Решите неравенство: _((x^2-2x))(x+3)*_((x+3))(x^2-x-2)<= 1.
## Область допустимых значений Выпишем условия существования обоих логарифмов. Для _((x^2-2x))(x+3) нужно, чтобы основание было положительным и не равным единице, а аргумент положительным; аналогично для _((x+3))(x^2-x-2). Получаем систему: cases x^2-2x>0, x^2-2x!= 1, x+3>0, x+3!= 1, x^2-x-2>0. cases Разберём по частям. - x^2-2x=x(x-2)>0 даёт x<0 или x>2. - x^2-2x!= 1<=> x^2-2x-1!= 0<=> x!= 1+-sqrt(2). - x+3>0 даёт x>-3. - x+3!= 1 даёт x!= -2. - x^2-x-2=(x-2)(x+1)>0 даёт x<-1 или x>2. Пересечение условий x(x-2)>0 и (x-2)(x+1)>0 с учётом x>-3 даёт две зоны: -3<x<-1 и x>2. Из них выбрасываем точки x=-2 (там x+3=1) и x=1+sqrt(2)~2,414 (там x^2-2x=1); точка 1-sqrt(2)~-0,414 в эти зоны не попадает. Итоговая ОДЗ: xin(-3;-2)U(-2;-1)U(2;1+sqrt(2))U(1+sqrt(2);+inf). ## Упрощение левой части Перейдём к натуральному логарифму. На ОДЗ основание x+3 допустимо (положительно и не равно единице), поэтому ln(x+3)!= 0 и его можно сократить: _((x^2-2x))(x+3)*_((x+3))(x^2-x-2)=(ln(x+3))/(ln(x^2-2x))*(ln(x^2-x-2))/(ln(x+3))=(ln(x^2-x-2))/(ln(x^2-2x)). Таким образом левая часть равна _((x^2-2x))(x^2-x-2), и неравенство принимает вид _((x^2-2x))(x^2-x-2)<= 1. Введём обозначение основания t=x^2-2x (на ОДЗ t>0, t!= 1) и аргумента A=x^2-x-2 (на ОДЗ A>0). Так как 1=_t t, неравенство равносильно _t A<=_t t. ## Разбор по значению основания Знак основания t=x^2-2x относительно единицы: t>1<=> x^2-2x-1>0<=> x<1-sqrt(2) или x>1+sqrt(2); соответственно 0<t<1 при 1-sqrt(2)<x<1+sqrt(2). **Случай 1: основание t>1.** Логарифм возрастает, знак сохраняется: A<= t^2-x-2<= x^2-2x-2<= 0<= 2. **Случай 2: основание 0<t<1.** Логарифм убывает, знак меняется: A>= t^2-x-2>= x^2-2x-2>= 0>= 2. ## Пересечение с ОДЗ Пройдём по интервалам ОДЗ, определяя на каждом знак основания. - **(-3;-2):** здесь x<1-sqrt(2), значит t>1 (случай 1), условие x<= 2 выполнено всюду. Интервал входит целиком. - **(-2;-1):** снова x<1-sqrt(2), t>1, условие x<= 2 выполнено. Интервал входит целиком. - **(2;1+sqrt(2)):** здесь 1-sqrt(2)<x<1+sqrt(2), то есть 0<t<1 (случай 2), условие x>= 2 выполнено. Интервал входит целиком. - **(1+sqrt(2);+inf):** здесь x>1+sqrt(2), значит t>1 (случай 1), но требуется x<= 2, а на этом интервале x>1+sqrt(2)>2. Решений нет. ## Проверка Численный скан исходного выражения по всей ОДЗ подтверждает границы: неравенство выполняется ровно на (-3;-2)U(-2;-1)U(2;1+sqrt(2)). Контрольные точки: при x=-2,5 левая часть ~0,79<= 1; при x=2,2 — ~0,71<= 1; при x=3 — _3 4~1,26>1, то есть точка вне решения, что согласуется с исключением интервала (1+sqrt(2);+inf). ## Ответ xin(-3;-2)U(-2;-1)U(2;1+sqrt(2)).
\(x\in(-3;-2)\cup(-2;-1)\cup\left(2;\,1+\sqrt{2}\right)\)