Задача №18545

Решить неравенство

$$x^{{\log }_{5-x}x}>(5-x{)}^{{\log }_x(5-x)}$$

Область допустимых значений

В неравенстве участвуют логарифмы ${\log }_{5-x}x$ и ${\log }_x(5-x)\text{.}$ Чтобы оба были определены, нужно:

• аргументы положительны: $x>0$ и $5-x>0\text{,}$ то есть $0<x<5\text{;}$
• основания положительны и не равны $1\text{:}$ $x\ne 1$ и $5-x\ne 1\text{,}$ то есть $x\ne 4\text{.}$

Таким образом, ОДЗ:

$$x\in (0;1)\cup (1;4)\cup (4;5).$$

На всей ОДЗ обе части неравенства положительны (это степени положительных чисел $x$ и $5-x$), поэтому неравенство можно логарифмировать.

Логарифмирование

Введём обозначения $u=\ln x$ и $v=\ln (5-x)\text{.}$ Тогда

$${\log }_{5-x}x=\frac{u}{v},{\log }_x(5-x)=\frac{v}{u}.$$

Найдём натуральные логарифмы обеих частей. Для левой части

$$\ln \left(x^{{\log }_{5-x}x}\right)={\log }_{5-x}x\cdot \ln x=\frac{u}{v}\cdot u=\frac{u^2}{v},$$

а для правой

$$\ln ((5-x{)}^{{\log }_x(5-x)})={\log }_x(5-x)\cdot \ln (5-x)=\frac{v}{u}\cdot v=\frac{v^2}{u}.$$

Поскольку натуральный логарифм монотонно возрастает, исходное неравенство равносильно

$$\frac{u^2}{v}>\frac{v^2}{u}⟺\frac{u^2}{v}-\frac{v^2}{u}>0⟺\frac{u^3-v^3}{uv}>0.$$

Упрощение

Разложим числитель:

$$u^3-v^3=(u-v)\left(u^2+uv+v^2\right).$$

Множитель $u^2+uv+v^2$ неотрицателен всегда, так как

$$u^2+uv+v^2={\left(u+\frac{v}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{v}^2\ge 0,$$

и обращается в нуль лишь при $u=v=0\text{,}$ то есть при $x=1$ и одновременно $5-x=1\text{,}$ что невозможно. Значит, на всей ОДЗ множитель $u^2+uv+v^2>0$ строго положителен и на знак дроби не влияет. Неравенство сводится к

$$\frac{u-v}{uv}>0,\text{то есть}\frac{\ln x-\ln (5-x)}{\ln x\cdot \ln (5-x)}>0.$$

Знаки сомножителей

Определим знаки трёх выражений на ОДЗ.

• $u=\ln x\text{:}$ при $x<1$ отрицателен, при $x>1$ положителен.
• $v=\ln (5-x)\text{:}$ при $5-x>1\text{,}$ то есть $x<4\text{,}$ положителен; при $x>4$ отрицателен.
• $u-v=\ln \frac{x}{5-x}\text{:}$ положителен, когда $\frac{x}{5-x}>1\text{.}$ Так как на ОДЗ $5-x>0\text{,}$ это равносильно $x>5-x\text{,}$ то есть $x>\frac{5}{2}\text{.}$ При $x=\frac{5}{2}$ числитель обращается в нуль, и неравенство (строгое) не выполняется.

Критические точки $x=1,\frac{5}{2},4$ разбивают ОДЗ на четыре промежутка. Составим знаковую таблицу для $\frac{u-v}{uv}\text{.}$

Неравенство $\frac{u-v}{uv}>0$ выполняется там, где в последнем столбце стоит плюс: на промежутках $(0;1)$ и $\left(\frac{5}{2};4\right)\text{.}$ Точка $x=\frac{5}{2}$ даёт равенство и в ответ не входит; точки $x=1$ и $x=4$ исключены ОДЗ.

Проверка

Возьмём контрольные точки.

• $x=\frac{1}{2}\in (0;1)\text{:}$ левая часть $0,5^{{\log }_{4,5}0,5}\approx 1,38\text{,}$ правая $4,5^{{\log }_{0,5}4,5}\approx 0,04$ — неравенство верно.
• $x=2\in \left(1;\frac{5}{2}\right)\text{:}$ левая $2^{{\log }_{3}2}\approx 1,55\text{,}$ правая $3^{{\log }_{2}3}\approx 5,71$ — неравенство неверно.
• $x=3\in \left(\frac{5}{2};4\right)\text{:}$ левая $3^{{\log }_{2}3}\approx 5,71\text{,}$ правая $2^{{\log }_{3}2}\approx 1,55$ — неравенство верно.
• $x=4,5\in (4;5)\text{:}$ левая $\approx 0,04\text{,}$ правая $\approx 1,38$ — неравенство неверно.

Сплошной численный перебор по всей ОДЗ подтверждает: множество решений — в точности $(0;1)\cup \left(\frac{5}{2};4\right)\text{.}$

Ответ

$$x\in (0;1)\cup \left(\frac{5}{2};4\right).$$