Три окружности с радиусами, равными 2, 3 и 10, касаются друг друга внешним образом так, что каждая из них касается остальных двух. Четвертая окружность расположена так, что первые три касаются ее внутренним образом. Найти радиус четвертой окружности.
Центры трёх попарно касающихся окружностей образуют треугольник со сторонами, равными суммам радиусов. Разместив этот треугольник в координатах, для центра и радиуса четвёртой окружности получим систему из условий внутреннего касания, которая сводится к одному квадратному уравнению.
Пусть O1,O2,O3 — центры окружностей радиусов r1=2, r2=3, r3=10. При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме радиусов, поэтому
O1O2=r1+r2=5,O1O3=r1+r3=12,O2O3=r2+r3=13.Заметим, что 52+122=25+144=169=132. Значит, треугольник O1O2O3 прямоугольный, причём прямой угол — при вершине O1 (между сторонами длиной 5 и 12). Это позволяет выбрать особенно удобную систему координат.
Поместим прямой угол в начало координат, а катеты — на оси:
O1=(0,0),O2=(5,0),O3=(0,12).Пусть четвёртая окружность имеет центр O=(x,y) и радиус R. Три данные окружности лежат внутри неё и касаются её изнутри, поэтому для каждой из них расстояние от O до её центра равно R минус её радиус (и, в частности, R>r3=10):
⎩⎨⎧x2+y2=(R−2)2,(x−5)2+y2=(R−3)2,x2+(y−12)2=(R−10)2.Вычтем первое уравнение из второго. Слагаемые x2+y2 сокращаются:
−10x+25=(R−3)2−(R−2)2=−2R+5 ⟹ x=5R+10.Аналогично вычтем первое уравнение из третьего:
−24y+144=(R−10)2−(R−2)2=−16R+96 ⟹ y=32R+6.Подставим найденные x и y в первое уравнение x2+y2=(R−2)2:
25(R+10)2+9(2R+6)2=(R−2)2.Умножим обе части на 225:
9(R+10)2+25(2R+6)2=225(R−2)2.Раскрываем скобки:
9R2+180R+900+100R2+600R+900=225R2−900R+900, 109R2+780R+1800=225R2−900R+900, 116R2−1680R−900=0.Разделив на 4, получаем
29R2−420R−225=0.Дискриминант
D=4202+4⋅29⋅225=176400+26100=202500=4502,откуда
R=58420±450.Это даёт R=58870=15 или R=58−30=−2915.
Радиус положителен, поэтому корень R=−2915 отбрасываем (формально он отвечает вписанной в криволинейный треугольник маленькой окружности с противоположным типом касания). Остаётся
R=15,и условие достижимости R>10 выполнено.
При R=15 центр четвёртой окружности
x=515+10=5,y=32⋅15+6=12,O=(5,12).Проверяем внутреннее касание для каждой из трёх окружностей:
∣OO1∣=52+122=13=15−2,∣OO2∣=02+122=12=15−3,∣OO3∣=52+02=5=15−10.Все три условия выполнены — все данные окружности касаются четвёртой изнутри. Тот же ответ даёт теорема Декарта о четырёх касающихся окружностях: для кривизн ki=ri1 и кривизны объемлющей окружности k4=−R1 равенство (k1+k2+k3+k4)2=2(k12+k22+k32+k42) приводит к R=15.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ШМП МГУ (Ю.А. Попов, репетиционный)