Решить уравнение sqrt(x+2)+sqrt(x^2-4)+sqrt(x^2-2x+2)+sqrt(2x-1)=sqrt(8x^2+4x-4).
## Область определения Выпишем условия неотрицательности всех подкоренных выражений: - x+2>= 0 => x>= -2; - x^2-4>= 0 => x<= -2 или x>= 2; - x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0 — выполнено всегда; - 2x-1>= 0 => x>= 12. Пересечение этих условий даёт область определения x>= 2. (Точка x=-2 отпадает, так как в ней 2x-1=-5<0.) ## Ключевое наблюдение Обозначим четыре подкоренных выражения левой части: a=x+2, b=x^2-4, c=x^2-2x+2, d=2x-1. Сложим их: a+b+c+d=(x+2)+(x^2-4)+(x^2-2x+2)+(2x-1)=2x^2+x-1. Сравним с подкоренным выражением правой части: 8x^2+4x-4=4(2x^2+x-1)=4(a+b+c+d). Поэтому уравнение принимает вид sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d)=sqrt(4(a+b+c+d))=2sqrt(a+b+c+d). ## Оценка по неравенству Коши–Буняковского Для неотрицательных a,b,c,d по неравенству Коши–Буняковского (sqrt(a)* 1+sqrt(b)* 1+sqrt(c)* 1+sqrt(d)* 1)^2<=(a+b+c+d)(1^2+1^2+1^2+1^2), то есть (sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d))^2<= 4(a+b+c+d). Обе части исходного равенства неотрицательны, поэтому, извлекая корень, получаем оценку sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)+sqrt(d)_(левая часть) <= 2sqrt(a+b+c+d)_(правая часть). Таким образом, левая часть уравнения **никогда не превосходит** правую, а равенство (то, что нам и нужно) достигается **тогда и только тогда**, когда в неравенстве Коши–Буняковского достигается равенство. Оно достигается, когда векторы (sqrt(a),sqrt(b),sqrt(c),sqrt(d)) и (1,1,1,1) пропорциональны, то есть когда a=b=c=d. ## Условие равенства всех подкоренных выражений Требуется одновременно x+2=x^2-4=x^2-2x+2=2x-1. Решаем последовательно. Из x+2=2x-1 получаем x=3. Проверим, что при x=3 выполнены и остальные равенства: x+2=5, x^2-4=9-4=5, x^2-2x+2=9-6+2=5, 2x-1=5. Все четыре выражения равны 5 — условие a=b=c=d выполнено. Убедимся, что других общих решений нет. Из x^2-4=x+2 следует x^2-x-6=0, то есть (x-3)(x+2)=0, откуда x=3 или x=-2; из x^2-2x+2=x+2 следует x^2-3x=0, то есть x=0 или x=3. Единственное значение, удовлетворяющее всем равенствам сразу, — это x=3. Оно принадлежит области определения x>= 2. ## Проверка При x=3: ЛЧ=5+5+5+5=45, ПЧ=sqrt(8*9+4*3-4)=sqrt(80)=45. Равенство выполнено. Для всех остальных x>= 2 левая часть строго меньше правой (равенство в Коши–Буняковского не достигается), поэтому других решений нет. ## Ответ x=3.
\(x = 3\).