Задача №18547

Решить уравнение

$$\sqrt{x+2}+\sqrt{x^2-4}+\sqrt{x^2-2x+2}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{8x^2+4x-4}.$$

Область определения

Выпишем условия неотрицательности всех подкоренных выражений:

• $x+2\ge 0$ $\Rightarrow x\ge -2\text{;}$
• $x^2-4\ge 0$ $\Rightarrow x\le -2$ или $x\ge 2\text{;}$
• $x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1>0$ — выполнено всегда;
• $2x-1\ge 0$ $\Rightarrow x\ge \frac{1}{2}\text{.}$

Пересечение этих условий даёт область определения $x\ge 2\text{.}$ (Точка $x=-2$ отпадает, так как в ней $2x-1=-5<0\text{.}$)

Ключевое наблюдение

Обозначим четыре подкоренных выражения левой части:

$$a=x+2,b=x^2-4,c=x^2-2x+2,d=2x-1.$$

Сложим их:

$$a+b+c+d=(x+2)+(x^2-4)+(x^2-2x+2)+(2x-1)=2x^2+x-1.$$

Сравним с подкоренным выражением правой части:

$$8x^2+4x-4=4(2x^2+x-1)=4(a+b+c+d).$$

Поэтому уравнение принимает вид

$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}=\sqrt{4(a+b+c+d)}=2\sqrt{a+b+c+d}.$$

Оценка по неравенству Коши–Буняковского

Для неотрицательных $a,b,c,d$ по неравенству Коши–Буняковского

$$(\sqrt{a}\cdot 1+\sqrt{b}\cdot 1+\sqrt{c}\cdot 1+\sqrt{d}\cdot 1{)}^2\le (a+b+c+d\left)\right(1^2+1^2+1^2+1^2),$$

то есть

$$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}{)}^2\le 4(a+b+c+d).$$

Обе части исходного равенства неотрицательны, поэтому, извлекая корень, получаем оценку

$$\underset{\text{левая часть}}{\underbrace{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}}}\le \underset{\text{правая часть}}{\underbrace{2\sqrt{a+b+c+d}}}.$$

Таким образом, левая часть уравнения никогда не превосходит правую, а равенство (то, что нам и нужно) достигается тогда и только тогда, когда в неравенстве Коши–Буняковского достигается равенство. Оно достигается, когда векторы $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c},\sqrt{d})$ и $(1,1,1,1)$ пропорциональны, то есть когда

$$a=b=c=d.$$

Условие равенства всех подкоренных выражений

Требуется одновременно

$$x+2=x^2-4=x^2-2x+2=2x-1.$$

Решаем последовательно.

Из $x+2=2x-1$ получаем $x=3\text{.}$

Проверим, что при $x=3$ выполнены и остальные равенства:

$$x+2=5,x^2-4=9-4=5,x^2-2x+2=9-6+2=5,2x-1=5.$$

Все четыре выражения равны $5$ — условие $a=b=c=d$ выполнено.

Убедимся, что других общих решений нет. Из $x^2-4=x+2$ следует $x^2-x-6=0\text{,}$ то есть $(x-3)(x+2)=0\text{,}$ откуда $x=3$ или $x=-2\text{;}$ из $x^2-2x+2=x+2$ следует $x^2-3x=0\text{,}$ то есть $x=0$ или $x=3\text{.}$ Единственное значение, удовлетворяющее всем равенствам сразу, — это $x=3\text{.}$ Оно принадлежит области определения $x\ge 2\text{.}$

Проверка

При $x=3\text{:}$

$$\text{ЛЧ}=\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}=4\sqrt{5},\text{ПЧ}=\sqrt{8\cdot 9+4\cdot 3-4}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}.$$

Равенство выполнено. Для всех остальных $x\ge 2$ левая часть строго меньше правой (равенство в Коши–Буняковского не достигается), поэтому других решений нет.

Ответ

$$x=3.$$