременно $5-x=1$, что невозможно. Значит, на всей ОДЗ множитель $u^2+uv+v^2>0$ строго положителен и на знак дроби не влияет. Неравенство сводится к \[\frac{u-v}{uv}>0,\qquad\text{то есть}\qquad \frac{\ln x-\ln(5-x)}{\ln x\cdot\ln(5-x)}>0.\] ## Знаки сомножителей Определим знаки трёх выражений на ОДЗ. - $u=\ln x$: при $x<1$ отрицателен, при $x>1$ положителен. - $v=\ln(5-x)$: при $5-x>1$, то есть $x<4$, положителен; при $x>4$ отрицателен. - $u-v=\ln\dfrac{x}{5-x}$: положителен, когда $\dfrac{x}{5-x}>1$. Так как на ОДЗ $5-x>0$, это равносильно $x>5-x$, то есть $x>\dfrac{5}{2}$. При $x=\dfrac{5}{2}$ числитель обращается в нуль, и неравенство (строгое) не выполняется. Критические точки $x=1,\ \dfrac{5}{2},\ 4$ разбивают ОДЗ на четыре промежутка. Составим знаковую таблицу для $\dfrac{u-v}{uv}$. | Промежуток | $u=\ln x$ | $v=\ln(5-x)$ | $u-v$ | $\dfrac{u-v}{uv}$ | |---|---|---|---|---| | $(0;1)$ | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ | | $(1;\tfrac{5}{2})$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | | $(\tfrac{5}{2};4)$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $(4;5)$ | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ | Неравенство $\dfrac{u-v}{uv}>0$ выполняется там, где в последнем столбце стоит плюс: на промежутках $(0;1)$ и $\left(\tfrac{5}{2};4\right)$. Точка $x=\dfrac{5}{2}$ даёт равенство и в ответ не входит; точки $x=1$ и $x=4$ исключены ОДЗ. ## Проверка Возьмём контрольные точки. - $x=\dfrac12\in(0;1)$: левая часть $0{,}5^{\log_{4{,}5}0{,}5}\approx1{,}38$, правая $4{,}5^{\log_{0{,}5}4{,}5}\approx0{,}04$ — неравенство верно. - $x=2\in\left(1;\tfrac52\right)$: левая $2^{\log_3 2}\approx1{,}55$, правая $3^{\log_2 3}\approx5{,}71$ — неравенство неверно. - $x=3\in\left(\tfrac52;4\right)$: левая $3^{\log_2 3}\approx5{,}71$, правая $2^{\log_3 2}\approx1{,}55$ — неравенство верно. - $x=4{,}5\in(4;5)$: левая $\approx0{,}04$, правая $\approx1{,}38$ — неравенство неверно. Сплошной численный перебор по всей ОДЗ подтверждает: множество решений — в точности $(0;1)\cup\left(\tfrac52;4\right)$. ## Ответ \[x\in(0;\,1)\cup\left(\dfrac{5}{2};\,4\right).\]5f:T11ae,## Идея Центры трёх попарно касающихся окружностей образуют треугольник со сторонами, равными суммам радиусов. Разместив этот треугольник в координатах, для центра и радиуса четвёртой окружности получим систему из условий внутреннего касания, которая сводится к одному квадратному уравнению. ## Расстояния между центрами Пусть $O_1,O_2,O_3$ — центры окружностей радиусов $r_1=2,\ r_2=3,\ r_3=10$. При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме радиусов, поэтому \[ O_1O_2=r_1+r_2=5,\qquad O_1O_3=r_1+r_3=12,\qquad O_2O_3=r_2+r_3=13. \] Заметим, что $5^2+12^2=25+144=169=13^2$. Значит, треугольник $O_1O_2O_3$ прямоугольный, причём прямой угол — при вершине $O_1$ (между сторонами длиной $5$ и $12$). Это позволяет выбрать особенно удобную систему координат. ## Координаты Поместим прямой угол в начало координат, а катеты — на оси: \[ O_1=(0,0),\qquad O_2=(5,0),\qquad O_3=(0,12). \] Пусть четвёртая окружность имеет центр $O=(x,y)$ и радиус $R$. Три данные окружности лежат внутри неё и касаются её изнутри, поэтому для каждой из них расстояние от $O$ до её центра равно $R$ минус её радиус (и, в частности, $R>r_3=10$): \[ \begin{cases} x^2+y^2=(R-2)^2,\\ (x-5)^2+y^2=(R-3)^2,\\ x^2+(y-12)^2=(R-10)^2. \end{cases} \] ## Линеаризация