Вычислить при x = 1/2 значение выражения (1)/(x^2+3x+2)+(1)/(x^2+5x+6)+(1)/(x^2+7x+12)+(1)/(x^2+9x+20)+(1)/(x^2+11x+30)
**Идея.** Прямая подстановка x=1/2 в пять дробей и сложение обыкновенных дробей — путь громоздкий. Гораздо проще заметить, что все знаменатели раскладываются на множители вида (x+k)(x+k+1), после чего каждая дробь разбивается на разность и сумма телескопируется. **Разложение знаменателей.** Каждый квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с последовательными корнями: aligned x^2+3x+2 &= (x+1)(x+2), x^2+5x+6 &= (x+2)(x+3), x^2+7x+12 &= (x+3)(x+4), x^2+9x+20 &= (x+4)(x+5), x^2+11x+30 &= (x+5)(x+6). aligned При x=1/2 ни один из множителей (x+1),,(x+6) в ноль не обращается (они равны 3/2,5/2,,13/2), поэтому все дроби определены и выражение имеет смысл. **Разбиение на разности.** Для соседних множителей справедливо тождество (1)/((x+k)(x+k+1))=((x+k+1)-(x+k))/((x+k)(x+k+1))=(1)/(x+k)-(1)/(x+k+1). Применяя его к каждому слагаемому, получаем S=((1)/(x+1)-(1)/(x+2))+((1)/(x+2)-(1)/(x+3))+((1)/(x+3)-(1)/(x+4))+((1)/(x+4)-(1)/(x+5))+((1)/(x+5)-(1)/(x+6)). **Телескопирование.** Все промежуточные слагаемые сокращаются попарно, остаются только крайние: S=(1)/(x+1)-(1)/(x+6)=((x+6)-(x+1))/((x+1)(x+6))=(5)/((x+1)(x+6)). **Подстановка x=12.** Считаем множители: x+1=(3)/(2), x+6=(13)/(2), (x+1)(x+6)=(3)/(2)*(13)/(2)=(39)/(4). Поэтому S=(5)/(39/4)=(5* 4)/(39)=(20)/(39). **Проверка.** Прямое сложение пяти обыкновенных дробей при x=1/2 даёт тот же результат (20)/(39) (подтверждено вычислением в точной арифметике), что согласуется с телескопической формулой. **Ответ:** S=(20)/(39).
\(\dfrac{20}{39}\)