Найти 2026-ю цифру после запятой в десятичной записи числа (0,76543)/(0,99999).
**Приводим дробь к целочисленному виду.** Домножим числитель и знаменатель на 100000=10^5: (0,76543)/(0,99999)=(0,76543* 10^5)/(0,99999* 10^5)=(76543)/(99999). **Раскладываем в периодическую десятичную дробь.** Заметим, что знаменатель есть 99999=10^5-1. Тогда (1)/(99999)=(1)/(10^5-1)=(10^(-5))/(1-10^(-5))=_(k=1)^(inf)10^(-5k)=0,00001. Умножая на 76543 (число из пяти цифр, поэтому переносов между соседними блоками не возникает), получаем (76543)/(99999)=76543*_(k=1)^(inf)10^(-5k)=0,76543=0,765437654376543 Таким образом, это чисто периодическая дробь с периодом длины 5, а период — блок цифр 76543. **Находим 2026-ю цифру.** Цифры после запятой разбиваются на блоки по 5 штук: | позиция в блоке | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | цифра | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | Позиция цифры внутри периода определяется остатком номера при делении на 5. Поделим 2026 на 5 с остатком: 2026=5* 405+1, 2026=== 1+-od 5. Значит, 2026-я цифра стоит на первом месте очередного (406-го) периода, а первая цифра периода — это 7. **Проверка.** Прямое деление даёт 0,765437654376543; цифры с номерами 1,6,11, (то есть все с остатком 1 по модулю 5) равны 7. Число 2026 как раз даёт остаток 1, что подтверждает ответ. **Ответ:** 7.
\(7\)