Вычтем первое уравнение из второго. Слагаемые $x^2+y^2$ сокращаются: \[ -10x+25=(R-3)^2-(R-2)^2=-2R+5\ \Longrightarrow\ x=\frac{R+10}{5}. \] Аналогично вычтем первое уравнение из третьего: \[ -24y+144=(R-10)^2-(R-2)^2=-16R+96\ \Longrightarrow\ y=\frac{2R+6}{3}. \] ## Квадратное уравнение Подставим найденные $x$ и $y$ в первое уравнение $x^2+y^2=(R-2)^2$: \[ \frac{(R+10)^2}{25}+\frac{(2R+6)^2}{9}=(R-2)^2. \] Умножим обе части на $225$: \[ 9(R+10)^2+25(2R+6)^2=225(R-2)^2. \] Раскрываем скобки: \[ 9R^2+180R+900+100R^2+600R+900=225R^2-900R+900, \] \[ 109R^2+780R+1800=225R^2-900R+900, \] \[ 116R^2-1680R-900=0. \] Разделив на $4$, получаем \[ 29R^2-420R-225=0. \] Дискриминант \[ D=420^2+4\cdot 29\cdot 225=176400+26100=202500=450^2, \] откуда \[ R=\frac{420\pm 450}{58}. \] Это даёт $R=\dfrac{870}{58}=15$ или $R=\dfrac{-30}{58}=-\dfrac{15}{29}$. ## Отбор Радиус положителен, поэтому корень $R=-\tfrac{15}{29}$ отбрасываем (формально он отвечает вписанной в криволинейный треугольник маленькой окружности с противоположным типом касания). Остаётся \[ R=15, \] и условие достижимости $R>10$ выполнено. ## Проверка При $R=15$ центр четвёртой окружности \[ x=\frac{15+10}{5}=5,\qquad y=\frac{2\cdot 15+6}{3}=12,\qquad O=(5,12). \] Проверяем внутреннее касание для каждой из трёх окружностей: \[ |OO_1|=\sqrt{5^2+12^2}=13=15-2,\quad |OO_2|=\sqrt{0^2+12^2}=12=15-3,\quad |OO_3|=\sqrt{5^2+0^2}=5=15-10. \] Все три условия выполнены — все данные окружности касаются четвёртой изнутри. Тот же ответ даёт теорема Декарта о четырёх касающихся окружностях: для кривизн $k_i=\tfrac1{r_i}$ и кривизны объемлющей окружности $k_4=-\tfrac1R$ равенство $(k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2)$ приводит к $R=15$. ## Ответ \[ R=15. \]60:Tf2d,## Область определения Выпишем условия неотрицательности всех подкоренных выражений: - $x+2\ge 0$ $\Rightarrow x\ge -2$; - $x^2-4\ge 0$ $\Rightarrow x\le -2$ или $x\ge 2$; - $x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0$ — выполнено всегда; - $2x-1\ge 0$ $\Rightarrow x\ge \tfrac12$. Пересечение этих условий даёт область определения $x\ge 2$. (Точка $x=-2$ отпадает, так как в ней $2x-1=-5<0$.) ## Ключевое наблюдение Обозначим четыре подкоренных выражения левой части: \[ a=x+2,\qquad b=x^2-4,\qquad c=x^2-2x+2,\qquad d=2x-1.\] Сложим их: \[ a+b+c+d=(x+2)+(x^2-4)+(x^2-2x+2)+(2x-1)=2x^2+x-1.\] Сравним с подкоренным выражением правой части: \[ 8x^2+4x-4=4\,(2x^2+x-1)=4\,(a+b+c+d).\] Поэтому уравнение принимает вид \[ \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}=\sqrt{4\,(a+b+c+d)}=2\sqrt{a+b+c+d}.\] ## Оценка по неравенству Коши–Буняковского Для неотрицательных $a,b,c,d$ по неравенству Коши–Буняковского \[ \bigl(\sqrt{a}\cdot 1+\sqrt{b}\cdot 1+\sqrt{c}\cdot 1+\sqrt{d}\cdot 1\bigr)^2\le\bigl(a+b+c+d\bigr)\bigl(1^2+1^2+1^2+1^2\bigr),\] то есть \[ \bigl(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\bigr)^2\le 4\,(a+b+c+d).\] Обе части исходного равенства неотрицательны, поэтому, извлекая корень, получаем оценку \[ \underbrace{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}_{\text{левая часть}}\ \le\ \underbrace{2\sqrt{a+b+c+d}}_{\text{правая часть}}.\] Таким образом, левая часть уравнения **никогда не превосходит** правую, а равенство (то, что нам и нужно) достигается **тогда и только тогда**, когда в неравенстве Коши–Буняковского достигается равенство. Оно достигается, когда векторы $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c},\sqrt{d})$ и $(1,1,1,1)$ пропорциональны, то есть когда \[ a=b=c=d.