Положительные действительные числа a, b, c удовлетворяют равенству a+b+c=3. Найдите наибольшее возможное значение выражения: sqrt((ab)/(3c+ab))+sqrt((bc)/(3a+bc))+sqrt((ca)/(3b+ca))
## Ключевое преобразование знаменателей Воспользуемся условием a+b+c=3, чтобы разложить каждый знаменатель на множители. Заметим, что 3c=(a+b+c)c, поэтому 3c+ab=(a+b+c)c+ab=ac+bc+c^2+ab=c(a+c)+b(a+c)=(a+c)(b+c). Аналогично 3a+bc=(a+b+c)a+bc=a^2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c), 3b+ca=(a+b+c)b+ca=ab+b^2+bc+ca=(a+b)(b+c). Подставив эти разложения, приведём выражение к виду S=sqrt((ab)/((a+c)(b+c)))+sqrt((bc)/((a+b)(a+c)))+sqrt((ca)/((a+b)(b+c))). Все множители в знаменателях положительны (числа a,b,c>0), поэтому подкоренные выражения определены и положительны. ## Оценка сверху через неравенство о среднем Разобьём каждый корень на произведение двух дробей и применим неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим sqrt(xy)<=(x+y)/(2): sqrt((ab)/((a+c)(b+c)))=sqrt((a)/(a+c)*(b)/(b+c))<=12((a)/(a+c)+(b)/(b+c)), sqrt((bc)/((a+b)(a+c)))=sqrt((b)/(a+b)*(c)/(a+c))<=12((b)/(a+b)+(c)/(a+c)), sqrt((ca)/((a+b)(b+c)))=sqrt((c)/(b+c)*(a)/(a+b))<=12((c)/(b+c)+(a)/(a+b)). Сложим три неравенства. В правой части шесть дробей удобно сгруппировать по общим знаменателям: (a)/(a+c)+(c)/(a+c)_(=1)+(b)/(b+c)+(c)/(b+c)_(=1)+(a)/(a+b)+(b)/(a+b)_(=1)=3. Каждая пара даёт в сумме 1, значит вся скобка равна 3. Поэтому S<=12* 3=32. ## Достижимость и отбор случая равенства Оценка станет равенством, только если во всех трёх применениях неравенства sqrt(xy)<=(x+y)/(2) множители равны. Разберём каждое из условий. - (a)/(a+c)=(b)/(b+c) равносильно a(b+c)=b(a+c), то есть ac=bc, откуда a=b. - (b)/(a+b)=(c)/(a+c) равносильно b(a+c)=c(a+b), то есть ab=ca, откуда b=c. - (c)/(b+c)=(a)/(a+b) равносильно c(a+b)=a(b+c), то есть cb=ab, откуда a=c. Все три условия выполняются одновременно тогда и только тогда, когда a=b=c. Вместе с ограничением a+b+c=3 это даёт единственную точку a=b=c=1, лежащую в допустимой области (все числа положительны). Проверим значение в этой точке: каждый знаменатель равен 3* 1+1* 1=4, а каждое слагаемое равно sqrt((1)/(4))=12, поэтому S=12+12+12=32. Значит верхняя граница 32 действительно достигается, то есть является наибольшим значением. ## Проверка Численный перебор по симплексу a+b+c=3, a,b,c>0 даёт максимум S~ 1.5000, достигаемый в окрестности точки (1,1,1); тождества 3c+ab=(a+c)(b+c) и аналогичные подтверждены подстановкой. Это согласуется с аналитическим ответом. ## Ответ Наибольшее значение равно S_()=(3)/(2) и достигается при a=b=c=1.
Наибольшее значение выражения равно \(\dfrac{3}{2}\); оно достигается при \(a=b=c=1\).