Найдите значение выражения: [3]26+15sqrt(3)*(2-sqrt(3))+(2)/(sqrt(7-43)+sqrt(7+43))
Выражение распадается на два слагаемых. Разберём каждое отдельно, свернув числа под радикалами в точные степени. **Первое слагаемое.** Заметим, что подкоренное выражение является полным кубом. Проверим гипотезу (2+sqrt(3))^3: (2+sqrt(3))^3 = 2^3 + 3* 2^2*sqrt(3) + 3* 2*(sqrt(3))^2 + (sqrt(3))^3 = 8 + 12sqrt(3) + 18 + 3sqrt(3) = 26 + 15sqrt(3). Значит [3]26+15sqrt(3) = 2+sqrt(3) (кубический корень определён однозначно для любого действительного числа, поэтому вопрос о выборе знака не возникает). Тогда [3]26+15sqrt(3)*(2-sqrt(3)) = (2+sqrt(3))(2-sqrt(3)) = 2^2 - (sqrt(3))^2 = 4 - 3 = 1. **Второе слагаемое.** Свернём подкоренные выражения в квадраты. Поскольку 4sqrt(3) = 2* 2*sqrt(3), удобно взять a=2, b=sqrt(3): 7 - 4sqrt(3) = 4 - 4sqrt(3) + 3 = (2-sqrt(3))^2, 7 + 4sqrt(3) = 4 + 4sqrt(3) + 3 = (2+sqrt(3))^2. При извлечении квадратного корня берём **арифметическое** значение, то есть модуль основания. Так как 2 = sqrt(4) > sqrt(3), число 2-sqrt(3) положительно, поэтому sqrt(7-43) = |2-sqrt(3)| = 2-sqrt(3), sqrt(7+43) = |2+sqrt(3)| = 2+sqrt(3). Сумма корней в знаменателе иррациональность взаимно уничтожает: sqrt(7-43) + sqrt(7+43) = (2-sqrt(3)) + (2+sqrt(3)) = 4. Знаменатель отличен от нуля, поэтому дробь определена, и (2)/(sqrt(7-43)+sqrt(7+43)) = (2)/(4) = (1)/(2). **Итог.** Складываем оба слагаемых: 1 + (1)/(2) = (3)/(2). Численная проверка подстановкой даёт значение 1,5000, что подтверждает результат. **Ответ:** (3)/(2).
\(\dfrac{3}{2}\)