Задача №18558

Решите неравенство: ${\log }_{\left(x^2-2x\right)}(x+3)\cdot {\log }_{(x+3)}\left(x^2-x-2\right)\le 1\text{.}$

Область допустимых значений

Выпишем условия существования обоих логарифмов. Для ${\log }_{(x^2-2x)}(x+3)$ нужно, чтобы основание было положительным и не равным единице, а аргумент положительным; аналогично для ${\log }_{(x+3)}(x^2-x-2)\text{.}$ Получаем систему:

Разберём по частям.

• $x^2-2x=x(x-2)>0$ даёт $x<0$ или $x>2\text{.}$
• $x^2-2x\ne 1\iff x^2-2x-1\ne 0\iff x\ne 1\pm \sqrt{2}\text{.}$
• $x+3>0$ даёт $x>-3\text{.}$
• $x+3\ne 1$ даёт $x\ne -2\text{.}$
• $x^2-x-2=(x-2)(x+1)>0$ даёт $x<-1$ или $x>2\text{.}$

Пересечение условий $x(x-2)>0$ и $(x-2)(x+1)>0$ с учётом $x>-3$ даёт две зоны: $-3<x<-1$ и $x>2\text{.}$ Из них выбрасываем точки $x=-2$ (там $x+3=1$) и $x=1+\sqrt{2}\approx 2,414$ (там $x^2-2x=1$); точка $1-\sqrt{2}\approx -0,414$ в эти зоны не попадает. Итоговая ОДЗ:

Упрощение левой части

Перейдём к натуральному логарифму. На ОДЗ основание $x+3$ допустимо (положительно и не равно единице), поэтому $\ln (x+3)\ne 0$ и его можно сократить:

Таким образом левая часть равна ${\log }_{(x^2-2x)}(x^2-x-2)\text{,}$ и неравенство принимает вид

Введём обозначение основания $t=x^2-2x$ (на ОДЗ $t>0,t\ne 1$) и аргумента $A=x^2-x-2$ (на ОДЗ $A>0$). Так как $1={\log }_{t}t\text{,}$ неравенство равносильно ${\log }_{t}A\le {\log }_{t}t\text{.}$

Разбор по значению основания

Знак основания $t=x^2-2x$ относительно единицы: $t>1\iff x^2-2x-1>0\iff x<1-\sqrt{2}$ или $x>1+\sqrt{2}\text{;}$ соответственно $0<t<1$ при $1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}\text{.}$

Случай 1: основание $t>1\text{.}$ Логарифм возрастает, знак сохраняется:

Случай 2: основание $0<t<1\text{.}$ Логарифм убывает, знак меняется:

Пересечение с ОДЗ

Пройдём по интервалам ОДЗ, определяя на каждом знак основания.

• $(-3;-2)\text{:}$ здесь $x<1-\sqrt{2}\text{,}$ значит $t>1$ (случай 1), условие $x\le 2$ выполнено всюду. Интервал входит целиком.
• $(-2;-1)\text{:}$ снова $x<1-\sqrt{2}\text{,}$ $t>1\text{,}$ условие $x\le 2$ выполнено. Интервал входит целиком.
• $(2;1+\sqrt{2})\text{:}$ здесь $1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}\text{,}$ то есть $0<t<1$ (случай 2), условие $x\ge 2$ выполнено. Интервал входит целиком.
• $(1+\sqrt{2};+\infty )\text{:}$ здесь $x>1+\sqrt{2}\text{,}$ значит $t>1$ (случай 1), но требуется $x\le 2\text{,}$ а на этом интервале $x>1+\sqrt{2}>2\text{.}$ Решений нет.

Проверка

Численный скан исходного выражения по всей ОДЗ подтверждает границы: неравенство выполняется ровно на $(-3;-2)\cup (-2;-1)\cup (2;1+\sqrt{2})\text{.}$ Контрольные точки: при $x=-2,5$ левая часть $\approx 0,79\le 1\text{;}$ при $x=2,2$ — $\approx 0,71\le 1\text{;}$ при $x=3$ — ${\log }_{3}4\approx 1,26>1\text{,}$ то есть точка вне решения, что согласуется с исключением интервала $(1+\sqrt{2};+\infty )\text{.}$

Ответ