Последовательность задана так, что сумма первых n её членов равна S_n = 3n^2 - 2n. Найдите сумму квадратов первых десяти членов этой последовательности.
## Находим формулу общего члена По условию сумма первых n членов равна S_n = 3n^2 - 2n. Член последовательности связан с суммами соотношением a_n = S_n - S_(n-1) при n >= 2, а первый член равен a_1 = S_1. Сначала первый член: a_1 = S_1 = 3* 1^2 - 2* 1 = 1. Теперь для n >= 2: a_n = S_n - S_(n-1) = (3n^2 - 2n) - (3(n-1)^2 - 2(n-1)). Раскроем скобки во втором слагаемом: 3(n-1)^2 - 2(n-1) = 3n^2 - 6n + 3 - 2n + 2 = 3n^2 - 8n + 5. Отсюда a_n = (3n^2 - 2n) - (3n^2 - 8n + 5) = 6n - 5. **Проверка склейки формулы.** Подставим n=1 в полученное выражение: 6* 1 - 5 = 1, что совпадает с уже найденным a_1 = 1. Значит, формула a_n = 6n - 5 верна для всех n >= 1 (первый член не выпадает из общего правила). Последовательность оказалась арифметической прогрессией с первым членом 1 и разностью 6. ## Выписываем десять членов Подставляя n = 1,2,,10, получаем 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55. ## Сумма квадратов Нужно найти _(n=1)^(10) a_n^2 = _(n=1)^(10) (6n-5)^2. Раскроем квадрат: (6n-5)^2 = 36n^2 - 60n + 25. Тогда _(n=1)^(10) (6n-5)^2 = 36_(n=1)^(10) n^2 - 60_(n=1)^(10) n + 25* 10. Используем табличные суммы: _(n=1)^(10) n = 55, _(n=1)^(10) n^2 = (10* 11* 21)/(6) = 385. Подставляем: 36* 385 - 60* 55 + 250 = 13860 - 3300 + 250 = 10810. Для надёжности перепроверим прямым сложением квадратов: 1 + 49 + 169 + 361 + 625 + 961 + 1369 + 1849 + 2401 + 3025 = 10810. Оба способа дают один и тот же результат. ## Ответ _(n=1)^(10) a_n^2 = 10810.
Сумма квадратов первых десяти членов равна \(10810\).