Решите неравенство: (3-3^x)*_(3^(x+1)-8)sqrt(2)<= 1
## Область допустимых значений В неравенстве (3-3^x)*_(3^(x+1)-8)sqrt(2)<= 1 стоит логарифм с переменным основанием 3^(x+1)-8. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице (аргумент 2>0 — здесь ограничений нет). Значит: 3^(x+1)-8>0, 3^(x+1)-8!= 1. Из первого условия 3^(x+1)>8, то есть x+1>_3 8, откуда x>_3 8-1=_3 8-_3 3=_3(8)/(3). Из второго условия 3^(x+1)!= 9=3^2, то есть x+1!= 2, значит x!= 1. Итак, ОДЗ: xin(_3(8)/(3);1)U(1;+inf). Заметим, что _3(8)/(3)~ 0,893, и точка x=1 — «дырка» внутри области. ## Ключевое наблюдение о знаке Введём t=3^x>0. Тогда 3^(x+1)=3* 3^x=3t, и основание логарифма равно 3t-8. Неравенство принимает вид (3-t)*_(3t-8)2<= 1. Посмотрим на знаки двух множителей. **Множитель 3-t.** Он обращается в нуль при t=3, то есть при 3^x=3, то есть при x=1. **Множитель _(3t-8)2.** Так как 2>1, знак логарифма совпадает со знаком величины «основание минус единица»: он положителен при основании 3t-8>1 и отрицателен при 0<3t-8<1. Граница 3t-8=1 даёт t=3, то есть снова x=1. Оба множителя меняют знак в одной и той же точке x=1 — именно поэтому она исключена из ОДЗ. Разберём два промежутка ОДЗ. **1) xin(_3(8)/(3);1), то есть tin(83;3).** Здесь 3-t>0 (положительно), а основание 3t-8in(0;1), поэтому _(3t-8)2<0 (отрицательно). Произведение положительного на отрицательное — **отрицательно**. **2) xin(1;+inf), то есть t>3.** Здесь 3-t<0 (отрицательно), а основание 3t-8>1, поэтому _(3t-8)2>0 (положительно). Произведение отрицательного на положительное — снова **отрицательно**. Таким образом, на **всей** области допустимых значений левая часть строго отрицательна: (3-3^x)*_(3^(x+1)-8)2<0<1. Значит, неравенство <= 1 выполнено в каждой точке ОДЗ автоматически — решать больше ничего не нужно. ## Проверка ограниченности возле точки x=1 Стоит убедиться, что вблизи исключённой точки x=1 (где основание стремится к 1, а логарифм — к бесконечности) левая часть не «выстреливает» вверх и не превосходит 1. При t 3 положим 3t-8=1+u, где u=3(t-3) 0. Тогда _(3t-8)2=(ln2)/(ln(1+u))~(ln2)/(u)=(ln2)/(3(t-3)), а множитель 3-t=-(t-3). Их произведение (3-t)*_(3t-8)2~ -(t-3)*(ln2)/(3(t-3))=-(ln2)/(3)~-0,116. Предел конечен и отрицателен, так что вблизи x=1 левая часть ограничена и остаётся меньше 1. Никаких дополнительных выколотых или, наоборот, «выпадающих» точек это не порождает: единственное исключение — сама точка x=1, где логарифм не определён. Численный скан по всему промежутку подтверждает: максимум левой части приближается к 0 лишь у левого края области и нигде не превосходит 1. ## Ответ xin(_3(8)/(3);1)U(1;+inf) Эквивалентная запись левого конца: _3(8)/(3)=_3 8-1=3_3 2-1.
\(x\in\left(\log_3\tfrac{8}{3};\,1\right)\cup\left(1;\,+\infty\right)\)