Задача №18562 — Стереометрия (ДВИ МГУ (математика))

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, сторона основания которой равна 4sqrt(3), а боковое ребро равно 10sqrt(6). Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, которая параллельна диагонали основания BD, боковому ребру SA и касается сферы, вписанной в эту пирамиду.

## Данные и модель Правильная четырёхугольная пирамида SABCD: сторона основания a=43, боковое ребро l=106. Основание ABCD -- квадрат с центром O, апекс S над O. Диагональ квадрата равна a2=43*2=46, значит расстояние от центра до вершины основания OA=OB=OC=OD=12* 46=26 . Из прямоугольного треугольника SOA находим высоту h=SO: SA^2=OA^2+SO^2 => (106)^2=(26)^2+h^2 => 600=24+h^2 => h=24 . Введём координаты с началом в O, осью Oz вдоль высоты и диагоналями вдоль осей Ox,Oy: A=(26,0,0), B=(0,26,0), C=(-26,0,0), D=(0,-26,0), S=(0,0,24). Тогда AB=sqrt((26)^2+(26)^2)=43 и SA=sqrt(24+576)=106 -- совпадает с условием. ## Вписанная сфера Сфера, вписанная в пирамиду, касается основания и всех боковых граней; её центр лежит на оси, I=(0,0,r). Радиус удобно найти из осевого сечения пирамиды -- равнобедренного треугольника, проходящего через S и середины противоположных сторон основания. Его основание равно стороне a=43, высота h=24, а боковые стороны -- апофемы боковых граней m=sqrt(((a)/(2))^2+h^2)=sqrt((23)^2+24^2)=sqrt(12+576)=sqrt(588)=143 . Вписанная в пирамиду сфера в этом сечении даёт вписанную в треугольник окружность того же радиуса: r=(площадь)/(полупериметр)=(12ah)/(12(a+2m))=(ah)/(a+2m)=(43*24)/(43+283)=(963)/(323)=3 . Значит I=(0,0,3), r=3 (сфера лежит между z=0 и z=6, то есть целиком внутри пирамиды). ## Направление и уравнение секущей плоскости Плоскость параллельна двум прямым, поэтому её нормаль перпендикулярна их направляющим векторам: BD(0,1,0), SA=A-S=(26,0,-24). Берём нормаль как их векторное произведение: n=(0,1,0)*(26,0,-24)=(-24,0,-26) (12,0,6). Все плоскости нужного направления имеют вид 12x+6z=c . Вдоль ребра SA величина 12x+6 z постоянна: в A она равна 246, в S -- тоже 246. Поэтому плоскость, содержащая SA (и параллельная BD), отвечает c=246; увеличивая или уменьшая c, мы сдвигаем плоскость параллельно самой себе. **Условие касания сферы.** Расстояние от I=(0,0,3) до плоскости равно r=3. Так как | n|=sqrt(12^2+(6)^2)=sqrt(150)=56, (|12*0+6*3-c|)/(56)=3 => |36-c|=156 => c=186 или c=-126 . Получаются две касательные плоскости -- по разные стороны от сферы. Проверим значения 12x+6z в вершинах: A,S246, B,D0, C-246. Обе величины 186 и -126 лежат в диапазоне (-246,246), то есть каждая плоскость действительно пересекает пирамиду. Основным (сечение, примыкающее к ребру SA, первое касание при сдвиге плоскости от SA внутрь) является c=186; второй случай разобран в конце. ## Сечение при c=186 Сравнивая 12x+6z с 186, видим, что по одну сторону оказываются вершины A,S (значение 246), по другую -- B,C,D. Плоскость пересекает те рёбра, у которых концы по разные стороны: AB, AD, SB, SD, SC. Значит сечение -- пятиугольник. Точки пересечения (делим ребро в найденном отношении): - на AB: AB от 246 до 0; 186 при доле 14 от A: P=((36)/(2),(6)/(2),0); - на AD: симметрично Q=((36)/(2),-(6)/(2),0); - на SB: от 246 до 0, доля 14 от S: N=(0,(6)/(2),18); - на SD: симметрично M=(0,-(6)/(2),18); - на SC: от 246 до -246, доля 18 от S: K=(-(6)/(4),0,21). Обход пятиугольника: P(AB) N(SB) K(SC) M(SD) Q(AD). Конфигурация симметрична относительно плоскости y=0 (замена B D). **Площадь через разбиение.** Отрезки PQ и NM параллельны BD (направление Oy) и оба имеют длину 6. Четырёхугольник PNMQ -- прямоугольник: PQ=(0,-6,0) перпендикулярен PN=(-(36)/(2),0,18), причём |PN|=sqrt(((36)/(2))^2+18^2)=sqrt((27)/(2)+324)=sqrt((675)/(2))=(156)/(2). Отсюда S_(PNMQ)=|PQ|*|PN|=6*(156)/(2)=(15*6)/(2)=45 . Оставшийся треугольник NKM имеет основание NM=6 (на прямой x=0, z=18) и вершину K=(-(6)/(4),0,21); высота из K на эту прямую d=sqrt(((6)/(4))^2+(21-18)^2)=sqrt((6)/(16)+9)=sqrt((150)/(16))=(56)/(4), так что S_(NKM)=12*6*(56)/(4)=(15)/(4). Итоговая площадь сечения S=S_(PNMQ)+S_(NKM)=45+(15)/(4)=(195)/(4)=48,75 . Касание проверено по построению: расстояние от центра сферы до плоскости равно 3=r; точка касания ((66)/(5),0,3,6) лежит внутри пятиугольника, то есть сфера действительно касается самого сечения. ## Вторая касательная плоскость c=-126 Здесь по одну сторону оказывается только вершина C (значение -246), поэтому плоскость отсекает угол при C и пересекает рёбра CB, CD, SC -- сечение является треугольником с вершинами (-6,6,0), (-6,-6,0), (-(36)/(2),0,6). Его основание 26 (параллельно BD) и высота (56)/(2), поэтому площадь S'=12*26*(56)/(2)=15 . Эта плоскость тоже удовлетворяет всем условиям (параллельна BD и SA, касается сферы), но соответствует срезу малого угла у вершины C; содержательным сечением, отвечающим духу задачи (проходящим сквозь тело со стороны ребра SA), является пятиугольник. ## Ответ S_(сеч)=(195)/(4)=48,75 . (Симметричная касательная плоскость с другой стороны от сферы даёт треугольное сечение площади 15.)