Трапеция ABCD (AD BC) вписана в окружность радиуса 5. Её диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P. Найдите расстояние от центра окружности O до точки P, если известно, что площадь трапеции равна 48.
**Условие.** Трапеция ABCD с основаниями AD BC вписана в окружность радиуса R=5. Диагонали AC BD пересекаются в точке P; площадь трапеции равна S=48. Нужно найти OP, где O — центр окружности. **Трапеция равнобедренная.** Всякая вписанная в окружность трапеция равнобедренна (сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180^, а у трапеции углы при боковой стороне в сумме тоже дают 180^; отсюда равенство углов при основании). Значит, у трапеции есть ось симметрии, проходящая через центр O и перпендикулярная основаниям, а диагонали AC и BD равны и пересекаются в точке P, лежащей на этой оси. **Координаты.** Поместим центр окружности в начало координат, оси симметрии направим вдоль оси Oy, а основания сделаем горизонтальными. Пусть A=(-p,y_1), D=(p,y_1), B=(-q,y_2), C=(q,y_2), так что AD=2p, BC=2q — основания, а высота трапеции равна h=y_2-y_1>0. Все вершины лежат на окружности: p^2+y_1^2=R^2, q^2+y_2^2=R^2. 1 **Условие перпендикулярности диагоналей.** Направляющие векторы диагоналей: AC=C-A=(p+q,y_2-y_1), BD=D-B=(p+q,y_1-y_2). Их скалярное произведение AC*BD=(p+q)^2-(y_2-y_1)^2=(p+q)^2-h^2. Условие AC BD даёт (p+q)^2=h^2, то есть p+q=h. 2 **Площадь.** С учётом (2) S=(AD+BC)/(2)* h=(2p+2q)/(2)h=(p+q)h=h* h=h^2. Значит h^2=S=48. 3 (Это согласуется с формулой площади четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями S=12 d_1 d_2: здесь d_1=d_2=h2, откуда S=12* 2h^2=h^2.) **Положение точки P.** Точка P — пересечение диагонали AC с осью симметрии x=0. На прямой AC точка с x=0 получается при параметре t=(p)/(p+q)=(p)/(h), и её ордината y_P=y_1+t(y_2-y_1)=y_1+(p)/(h)* h=y_1+p. Поскольку P=(0,y_1+p), а O=(0,0), имеем OP=|y_1+p|. 4 **Связь y_1 и p.** Подставим q=h-p и y_2=y_1+h во второе равенство (1): (h-p)^2+(y_1+h)^2=R^2. Раскрывая и используя первое равенство p^2+y_1^2=R^2, получаем (p^2+y_1^2)_(R^2)+2h^2-2hp+2hy_1=R^22h^2-2hp+2hy_1=0, откуда после деления на 2h y_1=p-h. 5 **Вычисление OP.** Из (4) и (5): y_1+p=2p-h, поэтому OP^2=(2p-h)^2=4p^2-4ph+h^2. Выразим 4p^2-4ph. Первое равенство (1) с учётом (5) даёт p^2+(p-h)^2=R^22p^2-2ph+h^2=R^22p^2-2ph=R^2-h^2. Тогда OP^2=2(2p^2-2ph)+h^2=2(R^2-h^2)+h^2=2R^2-h^2. Подставляя R^2=25 и h^2=S=48: OP^2=2* 25-48=2=sqrt(2). **Проверка достижимости.** Найдём p: из 2p^2-2ph+h^2=R^2 при h=43 получаем 2p^2-83p+23=0, откуда p=23+-(2)/(2). Оба корня положительны, а q=h-p=23-+(2)/(2)>0, то есть оба основания реальны (два варианта отвечают тому, какое из оснований больше). В обоих случаях |2p-h|=2. Прямой численный расчёт подтверждает: все четыре вершины лежат на окружности радиуса 5, AC*BD=0, площадь равна 48, а OP=2. **Замечание.** В общем виде получена красивая формула для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями, вписанной в окружность радиуса R: OP^2=2R^2-S, где S — площадь трапеции. **Ответ:** OP=sqrt(2).
\(OP=\sqrt{2}\).