Решить неравенство x^(_(5-x) x) > (5-x)^(_x(5-x))
## Область допустимых значений В неравенстве участвуют логарифмы _(5-x)x и _x(5-x). Чтобы оба были определены, нужно: - аргументы положительны: x>0 и 5-x>0, то есть 0<x<5; - основания положительны и не равны 1: x1 и 5-x1, то есть x4. Таким образом, ОДЗ: xin(0;1)U(1;4)U(4;5). На всей ОДЗ обе части неравенства положительны (это степени положительных чисел x и 5-x), поэтому неравенство можно логарифмировать. ## Логарифмирование Введём обозначения u=ln x и v=ln(5-x). Тогда _(5-x)x=(u)/(v), _x(5-x)=(v)/(u). Найдём натуральные логарифмы обеих частей. Для левой части ln(x^(_(5-x)x))=_(5-x)x*ln x=(u)/(v)* u=(u^2)/(v), а для правой ln((5-x)^(_x(5-x)))=_x(5-x)*ln(5-x)=(v)/(u)* v=(v^2)/(u). Поскольку натуральный логарифм монотонно возрастает, исходное неравенство равносильно (u^2)/(v)>(v^2)/(u) (u^2)/(v)-(v^2)/(u)>0 (u^3-v^3)/(uv)>0. ## Упрощение Разложим числитель: u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2). Множитель u^2+uv+v^2 неотрицателен всегда, так как u^2+uv+v^2=(u+(v)/(2))^2+(3)/(4)v^2>= 0, и обращается в нуль лишь при u=v=0, то есть при x=1 и одновременно 5-x=1, что невозможно. Значит, на всей ОДЗ множитель u^2+uv+v^2>0 строго положителен и на знак дроби не влияет. Неравенство сводится к (u-v)/(uv)>0, то есть (ln x-ln(5-x))/(ln x*ln(5-x))>0. ## Знаки сомножителей Определим знаки трёх выражений на ОДЗ. - u=ln x: при x<1 отрицателен, при x>1 положителен. - v=ln(5-x): при 5-x>1, то есть x<4, положителен; при x>4 отрицателен. - u-v=ln(x)/(5-x): положителен, когда (x)/(5-x)>1. Так как на ОДЗ 5-x>0, это равносильно x>5-x, то есть x>(5)/(2). При x=(5)/(2) числитель обращается в нуль, и неравенство (строгое) не выполняется. Критические точки x=1, (5)/(2), 4 разбивают ОДЗ на четыре промежутка. Составим знаковую таблицу для (u-v)/(uv). | Промежуток | u=ln x | v=ln(5-x) | u-v | (u-v)/(uv) | |---|---|---|---|---| | (0;1) | - | + | - | + | | (1;(5)/(2)) | + | + | - | - | | ((5)/(2);4) | + | + | + | + | | (4;5) | + | - | + | - | Неравенство (u-v)/(uv)>0 выполняется там, где в последнем столбце стоит плюс: на промежутках (0;1) и ((5)/(2);4). Точка x=(5)/(2) даёт равенство и в ответ не входит; точки x=1 и x=4 исключены ОДЗ. ## Проверка Возьмём контрольные точки. - x=12in(0;1): левая часть 0,5^(_(4,)5)0,5~1,38, правая 4,5^(_(0,)5)4,5~0,04 — неравенство верно. - x=2in(1;52): левая 2^(_3 2)~1,55, правая 3^(_2 3)~5,71 — неравенство неверно. - x=3in(52;4): левая 3^(_2 3)~5,71, правая 2^(_3 2)~1,55 — неравенство верно. - x=4,5in(4;5): левая ~0,04, правая ~1,38 — неравенство неверно. Сплошной численный перебор по всей ОДЗ подтверждает: множество решений — в точности (0;1)U(52;4). ## Ответ xin(0;1)U((5)/(2);4).
\((0;\,1)\cup\left(\dfrac{5}{2};\,4\right)\)