58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T697,Выражение состоит из двух множителей: числового в скобках со степенью \(-1\) и суммы с квадратными корнями. Разберём каждый отдельно. **Первый множитель.** Сложим дроби, приведя к общему знаменателю \(60\): \[ \frac{1}{30}+\frac{1}{12}-\frac{1}{15}=\frac{2}{60}+\frac{5}{60}-\frac{4}{60}=\frac{2+5-4}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}. \] Степень \(-1\) означает обратное число, поэтому \[ \left(\frac{1}{20}\right)^{-1}=20. \] **Второй множитель.** Упростим \(\sqrt{14-6\sqrt{5}}\). Заметим, что подкоренное выражение — полный квадрат. Ищем его в виде \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab\), где одно слагаемое даёт \(\sqrt{5}\). Возьмём \(a=3,\; b=\sqrt{5}\): \[ (3-\sqrt{5})^2=9-2\cdot 3\cdot\sqrt{5}+5=14-6\sqrt{5}. \] Значит, \[ \sqrt{14-6\sqrt{5}}=\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}=\bigl|3-\sqrt{5}\bigr|. \] Модуль здесь обязателен: арифметический корень неотрицателен. Раскроем его правильно, сравнив \(3\) и \(\sqrt{5}\). Так как \(\sqrt{5}<\sqrt{9}=3\), разность положительна, \(3-\sqrt{5}>0\), поэтому \[ \bigl|3-\sqrt{5}\bigr|=3-\sqrt{5}. \] Тогда второй множитель равен \[ \sqrt{14-6\sqrt{5}}+\sqrt{5}=(3-\sqrt{5})+\sqrt{5}=3. \] **Итог.** Перемножим найденные значения: \[ 20\cdot 3=60. \] **Ответ:** \(60\).5c:T12a1,## Решение **Обозначения.** Последовательность \(a_1,a_2,\ldots\) строго возрастает и состоит из натуральных чисел, поэтому все разности \[ t_n=a_{n+1}-a_n \] целые и \(t_n\ge 1\). Обе части исходного неравенства неотрицательны, значит его можно равносильно возвести в квадрат: \[ a_{n+2}^2\le a_n^2+4a_n+4a_{n+1}+4=(a_n+2)^2+4a_{n+1}. \] **Шаг 1. Грубая оценка \(a_{n+2}\le a_n+4\).** Числа целые и возрастают, поэтому \(a_{n+1}\le a_{n+2}-1\) и \(4a_{n+1}\le 4a_{n+2}-4\). Подставим это в правую часть: \[ a_{n+2}^2\le (a_n+2)^2+4a_{n+2}-4\ \Longrightarrow\ (a_{n+2}-2)^2\le (a_n+2)^2. \] Основания положительны (\(a_{n+2}\ge 3\), \(a_n\ge 1\)), поэтому \(a_{n+2}-2\le a_n+2\), то есть \[ a_{n+2}\le a_n+4,\qquad\text{иначе говоря}\qquad t_n+t_{n+1}\le 4. \] Самой этой оценки мало: она дала бы лишь \(a_{15}\le 1+7\cdot 4=29\). Уточним, какие именно пары разностей допустимы. **Шаг 2. Полный список допустимых пар соседних разностей.** Обозначим \(a=a_n\) и подставим \(a_{n+1}=a+t_n\), \(a_{n+2}=a+t_n+t_{n+1}\). После раскрытия скобок квадратичное неравенство равносильно линейному по \(a\): \[ 2a\,(t_n+t_{n+1}-4)\le 4+4t_n-(t_n+t_{n+1})^2. \qquad(\star) \] Оно обязано выполняться при всех \(a\ge 1\). Разберём случаи по сумме \(s=t_n+t_{n+1}\): - \(s\ge 5\): левая часть \(\ge 2a>0\), а правая \(=4+4t_n-s^2\le 4+4s-s^2=-(s-2)^2+8<0\). Невозможно. Значит подтверждается \(s\le 4\). - \(s=4\): левая часть равна \(0\), нужно \(0\le 4t_n-12\), то есть \(t_n\ge 3\). При сумме \(4\) это только \((t_n,t_{n+1})=(3,1)\). - \(s=3\): левая часть \(=-2a\); неравенство \((\star)\) сводится к \(-2a\le -1\) для \((1,2)\) и к \(-2a\le 3\) для \((2,1)\) — оба верны при \(a\ge 1\). - \(s=2\): пара \((1,1)\), неравенство \(-4a\le 4\) верно. Получаем **полный список** допустимых соседних пар \((t_n,t_{n+1})\): | пара | сумма | |---|---| | \((1,1)\) | 2 | | \((1,2)\) | 3 | | \((2,1)\) | 3 | | \((3,1)\) | 4 | Для пары \((3,1)\) неравенство обращается в точное равенство при любом \(a\). **Следствия.