Решите уравнение: (sin 3x)/(sin x)+(cos 3x)/(cos x)=4*ctg^2 2x
## Область допустимых значений В уравнении есть дроби (sin 3x)/(sin x) и (cos 3x)/(cos x), а также ctg^2 2x=(cos^2 2x)/(sin^2 2x). Поэтому требуется sin x!= 0, cos x!= 0, sin 2x!= 0. Так как sin 2x=2sin xcos x, равенство sin 2x=0 означает sin x=0 или cos x=0. Значит, все три условия равносильны одному: sin 2x!= 0 x!= (pi k)/(2), kinZ. ## Преобразование левой части Приведём две дроби к общему знаменателю sin xcos x: (sin 3x)/(sin x)+(cos 3x)/(cos x)=(sin 3xcos x+cos 3xsin x)/(sin xcos x). В числителе стоит формула синуса суммы: sin 3xcos x+cos 3xsin x=sin(3x+x)=sin 4x. В знаменателе sin xcos x=12sin 2x. Поэтому (sin 4x)/(12sin 2x)=(2sin 4x)/(sin 2x)=(2* 2sin 2xcos 2x)/(sin 2x)=4cos 2x, где использовано sin 4x=2sin 2xcos 2x (сокращение на sin 2x!= 0 законно по ОДЗ). Итак, левая часть равна 4cos 2x. ## Уравнение относительно cos 2x Уравнение принимает вид 4cos 2x=4(cos^2 2x)/(sin^2 2x). Разделим на 4 и умножим на sin^2 2x>0 (на ОДЗ знаменатель отличен от нуля, знак не меняется, посторонних корней не возникает): cos 2x*sin^2 2x=cos^2 2x. Обозначим t=cos 2x и заменим sin^2 2x=1-t^2: t(1-t^2)=t^2 t-t^3-t^2=0 t(t^2+t-1)=0. Отсюда t=0 либо t^2+t-1=0, то есть t=(-1+-5)/(2). Корень t=(-1-5)/(2)~-1,618 по модулю больше единицы и не является значением косинуса — отбрасываем. Остаются t=cos 2x=0 и t=cos 2x=(5-1)/(2)~ 0,618. **Замечание о знаке.** Правая часть исходного уравнения 4ctg^2 2x>= 0, значит и cos 2x>= 0. Оба оставшихся значения t=0 и t=(5-1)/(2)>0 этому условию удовлетворяют, так что дополнительных отсеиваний нет. ## Разбор случаев и проверка ОДЗ **Случай 1: cos 2x=0.** Тогда 2x=(pi)/(2)+pi k x=(pi)/(4)+(pi k)/(2), kinZ. При таких x имеем sin 2x=+-1!= 0 — ОДЗ выполнена. Проверка: левая часть 4cos 2x=0, правая 4ctg^2 2x=0, равенство верно. **Случай 2: cos 2x=(5-1)/(2).** Поскольку это значение отлично от +-1, автоматически sin 2x!= 0, и ОДЗ выполнена. Отсюда 2x=+-arccos(5-1)/(2)+2pi k x=+-12arccos(5-1)/(2)+pi k, kinZ. Значение (5-1)/(2) не соответствует табличному углу, поэтому ответ оставляем через arccos. ## Численная проверка Сведение (sin 3x)/(sin x)+(cos 3x)/(cos x)=4cos 2x проверено на сетке значений (максимальная невязка 10^(-14)). Сплошной численный поиск корней на промежутке (0,pi) даёт ровно четыре корня: x~0,4523 и x~2,6893 (это 12arccos(5-1)/(2) и pi-12arccos(5-1)/(2)), а также x=(pi)/(4) и x=(3pi)/(4) — что в точности совпадает с двумя найденными сериями (обе имеют период pi). ## Ответ x=(pi)/(4)+(pi n)/(2), ninZ; x=+-12arccos(5-1)/(2)+pi n, ninZ.
\(x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z};\qquad x=\pm\dfrac12\arccos\dfrac{\sqrt5-1}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\)