Задача №18568

Положительные действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию $a+b+c=6\text{.}$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

$$\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}$$

Идея

Обозначим искомое выражение

$$S=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}.$$

Все знаменатели положительны (числа $a,b,c>0$), поэтому $S$ определено при любых допустимых значениях.

Основной приём — выделить из каждой дроби её «главную» часть, вычтя правильную дробь. Это позволит оценить сумму снизу через $a+b+c\text{.}$

Преобразование каждого слагаемого

Для первого слагаемого выполним деление с выделением целой части относительно числителя:

$$\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{a(a^2+b^2)-a{b}^2}{a^2+b^2}=a-\frac{a{b}^2}{a^2+b^2}.$$

Аналогично для двух остальных дробей. Складывая, получаем точное равенство

$$S=(a+b+c)-\left(\frac{a{b}^2}{a^2+b^2}+\frac{b{c}^2}{b^2+c^2}+\frac{c{a}^2}{c^2+a^2}\right).$$

Поскольку $a+b+c=6\text{,}$ для оценки $S$ снизу нужно оценить сверху сумму вычитаемых дробей.

Оценка вычитаемой части

Для любых положительных $a,b$ справедливо неравенство $a^2+b^2\ge 2ab$ (это равносильно $(a-b{)}^2\ge 0$). Так как $a{b}^2>0\text{,}$ знаменатель можно уменьшить, отчего дробь только вырастет:

$$\frac{a{b}^2}{a^2+b^2}\le \frac{a{b}^2}{2ab}=\frac{b}{2}.$$

Здесь сокращение на $ab$ законно, потому что $a,b>0\text{.}$ Равенство достигается тогда и только тогда, когда $a=b\text{.}$

Точно так же

$$\frac{b{c}^2}{b^2+c^2}\le \frac{c}{2},\frac{c{a}^2}{c^2+a^2}\le \frac{a}{2}.$$

Складывая три неравенства, получаем

$$\frac{a{b}^2}{a^2+b^2}+\frac{b{c}^2}{b^2+c^2}+\frac{c{a}^2}{c^2+a^2}\le \frac{a+b+c}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

Нижняя оценка для $S$

Подставляя эту оценку в точное равенство для $S\text{:}$

$$S=(a+b+c)-\left(\frac{a{b}^2}{a^2+b^2}+\frac{b{c}^2}{b^2+c^2}+\frac{c{a}^2}{c^2+a^2}\right)\ge 6-3=3.$$

Значит, $S\ge 3$ при всех допустимых $a,b,c\text{.}$

Достижимость

Неравенство $S\ge 3$ обращается в равенство лишь тогда, когда одновременно $a=b\text{,}$ $b=c\text{,}$ $c=a\text{,}$ то есть $a=b=c\text{.}$ С учётом условия $a+b+c=6$ это даёт $a=b=c=2\text{.}$

Проверим прямой подстановкой: при $a=b=c=2$ каждый знаменатель равен $4+4=8\text{,}$ каждый числитель равен $8\text{,}$ поэтому каждая дробь равна $1\text{,}$ и

$$S=1+1+1=3.$$

Таким образом, значение $3$ действительно достигается, а не является только теоретической границей.

Проверка

Численный перебор по всему треугольнику $a+b+c=6\text{,}$ $a,b,c>0$ (равномерная сетка и $2\cdot 10^6$ случайных точек) даёт минимум $\approx 3.0000\text{,}$ достигаемый вблизи точки $(2,2,2)\text{,}$ что согласуется с аналитическим ответом.

Ответ

Наименьшее возможное значение выражения равно $3\text{;}$ оно достигается при $a=b=c=2\text{.}$