** - Вторая компонента любой допустимой пары равна \(1\) или \(2\). Поэтому \(t_m\le 2\) при всех \(m\ge 2\). - Значение \(3\) встречается только как первая компонента пары \((3,1)\); как вторая компонента оно невозможно. Значит \(t_n=3\) допустимо лишь при \(n=1\). **Шаг 3. Оценка \(a_{15}\).** Запишем \[ a_{15}=a_1+\sum_{n=1}^{14}t_n=1+\sum_{n=1}^{14}t_n \] и разобьём четырнадцать разностей на семь соседних пар: \[ (t_1,t_2),\ (t_3,t_4),\ \ldots,\ (t_{13},t_{14}). \] Каждая пара допустима, поэтому её сумма не превосходит \(4\). Но при \(k\ge 2\) первая компонента пары \((t_{2k-1},t_{2k})\) имеет номер \(2k-1\ge 3\), значит \(t_{2k-1}\le 2\); тогда эта пара — одна из \((1,1),(1,2),(2,1)\), и её сумма \(\le 3\). Сумму \(4\) может дать только первая пара (за счёт \((3,1)\) с тройкой на месте \(n=1\)). Следовательно, \[ \sum_{n=1}^{14}t_n\le 4+6\cdot 3=22,\qquad a_{15}\le 1+22=23. \] **Шаг 4. Пример, где \(a_{15}=23\).** Возьмём разности \[ (t_1,\ldots,t_{14})=(3,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1), \] тогда последовательность имеет вид \[ 1,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 10,\ 11,\ 13,\ 14,\ 16,\ 17,\ 19,\ 20,\ 22,\ 23. \] Все её соседние пары разностей — это \((3,1)\) в начале и далее чередование \((1,2),(2,1)\), то есть только допустимые пары. Значит исходное неравенство выполнено при всех \(n\), и здесь \(a_{15}=23\). **Ответ:** \(a_{15}=23\).5d:T1304,## Область допустимых значений В неравенстве \[(3-3^x)\cdot\log_{3^{x+1}-8}\sqrt{2}\le 1\] стоит логарифм с переменным основанием \(3^{x+1}-8\). Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице (аргумент \(\sqrt2>0\) — здесь ограничений нет). Значит: \[3^{x+1}-8>0,\qquad 3^{x+1}-8\neq 1.\] Из первого условия \(3^{x+1}>8\), то есть \(x+1>\log_3 8\), откуда \[x>\log_3 8-1=\log_3 8-\log_3 3=\log_3\frac{8}{3}.\] Из второго условия \(3^{x+1}\neq 9=3^2\), то есть \(x+1\neq 2\), значит \(x\neq 1\). Итак, ОДЗ: \[x\in\left(\log_3\tfrac{8}{3};\,1\right)\cup\left(1;\,+\infty\right).\] Заметим, что \(\log_3\frac{8}{3}\approx 0{,}893\), и точка \(x=1\) — «дырка» внутри области. ## Ключевое наблюдение о знаке Введём \(t=3^x>0\). Тогда \(3^{x+1}=3\cdot 3^x=3t\), и основание логарифма равно \(3t-8\). Неравенство принимает вид \[(3-t)\cdot\log_{\,3t-8}\sqrt2\le 1.\] Посмотрим на знаки двух множителей. **Множитель \(3-t\).** Он обращается в нуль при \(t=3\), то есть при \(3^x=3\), то есть при \(x=1\). **Множитель \(\log_{3t-8}\sqrt2\).