Задача №18559

Решите уравнение: $\frac{\sin 3x}{\sin x}+\frac{\cos 3x}{\cos x}=4\cdot {\mathrm{ctg}}^{2}2x$

Область допустимых значений

В уравнении есть дроби $\frac{\sin 3x}{\sin x}$ и $\frac{\cos 3x}{\cos x}\text{,}$ а также ${\mathrm{ctg}}^{2}2x=\frac{{\cos }^{2}2x}{{\sin }^{2}2x}\text{.}$ Поэтому требуется

Так как $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{,}$ равенство $\sin 2x=0$ означает $\sin x=0$ или $\cos x=0\text{.}$ Значит, все три условия равносильны одному:

Преобразование левой части

Приведём две дроби к общему знаменателю $\sin x\cos x\text{:}$

В числителе стоит формула синуса суммы: $\sin 3x\cos x+\cos 3x\sin x=\sin (3x+x)=\sin 4x\text{.}$ В знаменателе $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x\text{.}$ Поэтому

где использовано $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$ (сокращение на $\sin 2x\ne 0$ законно по ОДЗ). Итак, левая часть равна $4\cos 2x\text{.}$

Уравнение относительно $\cos 2x$

Уравнение принимает вид

Разделим на $4$ и умножим на ${\sin }^{2}2x>0$ (на ОДЗ знаменатель отличен от нуля, знак не меняется, посторонних корней не возникает):

Обозначим $t=\cos 2x$ и заменим ${\sin }^{2}2x=1-t^2\text{:}$

Отсюда $t=0$ либо $t^2+t-1=0\text{,}$ то есть $t=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\text{.}$

Корень $t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\approx -1,618$ по модулю больше единицы и не является значением косинуса — отбрасываем. Остаются

Замечание о знаке. Правая часть исходного уравнения $4{\mathrm{ctg}}^{2}2x\ge 0\text{,}$ значит и $\cos 2x\ge 0\text{.}$ Оба оставшихся значения $t=0$ и $t=\frac{\sqrt{5}-1}{2}>0$ этому условию удовлетворяют, так что дополнительных отсеиваний нет.

Разбор случаев и проверка ОДЗ

Случай 1: $\cos 2x=0\text{.}$ Тогда

При таких $x$ имеем $\sin 2x=\pm 1\ne 0$ — ОДЗ выполнена. Проверка: левая часть $4\cos 2x=0\text{,}$ правая $4{\mathrm{ctg}}^{2}2x=0\text{,}$ равенство верно.

Случай 2: $\cos 2x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\text{.}$ Поскольку это значение отлично от $\pm 1\text{,}$ автоматически $\sin 2x\ne 0\text{,}$ и ОДЗ выполнена. Отсюда

Значение $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ не соответствует табличному углу, поэтому ответ оставляем через $\arccos \text{.}$

Численная проверка

Сведение $\frac{\sin 3x}{\sin x}+\frac{\cos 3x}{\cos x}=4\cos 2x$ проверено на сетке значений (максимальная невязка $\sim 10^{-14}$). Сплошной численный поиск корней на промежутке $(0,\pi )$ даёт ровно четыре корня: $x\approx 0,4523$ и $x\approx 2,6893$ (это $\frac{1}{2}\arccos \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ и $\pi -\frac{1}{2}\arccos \frac{\sqrt{5}-1}{2}$), а также $x=\frac{\pi }{4}$ и $x=\frac{3\pi }{4}$ — что в точности совпадает с двумя найденными сериями (обе имеют период $\pi$).

Ответ