Задача №18562

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD\text{,}$ сторона основания которой равна $4\sqrt{3}\text{,}$ а боковое ребро равно $10\sqrt{6}\text{.}$ Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, которая параллельна диагонали основания $BD\text{,}$ боковому ребру $SA$ и касается сферы, вписанной в эту пирамиду.

Данные и модель

Правильная четырёхугольная пирамида $SABCD\text{:}$ сторона основания $a=4\sqrt{3}\text{,}$ боковое ребро $l=10\sqrt{6}\text{.}$ Основание $ABCD$ — квадрат с центром $O\text{,}$ апекс $S$ над $O\text{.}$

Диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}=4\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{6}\text{,}$ значит расстояние от центра до вершины основания

Из прямоугольного треугольника $SOA$ находим высоту $h=SO\text{:}$

Введём координаты с началом в $O\text{,}$ осью $Oz$ вдоль высоты и диагоналями вдоль осей $Ox,Oy\text{:}$

Тогда $AB=\sqrt{(2\sqrt{6}{)}^2+(2\sqrt{6}{)}^2}=4\sqrt{3}$ и $SA=\sqrt{24+576}=10\sqrt{6}$ — совпадает с условием.

Вписанная сфера

Сфера, вписанная в пирамиду, касается основания и всех боковых граней; её центр лежит на оси, $I=(0,0,r)\text{.}$ Радиус удобно найти из осевого сечения пирамиды — равнобедренного треугольника, проходящего через $S$ и середины противоположных сторон основания. Его основание равно стороне $a=4\sqrt{3}\text{,}$ высота $h=24\text{,}$ а боковые стороны — апофемы боковых граней

Вписанная в пирамиду сфера в этом сечении даёт вписанную в треугольник окружность того же радиуса:

Значит $I=(0,0,3)\text{,}$ $r=3$ (сфера лежит между $z=0$ и $z=6\text{,}$ то есть целиком внутри пирамиды).

Направление и уравнение секущей плоскости

Плоскость параллельна двум прямым, поэтому её нормаль перпендикулярна их направляющим векторам:

Берём нормаль как их векторное произведение:

Все плоскости нужного направления имеют вид

Вдоль ребра $SA$ величина $12x+\sqrt{6}z$ постоянна: в $A$ она равна $24\sqrt{6}\text{,}$ в $S$ — тоже $24\sqrt{6}\text{.}$ Поэтому плоскость, содержащая $SA$ (и параллельная $BD$), отвечает $c=24\sqrt{6}\text{;}$ увеличивая или уменьшая $c\text{,}$ мы сдвигаем плоскость параллельно самой себе.

Условие касания сферы. Расстояние от $I=(0,0,3)$ до плоскости равно $r=3\text{.}$ Так как $|\vec{n}|=\sqrt{12^2+(\sqrt{6}{)}^2}=\sqrt{150}=5\sqrt{6}\text{,}$

Получаются две касательные плоскости — по разные стороны от сферы. Проверим значения $12x+\sqrt{6}z$ в вершинах: $A,S\to 24\sqrt{6}\text{,}$ $B,D\to 0\text{,}$ $C\to -24\sqrt{6}\text{.}$ Обе величины $18\sqrt{6}$ и $-12\sqrt{6}$ лежат в диапазоне $(-24\sqrt{6},24\sqrt{6})\text{,}$ то есть каждая плоскость действительно пересекает пирамиду. Основным (сечение, примыкающее к ребру $SA\text{,}$ первое касание при сдвиге плоскости от $SA$ внутрь) является $c=18\sqrt{6}\text{;}$ второй случай разобран в конце.

Сечение при $c=18\sqrt{6}$

Сравнивая $12x+\sqrt{6}z$ с $18\sqrt{6}\text{,}$ видим, что по одну сторону оказываются вершины $A,S$ (значение $24\sqrt{6}$), по другую — $B,C,D\text{.}$ Плоскость пересекает те рёбра, у которых концы по разные стороны: $AB,AD,SB,SD,SC\text{.}$ Значит сечение — пятиугольник. Точки пересечения (делим ребро в найденном отношении):

• на $AB\text{:}$ $AB$ от $24\sqrt{6}$ до $0\text{;}$ $18\sqrt{6}$ при доле $\frac{1}{4}$ от $A\text{:}$ $P=(\frac{3\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2},0)\text{;}$
• на $AD\text{:}$ симметрично $Q=(\frac{3\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{2},0)\text{;}$
• на $SB\text{:}$ от $24\sqrt{6}$ до $0\text{,}$ доля $\frac{1}{4}$ от $S\text{:}$ $N=(0,\frac{\sqrt{6}}{2},18)\text{;}$
• на $SD\text{:}$ симметрично $M=(0,-\frac{\sqrt{6}}{2},18)\text{;}$
• на $SC\text{:}$ от $24\sqrt{6}$ до $-24\sqrt{6}\text{,}$ доля $\frac{1}{8}$ от $S\text{:}$ $K=(-\frac{\sqrt{6}}{4},0,21)\text{.}$

Обход пятиугольника: $P(AB)\to N(SB)\to K(SC)\to M(SD)\to Q(AD)\text{.}$ Конфигурация симметрична относительно плоскости $y=0$ (замена $B\leftrightarrow D$).

Площадь через разбиение. Отрезки $PQ$ и $NM$ параллельны $BD$ (направление $Oy$) и оба имеют длину $\sqrt{6}\text{.}$ Четырёхугольник $PNMQ$ — прямоугольник: $\overrightarrow{PQ}=(0,-\sqrt{6},0)$ перпендикулярен $\overrightarrow{PN}=(-\frac{3\sqrt{6}}{2},0,18)\text{,}$ причём

Отсюда

Оставшийся треугольник $NKM$ имеет основание $NM=\sqrt{6}$ (на прямой $x=0,z=18$) и вершину $K=(-\frac{\sqrt{6}}{4},0,21)\text{;}$ высота из $K$ на эту прямую

так что

Итоговая площадь сечения

Касание проверено по построению: расстояние от центра сферы до плоскости равно $3=r\text{;}$ точка касания $(\frac{6\sqrt{6}}{5},0,3,6)$ лежит внутри пятиугольника, то есть сфера действительно касается самого сечения.

Вторая касательная плоскость $c=-12\sqrt{6}$

Здесь по одну сторону оказывается только вершина $C$ (значение $-24\sqrt{6}$), поэтому плоскость отсекает угол при $C$ и пересекает рёбра $CB,CD,SC$ — сечение является треугольником с вершинами

Его основание $2\sqrt{6}$ (параллельно $BD$) и высота $\frac{5\sqrt{6}}{2}\text{,}$ поэтому площадь

Эта плоскость тоже удовлетворяет всем условиям (параллельна $BD$ и $SA\text{,}$ касается сферы), но соответствует срезу малого угла у вершины $C\text{;}$ содержательным сечением, отвечающим духу задачи (проходящим сквозь тело со стороны ребра $SA$), является пятиугольник.

Ответ

(Симметричная касательная плоскость с другой стороны от сферы даёт треугольное сечение площади $15\text{.}$)