Задача №18561

Положительные действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют равенству $a+b+c=3\text{.}$ Найдите наибольшее возможное значение выражения:

$$\sqrt{\frac{ab}{3c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{3a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{3b+ca}}$$

Ключевое преобразование знаменателей

Воспользуемся условием $a+b+c=3\text{,}$ чтобы разложить каждый знаменатель на множители. Заметим, что $3c=(a+b+c)c\text{,}$ поэтому

$$3c+ab=(a+b+c)c+ab=ac+bc+c^2+ab=c(a+c)+b(a+c)=(a+c)(b+c).$$

Аналогично

$$3a+bc=(a+b+c)a+bc=a^2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c),$$ $$3b+ca=(a+b+c)b+ca=ab+b^2+bc+ca=(a+b)(b+c).$$

Подставив эти разложения, приведём выражение к виду

$$S=\sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}+\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{\frac{ca}{(a+b)(b+c)}}.$$

Все множители в знаменателях положительны (числа $a,b,c>0$), поэтому подкоренные выражения определены и положительны.

Оценка сверху через неравенство о среднем

Разобьём каждый корень на произведение двух дробей и применим неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}\text{:}$

$$\sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}=\sqrt{\frac{a}{a+c}\cdot \frac{b}{b+c}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right),$$ $$\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}=\sqrt{\frac{b}{a+b}\cdot \frac{c}{a+c}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right),$$ $$\sqrt{\frac{ca}{(a+b)(b+c)}}=\sqrt{\frac{c}{b+c}\cdot \frac{a}{a+b}}\le \frac{1}{2}\left(\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\right).$$

Сложим три неравенства. В правой части шесть дробей удобно сгруппировать по общим знаменателям:

$$\underset{=1}{\underbrace{\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}}}+\underset{=1}{\underbrace{\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}}}+\underset{=1}{\underbrace{\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}}}=3.$$

Каждая пара даёт в сумме $1\text{,}$ значит вся скобка равна $3\text{.}$ Поэтому

$$S\le \frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}.$$

Достижимость и отбор случая равенства

Оценка станет равенством, только если во всех трёх применениях неравенства $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$ множители равны. Разберём каждое из условий.

• $\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+c}$ равносильно $a(b+c)=b(a+c)\text{,}$ то есть $ac=bc\text{,}$ откуда $a=b\text{.}$
• $\frac{b}{a+b}=\frac{c}{a+c}$ равносильно $b(a+c)=c(a+b)\text{,}$ то есть $ab=ca\text{,}$ откуда $b=c\text{.}$
• $\frac{c}{b+c}=\frac{a}{a+b}$ равносильно $c(a+b)=a(b+c)\text{,}$ то есть $cb=ab\text{,}$ откуда $a=c\text{.}$

Все три условия выполняются одновременно тогда и только тогда, когда $a=b=c\text{.}$ Вместе с ограничением $a+b+c=3$ это даёт единственную точку $a=b=c=1\text{,}$ лежащую в допустимой области (все числа положительны).

Проверим значение в этой точке: каждый знаменатель равен $3\cdot 1+1\cdot 1=4\text{,}$ а каждое слагаемое равно $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\text{,}$ поэтому

$$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$

Значит верхняя граница $\frac{3}{2}$ действительно достигается, то есть является наибольшим значением.

Проверка

Численный перебор по симплексу $a+b+c=3,a,b,c>0$ даёт максимум $S\approx 1.5000\text{,}$ достигаемый в окрестности точки $(1,1,1)\text{;}$ тождества $3c+ab=(a+c)(b+c)$ и аналогичные подтверждены подстановкой. Это согласуется с аналитическим ответом.

Ответ

Наибольшее значение равно $S_{\max }=\frac{3}{2}$ и достигается при $a=b=c=1\text{.}$