58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T964,Выражение распадается на два слагаемых. Разберём каждое отдельно, свернув числа под радикалами в точные степени. **Первое слагаемое.** Заметим, что подкоренное выражение является полным кубом. Проверим гипотезу $(2+\sqrt{3})^3$: \[ (2+\sqrt{3})^3 = 2^3 + 3\cdot 2^2\cdot\sqrt{3} + 3\cdot 2\cdot(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = 26 + 15\sqrt{3}. \] Значит $\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3}$ (кубический корень определён однозначно для любого действительного числа, поэтому вопрос о выборе знака не возникает). Тогда \[ \sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\cdot\left(2-\sqrt{3}\right) = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1. \] **Второе слагаемое.** Свернём подкоренные выражения в квадраты. Поскольку $4\sqrt{3} = 2\cdot 2\cdot\sqrt{3}$, удобно взять $a=2$, $b=\sqrt{3}$: \[ 7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = (2-\sqrt{3})^2, \qquad 7 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = (2+\sqrt{3})^2. \] При извлечении квадратного корня берём **арифметическое** значение, то есть модуль основания. Так как $2 = \sqrt{4} > \sqrt{3}$, число $2-\sqrt{3}$ положительно, поэтому \[ \sqrt{7-4\sqrt{3}} = \left|2-\sqrt{3}\right| = 2-\sqrt{3}, \qquad \sqrt{7+4\sqrt{3}} = \left|2+\sqrt{3}\right| = 2+\sqrt{3}. \] Сумма корней в знаменателе иррациональность взаимно уничтожает: \[ \sqrt{7-4\sqrt{3}} + \sqrt{7+4\sqrt{3}} = (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 4. \] Знаменатель отличен от нуля, поэтому дробь определена, и \[ \frac{2}{\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \] **Итог.** Складываем оба слагаемых: \[ 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}. \] Численная проверка подстановкой даёт значение $1{,}5000\ldots$, что подтверждает результат. **Ответ:** $\dfrac{3}{2}$.5c:T90d,## Находим формулу общего члена По условию сумма первых $n$ членов равна \[ S_n = 3n^2 - 2n. \] Член последовательности связан с суммами соотношением $a_n = S_n - S_{n-1}$ при $n \ge 2$, а первый член равен $a_1 = S_1$. Сначала первый член: \[ a_1 = S_1 = 3\cdot 1^2 - 2\cdot 1 = 1. \] Теперь для $n \ge 2$: \[ a_n = S_n - S_{n-1} = \bigl(3n^2 - 2n\bigr) - \bigl(3(n-1)^2 - 2(n-1)\bigr). \] Раскроем скобки во втором слагаемом: \[ 3(n-1)^2 - 2(n-1) = 3n^2 - 6n + 3 - 2n + 2 = 3n^2 - 8n + 5. \] Отсюда \[ a_n = (3n^2 - 2n) - (3n^2 - 8n + 5) = 6n - 5. \] **Проверка склейки формулы.** Подставим $n=1$ в полученное выражение: $6\cdot 1 - 5 = 1$, что совпадает с уже найденным $a_1 = 1$. Значит, формула \[ a_n = 6n - 5 \] верна для всех $n \ge 1$ (первый член не выпадает из общего правила). Последовательность оказалась арифметической прогрессией с первым членом $1$ и разностью $6$. ## Выписываем десять членов Подставляя $n = 1,2,\dots,10$, получаем \[ 1,\ 7,\ 13,\ 19,\ 25,\ 31,\ 37,\ 43,\ 49,\ 55. \] ## Сумма квадратов Нужно найти $\displaystyle \sum_{n=1}^{10} a_n^2 = \sum_{n=1}^{10} (6n-5)^2$. Раскроем квадрат: \[ (6n-5)^2 = 36n^2 - 60n + 25. \] Тогда \[ \sum_{n=1}^{10} (6n-5)^2 = 36\sum_{n=1}^{10} n^2 - 60\sum_{n=1}^{10} n + 25\cdot 10. \] Используем табличные суммы: \[ \sum_{n=1}^{10} n = 55, \qquad \sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10\cdot 11\cdot 21}{6} = 385. \] Подставляем: \[ 36\cdot 385 - 60\cdot 55 + 250 = 13860 - 3300 + 250 = 10810. \] Для надёжности перепроверим прямым сложением квадратов: \[ 1 + 49 + 169 + 361 + 625 + 961 + 1369 + 1849 + 2401 + 3025 = 10810. \] Оба способа дают один и тот же результат. ## Ответ \[ \sum_{n=1}^{10} a_n^2 = 10810. \]5d:T120a,## Область допустимых значений Выпишем условия существования обоих логарифмов. Для $\log_{(x^2-2x)}(x+3)$ нужно, чтобы основание было положительным и не равным единице, а аргумент положительным; аналогично для $\log_{(x+3)}(x^2-x-2)$. Получаем систему: \[ \begin{cases} x^2-2x>0,\\ x^2-2x\ne 1,\\ x+3>0,\\ x+3\ne 1,\\ x^2-x-2>0. \end{cases} \] Разберём по частям. - $x^2-2x=x(x-2)>0$ даёт $x<0$ или $x>2$. - $x^2-2x\ne 1\Leftrightarrow x^2-2x-1\ne 0\Leftrightarrow x\ne 1\pm\sqrt{2}$. - $x+3>0$ даёт $x>-3$. - $x+3\ne 1$ даёт $x\ne -2$. - $x^2-x-2=(x-2)(x+1)>0$ даёт $x<-1$ или $x>2$. Пересечение условий $x(x-2)>0$ и $(x-2)(x+1)>0$ с учётом $x>-3$ даёт две зоны: $-32$. Из них выбрасываем точки $x=-2$ (там $x+3=1$) и $x=1+\sqrt{2}\approx2{,}414$ (там $x^2-2x=1$); точка $1-\sqrt{2}\approx-0{,}414$ в эти зоны не попадает. Итоговая ОДЗ: \[ x\in(-3;-2)\cup(-2;-1)\cup\bigl(2;\,1+\sqrt{2}\bigr)\cup\bigl(1+\sqrt{2};\,+\infty\bigr). \] ## Упрощение левой части Перейдём к натуральному логарифму. На ОДЗ основание $x+3$ допустимо (положительно и не равно единице), поэтому $\ln(x+3)\ne 0$ и его можно сократить: \[ \log_{(x^2-2x)}(x+3)\cdot\log_{(x+3)}(x^2-x-2)=\frac{\ln(x+3)}{\ln(x^2-2x)}\cdot\frac{\ln(x^2-x-2)}{\ln(x+3)}=\frac{\ln(x^2-x-2)}{\ln(x^2-2x)}. \] Таким образом левая часть равна $\log_{(x^2-2x)}\bigl(x^2-x-2\bigr)$, и неравенство принимает вид \[ \log_{(x^2-2x)}\bigl(x^2-x-2\bigr)\le 1. \] Введём обозначение основания $t=x^2-2x$ (на ОДЗ $t>0,\ t\ne 1$) и аргумента $A=x^2-x-2$ (на ОДЗ $A>0$). Так как $1=\log_t t$, неравенство равносильно $\log_t A\le\log_t t$. ## Разбор по значению основания Знак основания $t=x^2-2x$ относительно единицы: $t>1\Leftrightarrow x^2-2x-1>0\Leftrightarrow x<1-\sqrt{2}$ или $x>1+\sqrt{2}$; соответственно $01$.** Логарифм возрастает, знак сохраняется: \[ A\le t\;\Longleftrightarrow\;x^2-x-2\le x^2-2x\;\Longleftrightarrow\;x-2\le 0\;\Longleftrightarrow\;x\le 2. \] **Случай 2: основание $01$ (случай 1), условие $x\le 2$ выполнено всюду. Интервал входит целиком. - **$(-2;-1)$:** снова $x<1-\sqrt{2}$, $t>1$, условие $x\le 2$ выполнено. Интервал входит целиком. - **$\bigl(2;\,1+\sqrt{2}\bigr)$:** здесь $1-\sqrt{2}1+\sqrt{2}$, значит $t>1$ (случай 1), но требуется $x\le 2$, а на этом интервале $x>1+\sqrt{2}>2$. Решений нет. ## Проверка Численный скан исходного выражения по всей ОДЗ подтверждает границы: неравенство выполняется ровно на $(-3;-2)\cup(-2;-1)\cup\bigl(2;\,1+\sqrt{2}\bigr)$. Контрольные точки: при $x=-2{,}5$ левая часть $\approx0{,}79\le 1$; при $x=2{,}2$ — $\approx0{,}71\le 1$; при $x=3$ — $\log_3 4\approx1{,}26>1$, то есть точка вне решения, что согласуется с исключением интервала $\bigl(1+\sqrt{2};+\infty\bigr)$. ## Ответ \[ x\in(-3;-2)\cup(-2;-1)\cup\bigl(2;\,1+\sqrt{2}\bigr). \] 5e:T11b8,## Область допустимых значений В уравнении есть дроби $\dfrac{\sin 3x}{\sin x}$ и $\dfrac{\cos 3x}{\cos x}$, а также $\operatorname{ctg}^2 2x=\dfrac{\cos^2 2x}{\sin^2 2x}$. Поэтому требуется \[ \sin x\ne 0,\qquad \cos x\ne 0,\qquad \sin 2x\ne 0. \] Так как $\sin 2x=2\sin x\cos x$, равенство $\sin 2x=0$ означает $\sin x=0$ или $\cos x=0$. Значит, все три условия равносильны одному: \[ \sin 2x\ne 0\quad\Longleftrightarrow\quad x\ne \dfrac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb{Z}. \] ## Преобразование левой части Приведём две дроби к общему знаменателю $\sin x\cos x$: \[ \frac{\sin 3x}{\sin x}+\frac{\cos 3x}{\cos x}=\frac{\sin 3x\cos x+\cos 3x\sin x}{\sin x\cos x}. \] В числителе стоит формула синуса суммы: $\sin 3x\cos x+\cos 3x\sin x=\sin(3x+x)=\sin 4x$. В знаменателе $\sin x\cos x=\tfrac12\sin 2x$. Поэтому \[ \frac{\sin 4x}{\tfrac12\sin 2x}=\frac{2\sin 4x}{\sin 2x}=\frac{2\cdot 2\sin 2x\cos 2x}{\sin 2x}=4\cos 2x, \] где использовано $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$ (сокращение на $\sin 2x\ne 0$ законно по ОДЗ). Итак, левая часть равна $4\cos 2x$. ## Уравнение относительно $\cos 2x$ Уравнение принимает вид \[ 4\cos 2x=4\,\frac{\cos^2 2x}{\sin^2 2x}. \] Разделим на $4$ и умножим на $\sin^2 2x>0$ (на ОДЗ знаменатель отличен от нуля, знак не меняется, посторонних корней не возникает): \[ \cos 2x\cdot\sin^2 2x=\cos^2 2x. \] Обозначим $t=\cos 2x$ и заменим $\sin^2 2x=1-t^2$: \[ t(1-t^2)=t^2\ \Longleftrightarrow\ t-t^3-t^2=0\ \Longleftrightarrow\ t\bigl(t^2+t-1\bigr)=0. \] Отсюда $t=0$ либо $t^2+t-1=0$, то есть $t=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$. Корень $t=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}\approx-1{,}618$ по модулю больше единицы и не является значением косинуса — отбрасываем. Остаются \[ t=\cos 2x=0\qquad\text{и}\qquad t=\cos 2x=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx 0{,}618. \] **Замечание о знаке.