\] ## Условие равенства всех подкоренных выражений Требуется одновременно \[ x+2=x^2-4=x^2-2x+2=2x-1.\] Решаем последовательно. Из $x+2=2x-1$ получаем $x=3$. Проверим, что при $x=3$ выполнены и остальные равенства: \[ x+2=5,\quad x^2-4=9-4=5,\quad x^2-2x+2=9-6+2=5,\quad 2x-1=5.\] Все четыре выражения равны $5$ — условие $a=b=c=d$ выполнено. Убедимся, что других общих решений нет. Из $x^2-4=x+2$ следует $x^2-x-6=0$, то есть $(x-3)(x+2)=0$, откуда $x=3$ или $x=-2$; из $x^2-2x+2=x+2$ следует $x^2-3x=0$, то есть $x=0$ или $x=3$. Единственное значение, удовлетворяющее всем равенствам сразу, — это $x=3$. Оно принадлежит области определения $x\ge 2$. ## Проверка При $x=3$: \[ \text{ЛЧ}=\sqrt5+\sqrt5+\sqrt5+\sqrt5=4\sqrt5,\qquad \text{ПЧ}=\sqrt{8\cdot9+4\cdot3-4}=\sqrt{80}=4\sqrt5.\] Равенство выполнено. Для всех остальных $x\ge 2$ левая часть строго меньше правой (равенство в Коши–Буняковского не достигается), поэтому других решений нет. ## Ответ \[ x=3.\]61:T14a2,## Разбор основания В треугольнике $ABC$ даны $AC=BC=1$, $AB=\sqrt2$. Так как \[ AC^2+BC^2=1+1=2=AB^2, \] треугольник $ABC$ прямоугольный и равнобедренный с прямым углом при вершине $C$. ## Координаты Поместим основание в плоскость $Oxy$. Возьмём \[ A=(0,0,0),\qquad B=(\sqrt2,\,0,\,0). \] Вершина $C$ равноудалена от $A$ и $B$ на $1$; её проекция на $AB$ — середина, поэтому $x_C=\tfrac{\sqrt2}{2}$, а из $AC=1$: $\tfrac12+y_C^2=1$, то есть $y_C=\tfrac{\sqrt2}{2}$. Значит \[ C=\left(\tfrac{\sqrt2}{2},\ \tfrac{\sqrt2}{2},\ 0\right). \] Вершина $S$ удовлетворяет $AS=BS=\sqrt3$, значит лежит над плоскостью симметрии отрезка $AB$: $x_S=\tfrac{\sqrt2}{2}$. Пусть $S=\left(\tfrac{\sqrt2}{2},y,z\right)$. Тогда \[ AS^2=\tfrac12+y^2+z^2=3,\qquad CS^2=\left(y-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)^2+z^2=4. \] Из первого $y^2+z^2=\tfrac52$. Вычитая его из второго, получаем \[ -\sqrt2\,y+\tfrac12=\tfrac32\ \Rightarrow\ y=-\tfrac{\sqrt2}{2}, \] и тогда $z^2=\tfrac52-\tfrac12=2$, $z=\sqrt2$. Итак \[ S=\left(\tfrac{\sqrt2}{2},\ -\tfrac{\sqrt2}{2},\ \sqrt2\right). \] ## Высота и точка $H$ Высота $SH$ пирамиды перпендикулярна основанию $z=0$, поэтому $H$ — ортогональная проекция $S$: \[ H=\left(\tfrac{\sqrt2}{2},\ -\tfrac{\sqrt2}{2},\ 0\right),\qquad SH=\sqrt2. \] Заметим, что $H$ лежит по ту же сторону от прямой $AB$, что и вершина $S$ (у обеих $y<0$), и вне треугольника основания (у точек $A,B,C$ координата $y\ge 0$). То есть грань $ABS$ «нависает» над той областью основания, где стоит $H$, — именно под этот навес и помещается искомый шар. ## Центр шара Шар касается плоскости $ABC$ (то есть $z=0$) в точке $H$. Значит его центр $O_1$ лежит на перпендикуляре к основанию, проведённом через $H$, а радиус равен расстоянию до плоскости — то есть аппликате центра. Возьмём центр над основанием (со стороны вершины $S$): \[ O_1=\left(\tfrac{\sqrt2}{2},\ -\tfrac{\sqrt2}{2},\ R\right),\qquad \rho(O_1,\,ABC)=R. \] ## Плоскость грани $ABS$ Нормаль к плоскости $ABS$: \[ \vec{AB}\times\vec{AS}=(\sqrt2,0,0)\times\left(\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2},\sqrt2\right)=(0,-2,-1). \] Плоскость проходит через $A=(0,0,0)$, поэтому её уравнение \[ 2y+z=0. \] (Проверка: для $S$ имеем $2\cdot(-\tfrac{\sqrt2}{2})+\sqrt2=0$.) ## Условие касания грани $ABS$ Расстояние от центра до плоскости $2y+z=0$ должно равняться радиусу: \[ \frac{\bigl|\,2\cdot(-\tfrac{\sqrt2}{2})+R\,\bigr|}{\sqrt{2^2+1^2}}=R \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{|R-\sqrt2|}{\sqrt5}=R. \] Так как правая часть положительна, а при разумном радиусе $R<\sqrt2$, раскрываем модуль как $\sqrt2-R$: \[ \sqrt2-R=\sqrt5\,R\ \Rightarrow\ R=\frac{\sqrt2}{1+\sqrt5}=\frac{\sqrt2(\sqrt5-1)}{(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)}=\frac{\sqrt2(\sqrt5-1)}{4}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt2}{4}. \] Численно $R\approx0{,}437$, и условие $R<\sqrt2$ выполнено. ## Отбор решения Формально уравнение $|R-\sqrt2|=\sqrt5\,R$ в паре с выбором стороны для центра даёт ещё один корень $R=\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt2}{4}$ (центр под основанием). Проверим, попадает ли точка касания внутрь именно **грани** (треугольника) $ABS$, а не в её плоскость. Для $R=\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt2}{4}$ точка касания грани — основание перпендикуляра из $O_1$ на плоскость $2y+z=0$ — равна $\left(\tfrac{\sqrt2}{2},\,-0{,}316,\,0{,}632\right)$; в разложении $A+u\,\vec{AB}+v\,\vec{AS}$ получаем $u\approx0{,}276$, $v\approx0{,}447$, $u,v>0$, $u+v\approx0{,}724<1$ — точка **внутри** треугольника $ABS$. Значит шар действительно касается грани. Второй корень даёт точку касания с $v<0$, то есть вне треугольника $ABS$ (касание происходит с продолжением плоскости грани, а не с самой гранью), и потому отбрасывается. ## Ответ \[ R=\frac{\sqrt{10}-\sqrt2}{4}. \]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Пробный ДВИ МГУ 2026 — репетиция ШМП (Ю.А. Попов, ВМК МГУ)\",\"description\":\"Коллекция \\\"Пробный ДВИ МГУ 2026 — репетиция ШМП (Ю.А. Попов, ВМК МГУ)\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 7 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/probn-2026-shmp-popov\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-07-10T12:30:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Пробный ДВИ МГУ 2026 — репетиция ШМП (Ю.А. Попов, ВМК МГУ)\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Пробный ДВИ МГУ 2026 — репетиция ШМП (Ю.А. Попов, ВМК МГУ)-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Пробный ДВИ МГУ 2026 — репетиция ШМП (Ю.А. Попов, ВМК МГУ)"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"probn-2026-shmp-popov","serverCollection":{"id":"bbb8814c-9ee4-41a9-836f-0de58f0b50d6","name":"Пробный ДВИ МГУ 2026 — репетиция ШМП (Ю.А. Попов, ВМК МГУ)","code":"probn-2026-shmp-popov","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"exam_format_2026":"written","hidden_problem_count":0,"is_probnik":true,"solved_count":0,"source":"Ю.А. Попов (ВМК МГУ), вариант МГУ-2026-ШМП-репетиционный","source_url":"https://t.me/alexlarin_net/538","total_problem_count":7,"variant_batch":"dvi-probniki-2026-v1","visible_problem_count":7,"year":2026},"created_at":"2026-07-10T12:30:00Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem_count":7,"visible_count":7,"total_count":7,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"fbdc4224-6e65-4540-886e-186ed2914b18","collection_id":"bbb8814c-9ee4-41a9-836f-0de58f0b50d6","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"fbdc4224-6e65-4540-886e-186ed2914b18","short_id":18542,"task_number":14,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Вычислить при \$x = 1/2\$ значение выражения\n\\[\\frac{1}{x^2+3x+2}+\\frac{1}{x^2+5x+6}+\\frac{1}{x^2+7x+12}+\\frac{1}{x^2+9x+20}+\\frac{1}{x^2+11x+30}\\]","answer_text":"\$\\dfrac{20}{39}\$","answer":"\$\\dfrac{20}{39}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"1","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"Ю.