** Так как \(\sqrt2>1\), знак логарифма совпадает со знаком величины «основание минус единица»: он положителен при основании \(3t-8>1\) и отрицателен при \(0<3t-8<1\). Граница \(3t-8=1\) даёт \(t=3\), то есть снова \(x=1\). Оба множителя меняют знак в одной и той же точке \(x=1\) — именно поэтому она исключена из ОДЗ. Разберём два промежутка ОДЗ. **1) \(x\in\left(\log_3\tfrac{8}{3};\,1\right)\), то есть \(t\in\left(\tfrac83;\,3\right)\).** Здесь \(3-t>0\) (положительно), а основание \(3t-8\in(0;1)\), поэтому \(\log_{3t-8}\sqrt2<0\) (отрицательно). Произведение положительного на отрицательное — **отрицательно**. **2) \(x\in(1;\,+\infty)\), то есть \(t>3\).** Здесь \(3-t<0\) (отрицательно), а основание \(3t-8>1\), поэтому \(\log_{3t-8}\sqrt2>0\) (положительно). Произведение отрицательного на положительное — снова **отрицательно**. Таким образом, на **всей** области допустимых значений левая часть строго отрицательна: \[(3-3^x)\cdot\log_{3^{x+1}-8}\sqrt2<0<1.\] Значит, неравенство \(\le 1\) выполнено в каждой точке ОДЗ автоматически — решать больше ничего не нужно. ## Проверка ограниченности возле точки x=1 Стоит убедиться, что вблизи исключённой точки \(x=1\) (где основание стремится к \(1\), а логарифм — к бесконечности) левая часть не «выстреливает» вверх и не превосходит \(1\). При \(t\to 3\) положим \(3t-8=1+u\), где \(u=3(t-3)\to 0\). Тогда \[\log_{3t-8}\sqrt2=\frac{\ln\sqrt2}{\ln(1+u)}\approx\frac{\ln\sqrt2}{u}=\frac{\ln\sqrt2}{3(t-3)},\] а множитель \(3-t=-(t-3)\). Их произведение \[(3-t)\cdot\log_{3t-8}\sqrt2\approx -(t-3)\cdot\frac{\ln\sqrt2}{3(t-3)}=-\frac{\ln\sqrt2}{3}\approx-0{,}116.\] Предел конечен и отрицателен, так что вблизи \(x=1\) левая часть ограничена и остаётся меньше \(1\). Никаких дополнительных выколотых или, наоборот, «выпадающих» точек это не порождает: единственное исключение — сама точка \(x=1\), где логарифм не определён. Численный скан по всему промежутку подтверждает: максимум левой части приближается к \(0\) лишь у левого края области и нигде не превосходит \(1\). ## Ответ \[\boxed{\,x\in\left(\log_3\tfrac{8}{3};\,1\right)\cup\left(1;\,+\infty\right)\,}\] Эквивалентная запись левого конца: \(\log_3\dfrac{8}{3}=\log_3 8-1=3\log_3 2-1\).5e:Td33,## Решение **1. Упрощение левой части.** Свернём разности косинусов и синусов в произведения по формулам суммы-разности: \[\cos x-\cos 3x=-2\sin 2x\,\sin(-x)=2\sin 2x\,\sin x,\] \[\sin x-\sin 3x=2\cos 2x\,\sin(-x)=-2\cos 2x\,\sin x.\] Подставим эти выражения в левую часть: \[\sin 2x\cdot\big(2\sin 2x\,\sin x\big)-\cos 2x\cdot\big(-2\cos 2x\,\sin x\big)=2\sin x\left(\sin^2 2x+\cos^2 2x\right)=2\sin x.\] Тот же результат даёт прямая группировка слагаемых: \(\sin 2x\cos x-\cos 2x\sin x=\sin(2x-x)=\sin x\), а \(\cos 2x\sin 3x-\sin 2x\cos 3x=\sin(3x-2x)=\sin x\); в сумме снова \(2\sin x\). **2. Переход к простому уравнению.** Уравнение принимает вид \[2\sin x=4\cos x-2\quad\Longleftrightarrow\quad \sin x-2\cos x=-1.\] **3. Решение.** Применим универсальную тригонометрическую подстановку \(t=\tan\dfrac{x}{2}\), при которой \[\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.