** Правая часть исходного уравнения $4\operatorname{ctg}^2 2x\ge 0$, значит и $\cos 2x\ge 0$. Оба оставшихся значения $t=0$ и $t=\tfrac{\sqrt5-1}{2}>0$ этому условию удовлетворяют, так что дополнительных отсеиваний нет. ## Разбор случаев и проверка ОДЗ **Случай 1: $\cos 2x=0$.** Тогда \[ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi k\ \Longrightarrow\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb{Z}. \] При таких $x$ имеем $\sin 2x=\pm1\ne 0$ — ОДЗ выполнена. Проверка: левая часть $4\cos 2x=0$, правая $4\operatorname{ctg}^2 2x=0$, равенство верно. **Случай 2: $\cos 2x=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$.** Поскольку это значение отлично от $\pm1$, автоматически $\sin 2x\ne 0$, и ОДЗ выполнена. Отсюда \[ 2x=\pm\arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi k\ \Longrightarrow\ x=\pm\frac12\arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \] Значение $\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ не соответствует табличному углу, поэтому ответ оставляем через $\arccos$. ## Численная проверка Сведение $\dfrac{\sin 3x}{\sin x}+\dfrac{\cos 3x}{\cos x}=4\cos 2x$ проверено на сетке значений (максимальная невязка $\sim10^{-14}$). Сплошной численный поиск корней на промежутке $(0,\pi)$ даёт ровно четыре корня: $x\approx0{,}4523$ и $x\approx2{,}6893$ (это $\tfrac12\arccos\tfrac{\sqrt5-1}{2}$ и $\pi-\tfrac12\arccos\tfrac{\sqrt5-1}{2}$), а также $x=\tfrac{\pi}{4}$ и $x=\tfrac{3\pi}{4}$ — что в точности совпадает с двумя найденными сериями (обе имеют период $\pi$). ## Ответ \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z};\qquad x=\pm\frac12\arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}. \]5f:T1888,## Что за окружность Окружность $\omega$ касается двух сторон угла $A$ -- сторон $AB$ и $AC$, -- поэтому её центр лежит на биссектрисе угла $A$. Кроме того, она касается описанной окружности $\Omega$ треугольника $ABC$ изнутри. Такая окружность единственна: это так называемая **полувписанная (смешанная) окружность угла $A$**. Обозначим $\alpha=\dfrac{A}{2}$ и стороны стандартно: $a=BC=7$, $b=AC=6$, $c=AB=5$. Поскольку из точки $A$ к $\omega$ проведены две касательные (по сторонам $AB$ и $AC$), длины касательных равны: $AP=AQ$. Значит, треугольник $APQ$ равнобедренный, а его ось симметрии -- биссектриса $AI$ (где $I$ -- центр вписанной окружности). Отрезок $PQ$ перпендикулярен этой биссектрисе, и \[ PQ=2\cdot AP\cdot\sin\alpha . \] Остаётся найти $AP$ (или, что то же, положение центра $\omega$). Сделаем это, аккуратно записав условие касания с $\Omega$. ## Координаты Поместим $A$ в начало координат, а биссектрису угла $A$ направим по положительной полуоси $x$. Тогда стороны угла симметричны относительно оси $x$: \[ B=(c\cos\alpha,\;-c\sin\alpha),\qquad C=(b\cos\alpha,\;b\sin\alpha). \] Центр окружности $\omega$ лежит на оси $x$: $S=(t,0)$, $t>0$. Расстояние от $S$ до прямой $AB$ (а угол между осью и $AB$ равен $\alpha$) даёт радиус $\rho=t\sin\alpha$, а основания перпендикуляров -- точки касания, причём \[ AP=AQ=t\cos\alpha,\qquad \angle PAQ=2\alpha . \] Отсюда сразу \[ PQ=2\,AP\,\sin\alpha=2t\cos\alpha\sin\alpha=t\sin 2\alpha. \tag{1} \] ## Центр описанной окружности Пусть $O=(x_0,y_0)$, $R$ -- центр и радиус $\Omega$. Из равенств $|OA|=|OB|$ и $|OA|=|OC|$ после раскрытия скобок получаем линейную систему \[ \begin{cases} \cos\alpha\,x_0-\sin\alpha\,y_0=\dfrac{c}{2},\\[4pt] \cos\alpha\,x_0+\sin\alpha\,y_0=\dfrac{b}{2}, \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad x_0=\frac{b+c}{4\cos\alpha},\quad y_0=\frac{b-c}{4\sin\alpha}. \] ## Условие внутреннего касания Окружность $\omega$ лежит внутри $\Omega$, поэтому