Трапеция ABCD (AD∥BC) вписана в окружность радиуса 5. Её диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P. Найдите расстояние от центра окружности O до точки P, если известно, что площадь трапеции равна 48.
Условие. Трапеция ABCD с основаниями AD∥BC вписана в окружность радиуса R=5. Диагонали AC⊥BD пересекаются в точке P; площадь трапеции равна S=48. Нужно найти OP, где O — центр окружности.
Трапеция равнобедренная. Всякая вписанная в окружность трапеция равнобедренна (сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180∘, а у трапеции углы при боковой стороне в сумме тоже дают 180∘; отсюда равенство углов при основании). Значит, у трапеции есть ось симметрии, проходящая через центр O и перпендикулярная основаниям, а диагонали AC и BD равны и пересекаются в точке P, лежащей на этой оси.
Координаты. Поместим центр окружности в начало координат, оси симметрии направим вдоль оси Oy, а основания сделаем горизонтальными. Пусть
A=(−p,y1),D=(p,y1),B=(−q,y2),C=(q,y2),так что AD=2p, BC=2q — основания, а высота трапеции равна h=y2−y1>0. Все вершины лежат на окружности:
p2+y12=R2,q2+y22=R2.(1)Условие перпендикулярности диагоналей. Направляющие векторы диагоналей:
AC=C−A=(p+q,y2−y1),BD=D−B=(p+q,y1−y2).Их скалярное произведение
AC⋅BD=(p+q)2−(y2−y1)2=(p+q)2−h2.Условие AC⊥BD даёт (p+q)2=h2, то есть
p+q=h.(2)Площадь. С учётом (2)
S=2AD+BC⋅h=22p+2qh=(p+q)h=h⋅h=h2.Значит
h2=S=48.(3)(Это согласуется с формулой площади четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями S=21d1d2: здесь d1=d2=h2, откуда S=21⋅2h2=h2.)
Положение точки P. Точка P — пересечение диагонали AC с осью симметрии x=0. На прямой AC точка с x=0 получается при параметре t=p+qp=hp, и её ордината
yP=y1+t(y2−y1)=y1+hp⋅h=y1+p.Поскольку P=(0,y1+p), а O=(0,0), имеем
OP=∣y1+p∣.(4)Связь y1 и p. Подставим q=h−p и y2=y1+h во второе равенство (1):
(h−p)2+(y1+h)2=R2.Раскрывая и используя первое равенство p2+y12=R2, получаем
R2(p2+y12)+2h2−2hp+2hy1=R2⟹2h2−2hp+2hy1=0,откуда после деления на 2h
y1=p−h.(5)Вычисление OP. Из (4) и (5): y1+p=2p−h, поэтому
OP2=(2p−h)2=4p2−4ph+h2.Выразим 4p2−4ph. Первое равенство (1) с учётом (5) даёт
p2+(p−h)2=R2⟹2p2−2ph+h2=R2⟹2p2−2ph=R2−h2.Тогда
OP2=2(2p2−2ph)+h2=2(R2−h2)+h2=2R2−h2.Подставляя R2=25 и h2=S=48:
OP2=2⋅25−48=2⟹OP=2.Проверка достижимости. Найдём p: из 2p2−2ph+h2=R2 при h=43 получаем 2p2−83p+23=0, откуда p=23±22. Оба корня положительны, а q=h−p=23∓22>0, то есть оба основания реальны (два варианта отвечают тому, какое из оснований больше). В обоих случаях ∣2p−h∣=2. Прямой численный расчёт подтверждает: все четыре вершины лежат на окружности радиуса 5, AC⋅BD=0, площадь равна 48, а OP=2.
Замечание. В общем виде получена красивая формула для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями, вписанной в окружность радиуса R:
OP2=2R2−S,где S — площадь трапеции.
Ответ: OP=2.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Александр Ларин (тренировочный вариант 126)