Задача №18544

Вычислить сумму корней уравнения

$$({\sin }^{4}x+{\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x-1)\cdot \sqrt{-x^2-15\pi x+100{\pi }^2}=0.$$

Уравнение

$$({\sin }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x-1)\cdot \sqrt{-x^2-15\pi x+100{\pi }^2}=0$$

представляет собой произведение двух множителей, поэтому его удобно решать через ОДЗ и обращение множителей в нуль. Ключевая тонкость традиционной части: корень определён только там, где подкоренное выражение неотрицательно, поэтому область определения ограничивает множество корней.

Шаг 1. Область определения (ОДЗ).

Квадратный корень требует

$$-x^2-15\pi x+100{\pi }^2\ge 0⟺x^2+15\pi x-100{\pi }^2\le 0.$$

Корни квадратного трёхчлена:

$$x=\frac{-15\pi \pm \sqrt{225{\pi }^2+400{\pi }^2}}{2}=\frac{-15\pi \pm \sqrt{625{\pi }^2}}{2}=\frac{-15\pi \pm 25\pi }{2},$$

откуда $x=5\pi$ и $x=-20\pi \text{.}$ Так как ветви параболы $x^2+15\pi x-100{\pi }^2$ направлены вверх, неравенство выполнено между корнями:

$$-20\pi \le x\le 5\pi .$$

Шаг 2. Упрощение первого множителя.

Обозначим $a={\sin }^{2}x\text{,}$ $b={\cos }^{2}x\text{,}$ так что $a+b=1\text{.}$ Тогда

$${\sin }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x=a^2+ab+b^2=(a+b{)}^2-ab=1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x.$$

Вычитая единицу, получаем

$${\sin }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x-1=-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=-\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x.$$

Таким образом, на ОДЗ исходное уравнение равносильно

$$-\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x\cdot \sqrt{-x^2-15\pi x+100{\pi }^2}=0.$$

Шаг 3. Обращение произведения в нуль.

Произведение равно нулю, когда обнуляется хотя бы один множитель (при условии, что оба определены, что уже обеспечено ОДЗ):

• либо $\sqrt{-x^2-15\pi x+100{\pi }^2}=0\text{,}$ то есть $x=-20\pi$ или $x=5\pi$ (концы отрезка ОДЗ);
• либо ${\sin }^{2}2x=0\text{,}$ то есть $\sin 2x=0\text{,}$ откуда $2x=\pi n$ и $x=\frac{\pi n}{2}\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Заметим, что оба конца отрезка сами имеют вид $x=\frac{\pi n}{2}\text{:}$ для $x=5\pi$ это $n=10\text{,}$ для $x=-20\pi$ это $n=-40$ (действительно, $\sin (10\pi )=0$ и $\sin (-40\pi )=0$). Поэтому концевые корни не добавляют ничего нового — всё множество решений описывается одной серией

$$x=\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}.$$

Шаг 4. Отбор корней по ОДЗ.

Требуется $-20\pi \le \frac{\pi n}{2}\le 5\pi \text{,}$ то есть $-40\le n\le 10\text{.}$ Значит,

$$n\in \{-40,-39,\dots ,9,10\}.$$

Это $10-(-40)+1=51$ целых значений, каждому из которых отвечает свой корень $x=\frac{\pi n}{2}\text{.}$

Шаг 5. Сумма корней.

$$\sum _{n=-40}^{10}\frac{\pi n}{2}=\frac{\pi }{2}\sum _{n=-40}^{10}n.$$

Сумма арифметической прогрессии из $51$ слагаемого с крайними членами $-40$ и $10\text{:}$

$$\sum _{n=-40}^{10}n=\frac{51\cdot (-40+10)}{2}=\frac{51\cdot (-30)}{2}=-765.$$

Следовательно,

$$\sum x=\frac{\pi }{2}\cdot (-765)=-\frac{765\pi }{2}.$$

Ответ: сумма корней равна $-\frac{765\pi }{2}$ (то есть $-382,5\pi$).

Проверка (численно): все $51$ точек $x=\pi n/2\text{,}$ $n=-40,\dots ,10\text{,}$ обращают левую часть в нуль и лежат в ОДЗ; их сумма равна $-1201,66\dots =-382,5\pi \text{,}$ что совпадает с $-\frac{765\pi }{2}\text{.}$