расстояние между центрами равно разности радиусов: \[ |OS|=R-\rho . \] Возведём в квадрат. Учитывая $R^2=|OA|^2=x_0^2+y_0^2$ и $\rho=t\sin\alpha$: \[ |OS|^2=(x_0-t)^2+y_0^2=R^2-2x_0t+t^2,\qquad (R-\rho)^2=R^2-2R\rho+\rho^2 . \] Приравнивая и сокращая $R^2$: \[ -2x_0t+t^2=-2R\,t\sin\alpha+t^2\sin^2\alpha . \] Делим на $t>0$ и переносим: \[ t\,(1-\sin^2\alpha)=2x_0-2R\sin\alpha\;\Longrightarrow\;t\cos^2\alpha=2x_0-2R\sin\alpha . \tag{2} \] Подставляя $(2)$ в $(1)$: \[ PQ=t\sin 2\alpha=2t\sin\alpha\cos\alpha =\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}\,(2x_0-2R\sin\alpha) =4\tan\alpha\,\bigl(x_0-R\sin\alpha\bigr). \tag{3} \] ## Подставляем числа **Угол $A$.** По теореме косинусов \[ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{36+25-49}{2\cdot6\cdot5}=\frac{12}{60}=\frac15 . \] Тогда через формулы половинного угла ($A=2\alpha$): \[ \cos^2\alpha=\frac{1+\cos A}{2}=\frac{3}{5},\qquad \sin^2\alpha=\frac{2}{5}, \] \[ \cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}{5},\quad \sin\alpha=\frac{\sqrt{10}}{5},\quad \tan\alpha=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt6}{3}. \] **Радиус $R$.** Площадь по формуле Герона: полупериметр $s=\dfrac{7+6+5}{2}=9$, \[ S=\sqrt{9\cdot2\cdot3\cdot4}=\sqrt{216}=6\sqrt6,\qquad R=\frac{abc}{4S}=\frac{210}{24\sqrt6}=\frac{35\sqrt6}{24}. \] **Слагаемые в $(3)$.** \[ x_0=\frac{b+c}{4\cos\alpha}=\frac{11}{4\cdot\frac{\sqrt{15}}{5}}=\frac{55}{4\sqrt{15}}=\frac{11\sqrt{15}}{12}, \] \[ R\sin\alpha=\frac{35\sqrt6}{24}\cdot\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{35\sqrt{60}}{120}=\frac{35\cdot2\sqrt{15}}{120}=\frac{7\sqrt{15}}{12}, \] \[ x_0-R\sin\alpha=\frac{11\sqrt{15}}{12}-\frac{7\sqrt{15}}{12}=\frac{4\sqrt{15}}{12}=\frac{\sqrt{15}}{3}. \] Наконец по $(3)$: \[ PQ=4\tan\alpha\,(x_0-R\sin\alpha)=4\cdot\frac{\sqrt6}{3}\cdot\frac{\sqrt{15}}{3} =\frac{4\sqrt{90}}{9}=\frac{4\cdot3\sqrt{10}}{9}=\frac{4\sqrt{10}}{3}. \] ## Проверка и красивый факт Численно: $PQ\approx4{,}216$; координатная модель треугольника даёт то же значение, а центр $\omega$ действительно лежит внутри $\Omega$ ($\rho\approx2{,}720$), поэтому подкоренные выражения определены и положительны. ## Оценка сверху через неравенство о среднем Разобьём каждый корень на произведение двух дробей и применим неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим $\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}{2}$: \[ \sqrt{\dfrac{ab}{(a+c)(b+c)}}=\sqrt{\dfrac{a}{a+c}\cdot\dfrac{b}{b+c}}\le\dfrac12\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right), \] \[ \sqrt{\dfrac{bc}{(a+b)(a+c)}}=\sqrt{\dfrac{b}{a+b}\cdot\dfrac{c}{a+c}}\le\dfrac12\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right), \] \[ \sqrt{\dfrac{ca}{(a+b)(b+c)}}=\sqrt{\dfrac{c}{b+c}\cdot\dfrac{a}{a+b}}\le\dfrac12\left(\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+b}\right). \] Сложим три неравенства. В правой части шесть дробей удобно сгруппировать по общим знаменателям: \[ \underbrace{\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}}_{=1}+\underbrace{\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}}_{=1}+\underbrace{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}}_{=1}=3. \] Каждая пара даёт в сумме $1$, значит вся скобка равна $3$. Поэтому \[ S\le\dfrac12\cdot 3=\dfrac32. \] ## Достижимость и отбор случая равенства Оценка станет равенством, только если во всех трёх применениях неравенства $\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}{2}$ множители равны. Разберём каждое из условий. - $\dfrac{a}{a+c}=\dfrac{b}{b+c}$ равносильно $a(b+c)=b(a+c)$, то есть $ac=bc$, откуда $a=b$. - $\dfrac{b}{a+b}=\dfrac{c}{a+c}$ равносильно $b(a+c)=c(a+b)$, то есть $ab=ca$, откуда $b=c$. - $\dfrac{c}{b+c}=\dfrac{a}{a+b}$ равносильно $c(a+b)=a(b+c)$, то есть $cb=ab$, откуда $a=c$. Все три условия выполняются одновременно тогда и только тогда, когда $a=b=c$. Вместе с ограничением $a+b+c=3$ это даёт единственную точку $a=b=c=1$, лежащую в допустимой области (все числа