Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Александр Ларин (тренировочный вариант 126)
Решите неравенство: (3−3x)⋅log3x+1−82≤1
В неравенстве
(3−3x)⋅log3x+1−82≤1стоит логарифм с переменным основанием 3x+1−8. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице (аргумент 2>0 — здесь ограничений нет). Значит:
3x+1−8>0,3x+1−8=1.Из первого условия 3x+1>8, то есть x+1>log38, откуда
x>log38−1=log38−log33=log338.Из второго условия 3x+1=9=32, то есть x+1=2, значит x=1.
Итак, ОДЗ:
x∈(log338;1)∪(1;+∞).Заметим, что log338≈0,893, и точка x=1 — «дырка» внутри области.
Введём t=3x>0. Тогда 3x+1=3⋅3x=3t, и основание логарифма равно 3t−8. Неравенство принимает вид
(3−t)⋅log3t−82≤1.Посмотрим на знаки двух множителей.
Множитель 3−t. Он обращается в нуль при t=3, то есть при 3x=3, то есть при x=1.
Множитель log3t−82. Так как 2>1, знак логарифма совпадает со знаком величины «основание минус единица»: он положителен при основании 3t−8>1 и отрицателен при 0<3t−8<1. Граница 3t−8=1 даёт t=3, то есть снова x=1.
Оба множителя меняют знак в одной и той же точке x=1 — именно поэтому она исключена из ОДЗ. Разберём два промежутка ОДЗ.
1) x∈(log338;1), то есть t∈(38;3).
Здесь 3−t>0 (положительно), а основание 3t−8∈(0;1), поэтому log3t−82<0 (отрицательно). Произведение положительного на отрицательное — отрицательно.
2) x∈(1;+∞), то есть t>3.
Здесь 3−t<0 (отрицательно), а основание 3t−8>1, поэтому log3t−82>0 (положительно). Произведение отрицательного на положительное — снова отрицательно.
Таким образом, на всей области допустимых значений левая часть строго отрицательна:
(3−3x)⋅log3x+1−82<0<1.Значит, неравенство ≤1 выполнено в каждой точке ОДЗ автоматически — решать больше ничего не нужно.
Стоит убедиться, что вблизи исключённой точки x=1 (где основание стремится к 1, а логарифм — к бесконечности) левая часть не «выстреливает» вверх и не превосходит 1. При t→3 положим 3t−8=1+u, где u=3(t−3)→0. Тогда
log3t−82=ln(1+u)ln2≈uln2=3(t−3)ln2,а множитель 3−t=−(t−3). Их произведение
(3−t)⋅log3t−82≈−(t−3)⋅3(t−3)ln2=−3ln2≈−0,116.Предел конечен и отрицателен, так что вблизи x=1 левая часть ограничена и остаётся меньше 1. Никаких дополнительных выколотых или, наоборот, «выпадающих» точек это не порождает: единственное исключение — сама точка x=1, где логарифм не определён.
Численный скан по всему промежутку подтверждает: максимум левой части приближается к 0 лишь у левого края области и нигде не превосходит 1.
Эквивалентная запись левого конца: log338=log38−1=3log32−1.