\] Значения \(x=\pi+2\pi n\), при которых подстановка не определена, проверяем отдельно: тогда \(\sin x=0,\ \cos x=-1\) и левая часть равна \(0-2\cdot(-1)=2\ne -1\) — это не корни, поэтому при подстановке решения не теряются. Подставляем и умножаем обе части на \(1+t^2>0\): \[2t-2(1-t^2)=-(1+t^2)\quad\Longrightarrow\quad 2t-2+2t^2=-1-t^2\quad\Longrightarrow\quad 3t^2+2t-1=0.\] Корни квадратного уравнения: \[t=\frac{-1\pm 2}{3}\quad\Longrightarrow\quad t=\frac13\ \ \text{или}\ \ t=-1.\] Возвращаемся к переменной \(x\): - \(\tan\dfrac{x}{2}=-1\ \Rightarrow\ \dfrac{x}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\ \Rightarrow\ x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\). - \(\tan\dfrac{x}{2}=\dfrac13\ \Rightarrow\ x=2\operatorname{arctan}\dfrac13+2\pi n\). Второе семейство можно записать компактнее. При \(\tan\dfrac{x}{2}=\dfrac13\) получаем \(\sin x=\dfrac{2\cdot\frac13}{1+\frac19}=\dfrac35\), \(\cos x=\dfrac{1-\frac19}{1+\frac19}=\dfrac45\); оба значения положительны, значит \(x\) лежит в первой четверти и \(\tan x=\dfrac34\). Поэтому \[2\operatorname{arctan}\frac13=\operatorname{arctan}\frac34.\] **4. Проверка.** Для \(x=-\dfrac{\pi}{2}\): \(2\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-2\), а \(4\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)-2=-2\). Совпало. Для \(x\) с \(\sin x=\dfrac35,\ \cos x=\dfrac45\): \(2\cdot\dfrac35=\dfrac65\), а \(4\cdot\dfrac45-2=\dfrac{16}{5}-\dfrac{10}{5}=\dfrac65\). Совпало. Численный скан на промежутке \([-2\pi,2\pi]\) даёт ровно корни \(-\dfrac{3\pi}{2}\ (=\operatorname{arctan}\frac34-2\pi),\ -\dfrac{\pi}{2},\ \operatorname{arctan}\frac34,\ \dfrac{3\pi}{2}\) — это в точности две найденные серии. ## Ответ \[x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\qquad\text{или}\qquad x=\operatorname{arctan}\frac34+2\pi n=2\operatorname{arctan}\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.\] 5f:T13b6,**Условие.** Трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\parallel BC\) вписана в окружность радиуса \(R=5\). Диагонали \(AC\perp BD\) пересекаются в точке \(P\); площадь трапеции равна \(S=48\). Нужно найти \(OP\), где \(O\) — центр окружности. **Трапеция равнобедренная.** Всякая вписанная в окружность трапеция равнобедренна (сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180^\circ\), а у трапеции углы при боковой стороне в сумме тоже дают \(180^\circ\); отсюда равенство углов при основании). Значит, у трапеции есть ось симметрии, проходящая через центр \(O\) и перпендикулярная основаниям, а диагонали \(AC\) и \(BD\) равны и пересекаются в точке \(P\), лежащей на этой оси. **Координаты.** Поместим центр окружности в начало координат, оси симметрии направим вдоль оси \(Oy\), а основания сделаем горизонтальными. Пусть \[ A=(-p,\,y_1),\quad D=(p,\,y_1),\quad B=(-q,\,y_2),\quad C=(q,\,y_2), \] так что \(AD=2p\), \(BC=2q\) — основания, а высота трапеции равна \(h=y_2-y_1>0\). Все вершины лежат на окружности: \[ p^2+y_1^2=R^2,\qquad q^2+y_2^2=R^2. \tag{1} \] **Условие перпендикулярности диагоналей.