А. Попов (ВМК МГУ), вариант МГУ-2026-ШМП-репетиционный","source_url":"https://t.me/alexlarin_net/538","variant_key":"probn-2026-shmp-popov","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"}]}},{"problem_id":"cc63492d-e86d-49b9-a47d-2c8927e63dd6","collection_id":"bbb8814c-9ee4-41a9-836f-0de58f0b50d6","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"cc63492d-e86d-49b9-a47d-2c8927e63dd6","short_id":18543,"task_number":15,"topic_id":"0985728b-cdbc-4245-b787-338e00d1636b","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Найти 2026-ю цифру после запятой в десятичной записи числа \$\\dfrac{0{,}76543}{0{,}99999}\$.","answer_text":"\$7\$","answer":"\$7\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"2","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"Ю.А. Попов (ВМК МГУ), вариант МГУ-2026-ШМП-репетиционный","source_url":"https://t.me/alexlarin_net/538","variant_key":"probn-2026-shmp-popov","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0985728b-cdbc-4245-b787-338e00d1636b","name":"Числа и делимость","description":null},"tags":[{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"},{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"}]}},{"problem_id":"c200d58e-2928-4693-aea9-0b875f3960f6","collection_id":"bbb8814c-9ee4-41a9-836f-0de58f0b50d6","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"c200d58e-2928-4693-aea9-0b875f3960f6","short_id":18544,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Вычислить сумму корней уравнения\n\\[(\\sin^4 x + \\sin^2 x \\cdot \\cos^2 x + \\cos^4 x - 1)\\cdot\\sqrt{-x^2-15\\pi x+100\\pi^2}=0.\\]","answer_text":"Сумма корней равна \$-\\dfrac{765\\pi}{2}\$.","answer":"Сумма корней равна \$-\\dfrac{765\\pi}{2}\$.","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"3","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"Ю.А. Попов (ВМК МГУ), вариант МГУ-2026-ШМП-репетиционный","source_url":"https://t.me/alexlarin_net/538","variant_key":"probn-2026-shmp-popov","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"562d9797-2caf-4ba7-9fa3-a4c33d8cc0a6","code":"tag-80","name":"Область определения уравнения"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"}]}},{"problem_id":"8ca0e8f0-4459-4657-85c4-aec13f22d7cb","collection_id":"bbb8814c-9ee4-41a9-836f-0de58f0b50d6","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"8ca0e8f0-4459-4657-85c4-aec13f22d7cb","short_id":18545,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решить неравенство \\[x^{\\log_{5-x} x} > (5-x)^{\\log_x(5-x)}\\]","answer_text":"\$(0;\\,1)\\cup\\left(\\dfrac{5}{2};\\,4\\right)\$","answer":"\$(0;\\,1)\\cup\\left(\\dfrac{5}{2};\\,4\\right)\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"4","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"Ю.