Задача №18556

Найдите значение выражения:

$$\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\cdot \left(2-\sqrt{3}\right)+\frac{2}{\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}}$$

Выражение распадается на два слагаемых. Разберём каждое отдельно, свернув числа под радикалами в точные степени.

Первое слагаемое. Заметим, что подкоренное выражение является полным кубом. Проверим гипотезу $(2+\sqrt{3}{)}^3\text{:}$

$$(2+\sqrt{3}{)}^3=2^3+3\cdot 2^2\cdot \sqrt{3}+3\cdot 2\cdot (\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^3=8+12\sqrt{3}+18+3\sqrt{3}=26+15\sqrt{3}.$$

Значит $\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$ (кубический корень определён однозначно для любого действительного числа, поэтому вопрос о выборе знака не возникает). Тогда

$$\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}\cdot \left(2-\sqrt{3}\right)=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2=4-3=1.$$

Второе слагаемое. Свернём подкоренные выражения в квадраты. Поскольку $4\sqrt{3}=2\cdot 2\cdot \sqrt{3}\text{,}$ удобно взять $a=2\text{,}$ $b=\sqrt{3}\text{:}$

$$7-4\sqrt{3}=4-4\sqrt{3}+3=(2-\sqrt{3}{)}^2,7+4\sqrt{3}=4+4\sqrt{3}+3=(2+\sqrt{3}{)}^2.$$

При извлечении квадратного корня берём арифметическое значение, то есть модуль основания. Так как $2=\sqrt{4}>\sqrt{3}\text{,}$ число $2-\sqrt{3}$ положительно, поэтому

$$\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3},\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\left|2+\sqrt{3}\right|=2+\sqrt{3}.$$

Сумма корней в знаменателе иррациональность взаимно уничтожает:

$$\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4.$$

Знаменатель отличен от нуля, поэтому дробь определена, и

$$\frac{2}{\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

Итог. Складываем оба слагаемых:

$$1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$

Численная проверка подстановкой даёт значение $1,5000\dots \text{,}$ что подтверждает результат.

Ответ: $\frac{3}{2}\text{.}$