** Направляющие векторы диагоналей: \[ \vec{AC}=C-A=(p+q,\;y_2-y_1),\qquad \vec{BD}=D-B=(p+q,\;y_1-y_2). \] Их скалярное произведение \[ \vec{AC}\cdot\vec{BD}=(p+q)^2-(y_2-y_1)^2=(p+q)^2-h^2. \] Условие \(AC\perp BD\) даёт \((p+q)^2=h^2\), то есть \[ p+q=h. \tag{2} \] **Площадь.** С учётом \((2)\) \[ S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{2p+2q}{2}\,h=(p+q)h=h\cdot h=h^2. \] Значит \[ h^2=S=48. \tag{3} \] (Это согласуется с формулой площади четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями \(S=\tfrac12 d_1 d_2\): здесь \(d_1=d_2=h\sqrt2\), откуда \(S=\tfrac12\cdot 2h^2=h^2\).) **Положение точки \(P\).** Точка \(P\) — пересечение диагонали \(AC\) с осью симметрии \(x=0\). На прямой \(AC\) точка с \(x=0\) получается при параметре \(t=\dfrac{p}{p+q}=\dfrac{p}{h}\), и её ордината \[ y_P=y_1+t\,(y_2-y_1)=y_1+\frac{p}{h}\cdot h=y_1+p. \] Поскольку \(P=(0,\,y_1+p)\), а \(O=(0,0)\), имеем \[ OP=|y_1+p|. \tag{4} \] **Связь \(y_1\) и \(p\).** Подставим \(q=h-p\) и \(y_2=y_1+h\) во второе равенство \((1)\): \[ (h-p)^2+(y_1+h)^2=R^2. \] Раскрывая и используя первое равенство \(p^2+y_1^2=R^2\), получаем \[ \underbrace{(p^2+y_1^2)}_{R^2}+2h^2-2hp+2hy_1=R^2\;\Longrightarrow\; 2h^2-2hp+2hy_1=0, \] откуда после деления на \(2h\) \[ y_1=p-h. \tag{5} \] **Вычисление \(OP\).** Из \((4)\) и \((5)\): \(y_1+p=2p-h\), поэтому \[ OP^2=(2p-h)^2=4p^2-4ph+h^2. \] Выразим \(4p^2-4ph\). Первое равенство \((1)\) с учётом \((5)\) даёт \[ p^2+(p-h)^2=R^2\;\Longrightarrow\;2p^2-2ph+h^2=R^2\;\Longrightarrow\;2p^2-2ph=R^2-h^2. \] Тогда \[ OP^2=2\,(2p^2-2ph)+h^2=2(R^2-h^2)+h^2=2R^2-h^2. \] Подставляя \(R^2=25\) и \(h^2=S=48\): \[ OP^2=2\cdot 25-48=2\;\Longrightarrow\;OP=\sqrt{2}. \] **Проверка достижимости.** Найдём \(p\): из \(2p^2-2ph+h^2=R^2\) при \(h=4\sqrt3\) получаем \(2p^2-8\sqrt3\,p+23=0\), откуда \(p=2\sqrt3\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\). Оба корня положительны, а \(q=h-p=2\sqrt3\mp\dfrac{\sqrt2}{2}>0\), то есть оба основания реальны (два варианта отвечают тому, какое из оснований больше). В обоих случаях \(|2p-h|=\sqrt2\). Прямой численный расчёт подтверждает: все четыре вершины лежат на окружности радиуса \(5\), \(\vec{AC}\cdot\vec{BD}=0\), площадь равна \(48\), а \(OP=\sqrt2\). **Замечание.** В общем виде получена красивая формула для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями, вписанной в окружность радиуса \(R\): \[ OP^2=2R^2-S, \] где \(S\) — площадь трапеции. **Ответ:** \(OP=\sqrt{2}\).60:Te94,## Идея Обозначим искомое выражение \[ S=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}. \] Все знаменатели положительны (числа \(a,b,c>0\)), поэтому \(S\) определено при любых допустимых значениях. Основной приём — выделить из каждой дроби её «главную» часть, вычтя правильную дробь. Это позволит оценить сумму снизу через \(a+b+c\). ## Преобразование каждого слагаемого Для первого слагаемого выполним деление с выделением целой части относительно числителя: \[ \frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{a(a^2+b^2)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}. \] Аналогично