Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ШМП МГУ (Ю.А. Попов, репетиционный)
Найти 2026-ю цифру после запятой в десятичной записи числа 0,999990,76543.
Приводим дробь к целочисленному виду. Домножим числитель и знаменатель на 100000=105:
0,999990,76543=0,99999⋅1050,76543⋅105=9999976543.Раскладываем в периодическую десятичную дробь. Заметим, что знаменатель есть 99999=105−1. Тогда
999991=105−11=1−10−510−5=k=1∑∞10−5k=0,00001.Умножая на 76543 (число из пяти цифр, поэтому переносов между соседними блоками не возникает), получаем
9999976543=76543⋅k=1∑∞10−5k=0,76543=0,765437654376543…Таким образом, это чисто периодическая дробь с периодом длины 5, а период — блок цифр 76543.
Находим 2026-ю цифру. Цифры после запятой разбиваются на блоки по 5 штук:
| позиция в блоке | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| цифра | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 |
Позиция цифры внутри периода определяется остатком номера при делении на 5. Поделим 2026 на 5 с остатком:
2026=5⋅405+1,2026≡1(mod5).Значит, 2026-я цифра стоит на первом месте очередного (406-го) периода, а первая цифра периода — это 7.
Проверка. Прямое деление даёт 0,765437654376543…; цифры с номерами 1,6,11,… (то есть все с остатком 1 по модулю 5) равны 7. Число 2026 как раз даёт остаток 1, что подтверждает ответ.
Ответ: 7.