положительны). Проверим значение в этой точке: каждый знаменатель равен $3\cdot 1+1\cdot 1=4$, а каждое слагаемое равно $\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac12$, поэтому \[ S=\dfrac12+\dfrac12+\dfrac12=\dfrac32. \] Значит верхняя граница $\dfrac32$ действительно достигается, то есть является наибольшим значением. ## Проверка Численный перебор по симплексу $a+b+c=3,\ a,b,c>0$ даёт максимум $S\approx 1.5000$, достигаемый в окрестности точки $(1,1,1)$; тождества $3c+ab=(a+c)(b+c)$ и аналогичные подтверждены подстановкой. Это согласуется с аналитическим ответом. ## Ответ Наибольшее значение равно $S_{\max}=\dfrac{3}{2}$ и достигается при $a=b=c=1$.61:T22d4,## Данные и модель Правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$: сторона основания $a=4\sqrt3$, боковое ребро $l=10\sqrt6$. Основание $ABCD$ -- квадрат с центром $O$, апекс $S$ над $O$. Диагональ квадрата равна $a\sqrt2=4\sqrt3\cdot\sqrt2=4\sqrt6$, значит расстояние от центра до вершины основания \[ OA=OB=OC=OD=\tfrac12\cdot 4\sqrt6=2\sqrt6 . \] Из прямоугольного треугольника $SOA$ находим высоту $h=SO$: \[ SA^2=OA^2+SO^2\ \Rightarrow\ (10\sqrt6)^2=(2\sqrt6)^2+h^2\ \Rightarrow\ 600=24+h^2\ \Rightarrow\ h=24 . \] Введём координаты с началом в $O$, осью $Oz$ вдоль высоты и диагоналями вдоль осей $Ox,Oy$: \[ A=(2\sqrt6,0,0),\quad B=(0,2\sqrt6,0),\quad C=(-2\sqrt6,0,0),\quad D=(0,-2\sqrt6,0),\quad S=(0,0,24). \] Тогда $AB=\sqrt{(2\sqrt6)^2+(2\sqrt6)^2}=4\sqrt3$ и $SA=\sqrt{24+576}=10\sqrt6$ -- совпадает с условием. ## Вписанная сфера Сфера, вписанная в пирамиду, касается основания и всех боковых граней; её центр лежит на оси, $I=(0,0,r)$. Радиус удобно найти из осевого сечения пирамиды -- равнобедренного треугольника, проходящего через $S$ и середины противоположных сторон основания. Его основание равно стороне $a=4\sqrt3$, высота $h=24$, а боковые стороны -- апофемы боковых граней \[ m=\sqrt{\left(\tfrac{a}{2}\right)^2+h^2}=\sqrt{(2\sqrt3)^2+24^2}=\sqrt{12+576}=\sqrt{588}=14\sqrt3 . \] Вписанная в пирамиду сфера в этом сечении даёт вписанную в треугольник окружность того же радиуса: \[ r=\frac{\text{площадь}}{\text{полупериметр}}=\frac{\tfrac12\,a\,h}{\tfrac12(a+2m)}=\frac{a\,h}{a+2m}=\frac{4\sqrt3\cdot24}{4\sqrt3+28\sqrt3}=\frac{96\sqrt3}{32\sqrt3}=3 . \] Значит $I=(0,0,3)$, $r=3$ (сфера лежит между $z=0$ и $z=6$, то есть целиком внутри пирамиды). ## Направление и уравнение секущей плоскости Плоскость параллельна двум прямым, поэтому её нормаль перпендикулярна их направляющим векторам: \[ \vec{BD}\parallel(0,1,0),\qquad \vec{SA}=A-S=(2\sqrt6,0,-24). \] Берём нормаль как их векторное произведение: \[ \vec n=(0,1,0)\times(2\sqrt6,0,-24)=(-24,\,0,\,-2\sqrt6)\ \parallel\ (12,0,\sqrt6). \] Все плоскости нужного направления имеют вид \[ 12x+\sqrt6\,z=c . \] Вдоль ребра $SA$ величина $12x+\sqrt6 z$ постоянна: в $A$ она равна $24\sqrt6$, в $S$ -- тоже $24\sqrt6$. Поэтому плоскость, содержащая $SA$ (и параллельная $BD$), отвечает $c=24\sqrt6$; увеличивая или уменьшая $c$, мы сдвигаем плоскость параллельно самой себе. **Условие касания сферы.** Расстояние от $I=(0,0,3)$ до плоскости равно $r=3$. Так как $|\vec n|=\sqrt{12^2+(\sqrt6)^2}=\sqrt{150}=5\sqrt6$, \[ \frac{|12\cdot0+\sqrt6\cdot3-c|}{5\sqrt6}=3\ \Rightarrow\ |3\sqrt6-c|=15\sqrt6\ \Rightarrow\ c=18\sqrt6\ \text{или}\ c=-12\sqrt6 . \] Получаются две касательные плоскости -- по разные стороны от сферы. Проверим значения $12x+\sqrt6z$ в вершинах: $A,S\to24\sqrt6$, $B,D\to0$, $C\to-24\sqrt6$. Обе величины $18\sqrt6$ и $-12\sqrt6$ лежат в диапазоне $(-24\sqrt6,\,24\sqrt6)$, то есть каждая плоскость действительно пересекает пирамиду. Основным (сечение, примыкающее к ребру $SA$, первое касание при сдвиге плоскости от $SA$ внутрь) является $c=18\sqrt6$; второй случай разобран в конце. ## Сечение при $c=18\sqrt6$ Сравнивая $12x+\sqrt6z$ с $18\sqrt6$, видим, что по одну сторону оказываются вершины $A,S$ (значение $24\sqrt6$), по другую -- $B,C,D$. Плоскость пересекает те рёбра, у которых