А. Попов (ВМК МГУ), вариант МГУ-2026-ШМП-репетиционный","source_url":"https://t.me/alexlarin_net/538","variant_key":"probn-2026-shmp-popov","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"b5fe0786-e50d-4ea9-9387-43a8baf56897","code":"tag-173","name":"Показательно-степенные неравенства"}]}},{"problem_id":"9ba87df9-ba12-4e76-91cd-4047417a717a","collection_id":"bbb8814c-9ee4-41a9-836f-0de58f0b50d6","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"9ba87df9-ba12-4e76-91cd-4047417a717a","short_id":18546,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Три окружности с радиусами, равными 2, 3 и 10, касаются друг друга внешним образом так, что каждая из них касается остальных двух. Четвертая окружность расположена так, что первые три касаются ее внутренним образом. Найти радиус четвертой окружности.","answer_text":"Радиус четвёртой окружности равен \$15\$.","answer":"Радиус четвёртой окружности равен \$15\$.","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"5","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"Ю.А. Попов (ВМК МГУ), вариант МГУ-2026-ШМП-репетиционный","source_url":"https://t.me/alexlarin_net/538","template_pair":"probn-2026-vmk#5","variant_key":"probn-2026-shmp-popov","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"f8c015b6-cb48-4711-a78c-7b5ceaaf5d71","code":"tag-237","name":"Окружности и системы окружностей"}]}},{"problem_id":"f0979c81-8a70-4658-865b-ce4305d11574","collection_id":"bbb8814c-9ee4-41a9-836f-0de58f0b50d6","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"f0979c81-8a70-4658-865b-ce4305d11574","short_id":18547,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Решить уравнение\n\\[\\sqrt{x+2}+\\sqrt{x^2-4}+\\sqrt{x^2-2x+2}+\\sqrt{2x-1}=\\sqrt{8x^2+4x-4}.\\]","answer_text":"\$x = 3\$.","answer":"\$x = 3\$.","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"6","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"Ю.А. Попов (ВМК МГУ), вариант МГУ-2026-ШМП-репетиционный","source_url":"https://t.me/alexlarin_net/538","variant_key":"probn-2026-shmp-popov","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"c04c64eb-0a91-459f-8a98-25e089aa4372","code":"tag-181","name":"Уравнения смешанного типа"},{"id":"dd1b76a0-263b-443b-abbd-179a85c1de5b","code":"tag-213","name":"Иррациональные уравнения"}]}},{"problem_id":"3b2c4004-e2d2-4259-b9d0-0b7de7ddd33f","collection_id":"bbb8814c-9ee4-41a9-836f-0de58f0b50d6","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"3b2c4004-e2d2-4259-b9d0-0b7de7ddd33f","short_id":18548,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"В тетраэдре \$SABC\$ длины ребер равны \$AC=BC=1\$, \$AB=\\sqrt{2}\$, \$AS=BS=\\sqrt{3}\$, \$CS=2\$, \$SH\$ — высота пирамиды. Шар с центром \$O_1\$ касается плоскости \$ABC\$ в точке \$H\$, и также касается грани \$ABS\$. Найти радиус шара.","answer_text":"\$R=\\dfrac{\\sqrt{10}-\\sqrt{2}}{4}\$","answer":"\$R=\\dfrac{\\sqrt{10}-\\sqrt{2}}{4}\$","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"7","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"Ю.А. Попов (ВМК МГУ), вариант МГУ-2026-ШМП-репетиционный","source_url":"https://t.me/alexlarin_net/538","template_pair":"probn-2026-shmp-leto#7","variant_key":"probn-2026-shmp-popov","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"6ccb9bb5-b6c0-496f-9c20-89c67048d639","code":"tag-97","name":"Пирамида"},{"id":"adb080da-d269-4b77-8b36-2e33ae3edb83","code":"tag-162","name":"Тетраэдр"},{"id":"efe23998-8e8a-4d60-ace9-a559b7ded5cb","code":"tag-229","name":"Вписанный шар"}]}}],"total":7},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