Задача №18542

Вычислить при $x=1/2$ значение выражения

$$\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}+\frac{1}{x^2+7x+12}+\frac{1}{x^2+9x+20}+\frac{1}{x^2+11x+30}$$

Идея. Прямая подстановка $x=1/2$ в пять дробей и сложение обыкновенных дробей — путь громоздкий. Гораздо проще заметить, что все знаменатели раскладываются на множители вида $(x+k)(x+k+1)\text{,}$ после чего каждая дробь разбивается на разность и сумма телескопируется.

Разложение знаменателей. Каждый квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с последовательными корнями:

$$\begin{array}{rl}{x}^2+3x+2& =(x+1)(x+2),\\ x^2+5x+6& =(x+2)(x+3),\\ x^2+7x+12& =(x+3)(x+4),\\ x^2+9x+20& =(x+4)(x+5),\\ x^2+11x+30& =(x+5)(x+6).\end{array}$$

При $x=1/2$ ни один из множителей $(x+1),\dots ,(x+6)$ в ноль не обращается (они равны $3/2,5/2,\dots ,13/2$), поэтому все дроби определены и выражение имеет смысл.

Разбиение на разности. Для соседних множителей справедливо тождество

$$\frac{1}{(x+k)(x+k+1)}=\frac{(x+k+1)-(x+k)}{(x+k)(x+k+1)}=\frac{1}{x+k}-\frac{1}{x+k+1}.$$

Применяя его к каждому слагаемому, получаем

$$S=\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)+\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\right)+\left(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}\right)+\left(\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}\right).$$

Телескопирование. Все промежуточные слагаемые сокращаются попарно, остаются только крайние:

$$S=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+6}=\frac{(x+6)-(x+1)}{(x+1)(x+6)}=\frac{5}{(x+1)(x+6)}.$$

Подстановка $x=\frac{1}{2}\text{.}$ Считаем множители:

$$x+1=\frac{3}{2},x+6=\frac{13}{2},(x+1)(x+6)=\frac{3}{2}\cdot \frac{13}{2}=\frac{39}{4}.$$

Поэтому

$$S=\frac{5}{39/4}=\frac{5\cdot 4}{39}=\frac{20}{39}.$$

Проверка. Прямое сложение пяти обыкновенных дробей при $x=1/2$ даёт тот же результат $\frac{20}{39}$ (подтверждено вычислением в точной арифметике), что согласуется с телескопической формулой.

Ответ: $S=\frac{20}{39}\text{.}$