концы по разные стороны: $AB,\ AD,\ SB,\ SD,\ SC$. Значит сечение -- пятиугольник. Точки пересечения (делим ребро в найденном отношении): - на $AB$: $AB$ от $24\sqrt6$ до $0$; $18\sqrt6$ при доле $\tfrac14$ от $A$: $P=\bigl(\tfrac{3\sqrt6}{2},\tfrac{\sqrt6}{2},0\bigr)$; - на $AD$: симметрично $Q=\bigl(\tfrac{3\sqrt6}{2},-\tfrac{\sqrt6}{2},0\bigr)$; - на $SB$: от $24\sqrt6$ до $0$, доля $\tfrac14$ от $S$: $N=\bigl(0,\tfrac{\sqrt6}{2},18\bigr)$; - на $SD$: симметрично $M=\bigl(0,-\tfrac{\sqrt6}{2},18\bigr)$; - на $SC$: от $24\sqrt6$ до $-24\sqrt6$, доля $\tfrac18$ от $S$: $K=\bigl(-\tfrac{\sqrt6}{4},0,21\bigr)$. Обход пятиугольника: $P\,(AB)\to N\,(SB)\to K\,(SC)\to M\,(SD)\to Q\,(AD)$. Конфигурация симметрична относительно плоскости $y=0$ (замена $B\leftrightarrow D$). **Площадь через разбиение.** Отрезки $PQ$ и $NM$ параллельны $BD$ (направление $Oy$) и оба имеют длину $\sqrt6$. Четырёхугольник $PNMQ$ -- прямоугольник: $\vec{PQ}=(0,-\sqrt6,0)$ перпендикулярен $\vec{PN}=(-\tfrac{3\sqrt6}{2},0,18)$, причём \[ |PN|=\sqrt{\left(\tfrac{3\sqrt6}{2}\right)^2+18^2}=\sqrt{\tfrac{27}{2}+324}=\sqrt{\tfrac{675}{2}}=\frac{15\sqrt6}{2}. \] Отсюда \[ S_{PNMQ}=|PQ|\cdot|PN|=\sqrt6\cdot\frac{15\sqrt6}{2}=\frac{15\cdot6}{2}=45 . \] Оставшийся треугольник $NKM$ имеет основание $NM=\sqrt6$ (на прямой $x=0,\ z=18$) и вершину $K=(-\tfrac{\sqrt6}{4},0,21)$; высота из $K$ на эту прямую \[ d=\sqrt{\left(\tfrac{\sqrt6}{4}\right)^2+(21-18)^2}=\sqrt{\tfrac{6}{16}+9}=\sqrt{\tfrac{150}{16}}=\frac{5\sqrt6}{4}, \] так что \[ S_{NKM}=\tfrac12\cdot\sqrt6\cdot\frac{5\sqrt6}{4}=\frac{15}{4}. \] Итоговая площадь сечения \[ S=S_{PNMQ}+S_{NKM}=45+\frac{15}{4}=\frac{195}{4}=48{,}75 . \] Касание проверено по построению: расстояние от центра сферы до плоскости равно $3=r$; точка касания $\bigl(\tfrac{6\sqrt6}{5},0,3{,}6\bigr)$ лежит внутри пятиугольника, то есть сфера действительно касается самого сечения. ## Вторая касательная плоскость $c=-12\sqrt6$ Здесь по одну сторону оказывается только вершина $C$ (значение $-24\sqrt6$), поэтому плоскость отсекает угол при $C$ и пересекает рёбра $CB,\ CD,\ SC$ -- сечение является треугольником с вершинами \[ \left(-\sqrt6,\sqrt6,0\right),\quad\left(-\sqrt6,-\sqrt6,0\right),\quad\left(-\tfrac{3\sqrt6}{2},0,6\right). \] Его основание $2\sqrt6$ (параллельно $BD$) и высота $\tfrac{5\sqrt6}{2}$, поэтому площадь \[ S'=\tfrac12\cdot2\sqrt6\cdot\frac{5\sqrt6}{2}=15 . \] Эта плоскость тоже удовлетворяет всем условиям (параллельна $BD$ и $SA$, касается сферы), но соответствует срезу малого угла у вершины $C$; содержательным сечением, отвечающим духу задачи (проходящим сквозь тело со стороны ребра $SA$), является пятиугольник. ## Ответ \[ S_{\text{сеч}}=\frac{195}{4}=48{,}75 . \] (Симметричная касательная плоскость с другой стороны от сферы даёт треугольное сечение площади $15$.) 41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Пробный ДВИ МГУ 2026 — Ларин, вариант 226\",\"description\":\"Коллекция \\\"Пробный ДВИ МГУ 2026 — Ларин, вариант 226\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 7 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/probn-2026-larin-226\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-07-10T12:50:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Пробный ДВИ МГУ 2026 — Ларин, вариант 226\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Пробный ДВИ МГУ 2026 — Ларин, вариант 226-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Пробный ДВИ МГУ 2026 — Ларин, вариант 226"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"probn-2026-larin-226","serverCollection":{"id":"4548ea70-348f-4fd7-9beb-9128cd4ad03c","name":"Пробный ДВИ МГУ 2026 — Ларин, вариант 226","code":"probn-2026-larin-226","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"exam_format_2026":"written","hidden_problem_count":0,"is_probnik":true,"solved_count":0,"source":"alexlarin.net, тренировочный вариант ДВИ 