Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Александр Ларин (тренировочный вариант 226)
Последовательность задана так, что сумма первых n её членов равна Sn=3n2−2n. Найдите сумму квадратов первых десяти членов этой последовательности.
По условию сумма первых n членов равна
Sn=3n2−2n.Член последовательности связан с суммами соотношением an=Sn−Sn−1 при n≥2, а первый член равен a1=S1.
Сначала первый член:
a1=S1=3⋅12−2⋅1=1.Теперь для n≥2:
an=Sn−Sn−1=(3n2−2n)−(3(n−1)2−2(n−1)).Раскроем скобки во втором слагаемом:
3(n−1)2−2(n−1)=3n2−6n+3−2n+2=3n2−8n+5.Отсюда
an=(3n2−2n)−(3n2−8n+5)=6n−5.Проверка склейки формулы. Подставим n=1 в полученное выражение: 6⋅1−5=1, что совпадает с уже найденным a1=1. Значит, формула
an=6n−5верна для всех n≥1 (первый член не выпадает из общего правила). Последовательность оказалась арифметической прогрессией с первым членом 1 и разностью 6.
Подставляя n=1,2,…,10, получаем
1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55.Нужно найти n=1∑10an2=n=1∑10(6n−5)2. Раскроем квадрат:
(6n−5)2=36n2−60n+25.Тогда
n=1∑10(6n−5)2=36n=1∑10n2−60n=1∑10n+25⋅10.Используем табличные суммы:
n=1∑10n=55,n=1∑10n2=610⋅11⋅21=385.Подставляем:
36⋅385−60⋅55+250=13860−3300+250=10810.Для надёжности перепроверим прямым сложением квадратов:
1+49+169+361+625+961+1369+1849+2401+3025=10810.Оба способа дают один и тот же результат.