Вычислить сумму корней уравнения (sin^4 x + sin^2 x * cos^2 x + cos^4 x - 1)*sqrt(-x^2-15pi x+100pi^2)=0.
Уравнение (sin^4 x + sin^2 xcos^2 x + cos^4 x - 1)*sqrt(-x^2-15pi x+100pi^2)=0 представляет собой произведение двух множителей, поэтому его удобно решать через ОДЗ и обращение множителей в нуль. Ключевая тонкость традиционной части: корень определён только там, где подкоренное выражение неотрицательно, поэтому область определения ограничивает множество корней. **Шаг 1. Область определения (ОДЗ).** Квадратный корень требует -x^2-15pi x+100pi^2>= 0 x^2+15pi x-100pi^2<= 0. Корни квадратного трёхчлена: x=(-15pi+-sqrt(225pi^2+400pi^2))/(2)=(-15pi+-sqrt(625pi^2))/(2)=(-15pi+- 25pi)/(2), откуда x=5pi и x=-20pi. Так как ветви параболы x^2+15pi x-100pi^2 направлены вверх, неравенство выполнено между корнями: -20pi<= x<= 5pi. **Шаг 2. Упрощение первого множителя.** Обозначим a=sin^2 x, b=cos^2 x, так что a+b=1. Тогда sin^4 x+sin^2 xcos^2 x+cos^4 x=a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab=1-sin^2 xcos^2 x. Вычитая единицу, получаем sin^4 x+sin^2 xcos^2 x+cos^4 x-1=-sin^2 xcos^2 x=-14sin^2 2x. Таким образом, на ОДЗ исходное уравнение равносильно -14sin^2 2x*sqrt(-x^2-15pi x+100pi^2)=0. **Шаг 3. Обращение произведения в нуль.** Произведение равно нулю, когда обнуляется хотя бы один множитель (при условии, что оба определены, что уже обеспечено ОДЗ): - либо sqrt(-x^2-15pi x+100pi^2)=0, то есть x=-20pi или x=5pi (концы отрезка ОДЗ); - либо sin^2 2x=0, то есть sin 2x=0, откуда 2x=pi n и x=(pi n)/(2), ninZ. Заметим, что оба конца отрезка сами имеют вид x=(pi n)/(2): для x=5pi это n=10, для x=-20pi это n=-40 (действительно, sin(10pi)=0 и sin(-40pi)=0). Поэтому концевые корни не добавляют ничего нового — всё множество решений описывается одной серией x=(pi n)/(2), ninZ. **Шаг 4. Отбор корней по ОДЗ.** Требуется -20pi<= (pi n)/(2)<= 5pi, то есть -40<= n<= 10. Значит, nin-40,-39,,9,10. Это 10-(-40)+1=51 целых значений, каждому из которых отвечает свой корень x=(pi n)/(2). **Шаг 5. Сумма корней.** _(n=-40)^(10)(pi n)/(2)=(pi)/(2)_(n=-40)^(10) n. Сумма арифметической прогрессии из 51 слагаемого с крайними членами -40 и 10: _(n=-40)^(10) n=(51*(-40+10))/(2)=(51*(-30))/(2)=-765. Следовательно, x=(pi)/(2)*(-765)=-(765pi)/(2). **Ответ:** сумма корней равна -(765pi)/(2) (то есть -382,5pi). Проверка (численно): все 51 точек x=pi n/2, n=-40,,10, обращают левую часть в нуль и лежат в ОДЗ; их сумма равна -1201,66=-382,5pi, что совпадает с -(765pi)/(2).
Сумма корней равна \(-\dfrac{765\pi}{2}\).