226","source_url":"https://alexlarin.net/dvi.html","total_problem_count":7,"variant_batch":"dvi-probniki-2026-v1","visible_problem_count":7,"year":2026},"created_at":"2026-07-10T12:50:00Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem_count":7,"visible_count":7,"total_count":7,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"e48909fa-ecb7-4fef-9583-e6fa614febad","collection_id":"4548ea70-348f-4fd7-9beb-9128cd4ad03c","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"e48909fa-ecb7-4fef-9583-e6fa614febad","short_id":18556,"task_number":14,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Найдите значение выражения:\n\\[\n\\sqrt[3]{26+15\\sqrt{3}}\\cdot\\left(2-\\sqrt{3}\\right)+\\dfrac{2}{\\sqrt{7-4\\sqrt{3}}+\\sqrt{7+4\\sqrt{3}}}\n\\]","answer_text":"\$\\dfrac{3}{2}\$","answer":"\$\\dfrac{3}{2}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"1","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"alexlarin.net, тренировочный вариант ДВИ 226","source_url":"https://alexlarin.net/dvi.html","variant_key":"probn-2026-larin-226","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"da67531d-0011-489f-adab-84744c7aa977","code":"tag-208","name":"Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени"}]}},{"problem_id":"396ee5bf-222e-4d83-9f42-8db2610b6d5b","collection_id":"4548ea70-348f-4fd7-9beb-9128cd4ad03c","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"396ee5bf-222e-4d83-9f42-8db2610b6d5b","short_id":18557,"task_number":15,"topic_id":"aaf1e2e8-a5c8-4dae-880f-0853b25f4b34","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Последовательность задана так, что сумма первых \$n\$ её членов равна \$S_n = 3n^2 - 2n\$. Найдите сумму квадратов первых десяти членов этой последовательности.","answer_text":"Сумма квадратов первых десяти членов равна \$10810\$.","answer":"Сумма квадратов первых десяти членов равна \$10810\$.","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"2","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"alexlarin.net, тренировочный вариант ДВИ 226","source_url":"https://alexlarin.net/dvi.html","variant_key":"probn-2026-larin-226","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"aaf1e2e8-a5c8-4dae-880f-0853b25f4b34","name":"Последовательности","description":null},"tags":[{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"}]}},{"problem_id":"f67333e9-de08-48e0-ab07-8f03e0103c50","collection_id":"4548ea70-348f-4fd7-9beb-9128cd4ad03c","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"f67333e9-de08-48e0-ab07-8f03e0103c50","short_id":18558,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство: \$\\log_{\\left(x^2-2x\\right)}(x+3)\\cdot\\log_{(x+3)}\\left(x^2-x-2\\right)\\le 1\$.","answer_text":"\$x\\in(-3;-2)\\cup(-2;-1)\\cup\\left(2;\\,1+\\sqrt{2}\\right)\$","answer":"\$x\\in(-3;-2)\\cup(-2;-1)\\cup\\left(2;\\,1+\\sqrt{2}\\right)\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"3","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"alexlarin.net, тренировочный вариант ДВИ 226","source_url":"https://alexlarin.net/dvi.html","variant_key":"probn-2026-larin-226","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"0bdb35e9-0506-4922-8358-da506eca63ad","collection_id":"4548ea70-348f-4fd7-9beb-9128cd4ad03c","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"0bdb35e9-0506-4922-8358-da506eca63ad","short_id":18559,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите уравнение: \$\\dfrac{\\sin 3x}{\\sin x}+\\dfrac{\\cos 3x}{\\cos x}=4\\cdot\\operatorname{ctg}^2 2x\$","answer_text":"\$x=\\dfrac{\\pi}{4}+\\dfrac{\\pi n}{2},\\ n\\in\\mathbb{Z};\\qquad x=\\pm\\dfrac12\\arccos\\dfrac{\\sqrt5-1}{2}+\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x=\\dfrac{\\pi}{4}+\\dfrac{\\pi n}{2},\\ n\\in\\mathbb{Z};\\qquad x=\\pm\\dfrac12\\arccos\\dfrac{\\sqrt5-1}{2}+\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"4","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"alexlarin.net, тренировочный вариант ДВИ 