Три окружности с радиусами, равными 2, 3 и 10, касаются друг друга внешним образом так, что каждая из них касается остальных двух. Четвертая окружность расположена так, что первые три касаются ее внутренним образом. Найти радиус четвертой окружности.
## Идея Центры трёх попарно касающихся окружностей образуют треугольник со сторонами, равными суммам радиусов. Разместив этот треугольник в координатах, для центра и радиуса четвёртой окружности получим систему из условий внутреннего касания, которая сводится к одному квадратному уравнению. ## Расстояния между центрами Пусть O_1,O_2,O_3 — центры окружностей радиусов r_1=2, r_2=3, r_3=10. При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме радиусов, поэтому O_1O_2=r_1+r_2=5, O_1O_3=r_1+r_3=12, O_2O_3=r_2+r_3=13. Заметим, что 5^2+12^2=25+144=169=13^2. Значит, треугольник O_1O_2O_3 прямоугольный, причём прямой угол — при вершине O_1 (между сторонами длиной 5 и 12). Это позволяет выбрать особенно удобную систему координат. ## Координаты Поместим прямой угол в начало координат, а катеты — на оси: O_1=(0,0), O_2=(5,0), O_3=(0,12). Пусть четвёртая окружность имеет центр O=(x,y) и радиус R. Три данные окружности лежат внутри неё и касаются её изнутри, поэтому для каждой из них расстояние от O до её центра равно R минус её радиус (и, в частности, R>r_3=10): cases x^2+y^2=(R-2)^2, (x-5)^2+y^2=(R-3)^2, x^2+(y-12)^2=(R-10)^2. cases ## Линеаризация Вычтем первое уравнение из второго. Слагаемые x^2+y^2 сокращаются: -10x+25=(R-3)^2-(R-2)^2=-2R+5 x=(R+10)/(5). Аналогично вычтем первое уравнение из третьего: -24y+144=(R-10)^2-(R-2)^2=-16R+96 y=(2R+6)/(3). ## Квадратное уравнение Подставим найденные x и y в первое уравнение x^2+y^2=(R-2)^2: ((R+10)^2)/(25)+((2R+6)^2)/(9)=(R-2)^2. Умножим обе части на 225: 9(R+10)^2+25(2R+6)^2=225(R-2)^2. Раскрываем скобки: 9R^2+180R+900+100R^2+600R+900=225R^2-900R+900, 109R^2+780R+1800=225R^2-900R+900, 116R^2-1680R-900=0. Разделив на 4, получаем 29R^2-420R-225=0. Дискриминант D=420^2+4* 29* 225=176400+26100=202500=450^2, откуда R=(420+- 450)/(58). Это даёт R=(870)/(58)=15 или R=(-30)/(58)=-(15)/(29). ## Отбор Радиус положителен, поэтому корень R=-(15)/(29) отбрасываем (формально он отвечает вписанной в криволинейный треугольник маленькой окружности с противоположным типом касания). Остаётся R=15, и условие достижимости R>10 выполнено. ## Проверка При R=15 центр четвёртой окружности x=(15+10)/(5)=5, y=(2* 15+6)/(3)=12, O=(5,12). Проверяем внутреннее касание для каждой из трёх окружностей: |OO_1|=sqrt(5^2+12^2)=13=15-2, |OO_2|=sqrt(0^2+12^2)=12=15-3, |OO_3|=sqrt(5^2+0^2)=5=15-10. Все три условия выполнены — все данные окружности касаются четвёртой изнутри. Тот же ответ даёт теорема Декарта о четырёх касающихся окружностях: для кривизн k_i=1r_i и кривизны объемлющей окружности k_4=-1R равенство (k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2) приводит к R=15. ## Ответ R=15.
Радиус четвёртой окружности равен \(15\).