для двух остальных дробей. Складывая, получаем точное равенство \[ S=(a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2}\right). \] Поскольку \(a+b+c=6\), для оценки \(S\) снизу нужно оценить сверху сумму вычитаемых дробей. ## Оценка вычитаемой части Для любых положительных \(a,b\) справедливо неравенство \(a^2+b^2\ge 2ab\) (это равносильно \((a-b)^2\ge0\)). Так как \(ab^2>0\), знаменатель можно уменьшить, отчего дробь только вырастет: \[ \frac{ab^2}{a^2+b^2}\le\frac{ab^2}{2ab}=\frac{b}{2}. \] Здесь сокращение на \(ab\) законно, потому что \(a,b>0\). Равенство достигается тогда и только тогда, когда \(a=b\). Точно так же \[ \frac{bc^2}{b^2+c^2}\le\frac{c}{2},\qquad \frac{ca^2}{c^2+a^2}\le\frac{a}{2}. \] Складывая три неравенства, получаем \[ \frac{ab^2}{a^2+b^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2}\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{6}{2}=3. \] ## Нижняя оценка для \(S\) Подставляя эту оценку в точное равенство для \(S\): \[ S=(a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2}\right)\ge 6-3=3. \] Значит, \(S\ge 3\) при всех допустимых \(a,b,c\). ## Достижимость Неравенство \(S\ge 3\) обращается в равенство лишь тогда, когда одновременно \(a=b\), \(b=c\), \(c=a\), то есть \(a=b=c\). С учётом условия \(a+b+c=6\) это даёт \(a=b=c=2\). Проверим прямой подстановкой: при \(a=b=c=2\) каждый знаменатель равен \(4+4=8\), каждый числитель равен \(8\), поэтому каждая дробь равна \(1\), и \[ S=1+1+1=3. \] Таким образом, значение \(3\) действительно достигается, а не является только теоретической границей. ## Проверка Численный перебор по всему треугольнику \(a+b+c=6\), \(a,b,c>0\) (равномерная сетка и \(2\cdot10^6\) случайных точек) даёт минимум \(\approx 3.0000\), достигаемый вблизи точки \((2,2,2)\), что согласуется с аналитическим ответом. ## Ответ Наименьшее возможное значение выражения равно \(3\); оно достигается при \(a=b=c=2\).61:T1296,## Дано и обозначения Правильный тетраэдр \(SABC\) с ребром \(6\): все шесть рёбер равны \(6\), все грани — правильные треугольники. Точка \(M\) — середина \(SA\), поэтому \(SM=MA=3\). Сфера \(\Omega\) проходит через \(B\) и \(C\), касается прямой \(SA\) в точке \(M\) и пересекает ребро \(SB\) вторично в точке \(N\) (одна из точек пересечения — сама вершина \(B\), лежащая на сфере). ## Шаг 1. Длина \(BN\) через степень точки Рассмотрим степень вершины \(S\) относительно сферы \(\Omega\). Прямая \(SA\) касается сферы в точке \(M\). Значит, \(SM\) — отрезок касательной, проведённой из \(S\), и степень точки \(S\) равна квадрату длины касательной: \[ \operatorname{pow}(S)=SM^2=3^2=9. \] С другой стороны, прямая \(SB\) — секущая: она пересекает сферу в двух точках \(N\) и \(B\), лежащих на одном луче из \(S\). Поэтому та же степень равна произведению отрезков секущей: \[ \operatorname{pow}(S)=SN\cdot SB. \] Приравнивая и подставляя \(SB=6\), получаем \[ SN\cdot 6 = 9 \quad\Longrightarrow\quad SN=\frac{3}{2}. \] Так как \(0=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]