226","source_url":"https://alexlarin.net/dvi.html","variant_key":"probn-2026-larin-226","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"}]}},{"problem_id":"a4e78230-8068-4953-8ed1-11d3a4d82f37","collection_id":"4548ea70-348f-4fd7-9beb-9128cd4ad03c","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"a4e78230-8068-4953-8ed1-11d3a4d82f37","short_id":18560,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"В треугольнике \$ABC\$ со сторонами \$AB=5\$, \$BC=7\$, \$AC=6\$ окружность касается сторон \$AB\$ и \$AC\$ в точках \$P\$ и \$Q\$, а также касается изнутри окружности, описанной около треугольника \$ABC\$. Найдите длину отрезка \$PQ\$.","answer_text":"\$PQ=\\dfrac{4\\sqrt{10}}{3}\$.","answer":"\$PQ=\\dfrac{4\\sqrt{10}}{3}\$.","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"5","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"alexlarin.net, тренировочный вариант ДВИ 226","source_url":"https://alexlarin.net/dvi.html","variant_key":"probn-2026-larin-226","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"4b1ff467-d0bf-44bd-913c-7ae8d7e220ef","code":"tag-72","name":"Окружность, вписанная в треугольник"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"f00d2a00-0868-464c-9622-e0ea87e0aefd","code":"tag-230","name":"Вписанная и описанная окружность треугольника"}]}},{"problem_id":"5ef86399-9fb4-4824-ac02-2ec21f5d0424","collection_id":"4548ea70-348f-4fd7-9beb-9128cd4ad03c","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"5ef86399-9fb4-4824-ac02-2ec21f5d0424","short_id":18561,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Положительные действительные числа \$a, b, c\$ удовлетворяют равенству \$a+b+c=3\$. Найдите наибольшее возможное значение выражения:\n\\[\n\\sqrt{\\dfrac{ab}{3c+ab}}+\\sqrt{\\dfrac{bc}{3a+bc}}+\\sqrt{\\dfrac{ca}{3b+ca}}\n\\]","answer_text":"Наибольшее значение выражения равно \$\\dfrac{3}{2}\$; оно достигается при \$a=b=c=1\$.","answer":"Наибольшее значение выражения равно \$\\dfrac{3}{2}\$; оно достигается при \$a=b=c=1\$.","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"6","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"alexlarin.net, тренировочный вариант ДВИ 226","source_url":"https://alexlarin.net/dvi.html","variant_key":"probn-2026-larin-226","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"4ab3de8e-a1d9-41ef-93f4-2e9310ac49f6","code":"tag-71","name":"Задачи на оптимальный выбор"},{"id":"b36d0079-5c8c-456d-a187-3f00370d21e9","code":"tag-169","name":"Неравенства смешанного типа"}]}},{"problem_id":"bddc1ad1-2c8e-4918-8623-1519f82bd0a2","collection_id":"4548ea70-348f-4fd7-9beb-9128cd4ad03c","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"bddc1ad1-2c8e-4918-8623-1519f82bd0a2","short_id":18562,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Дана правильная четырёхугольная пирамида \$SABCD\$, сторона основания которой равна \$4\\sqrt{3}\$, а боковое ребро равно \$10\\sqrt{6}\$. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, которая параллельна диагонали основания \$BD\$, боковому ребру \$SA\$ и касается сферы, вписанной в эту пирамиду.","answer_text":"Площадь искомого сечения равна \$\\dfrac{195}{4}=48{,}75\$. (У второй плоскости, касающейся той же сферы, сечение -- треугольник площади \$15\$.)","answer":"Площадь искомого сечения равна \$\\dfrac{195}{4}=48{,}75\$. (У второй плоскости, касающейся той же сферы, сечение -- треугольник площади \$15\$.)","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"7","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"alexlarin.net, тренировочный вариант ДВИ 226","source_url":"https://alexlarin.net/dvi.html","template_pair":"probn-2026-larin-326#7","variant_key":"probn-2026-larin-226","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"21d0f6ea-1a09-4672-be9b-dcc5d1bc43a9","code":"tag-31","name":"Правильная четырёхугольная пирамида"},{"id":"a5d2df2e-01c6-46dd-8b36-c0f1bc1b9a11","code":"tag-153","name":"Площадь сечения"},{"id":"efe23998-8e8a-4d60-ace9-a559b7ded5cb","code":"tag-229","name":"Вписанный шар"}]}}],"total":7},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