Решите уравнение: sin 2x*(cos x-cos 3x)-cos 2x*(sin x-sin 3x)=4cos x-2
## Решение **1. Упрощение левой части.** Свернём разности косинусов и синусов в произведения по формулам суммы-разности: cos x-cos 3x=-2sin 2xsin(-x)=2sin 2xsin x, sin x-sin 3x=2cos 2xsin(-x)=-2cos 2xsin x. Подставим эти выражения в левую часть: sin 2x*(2sin 2xsin x)-cos 2x*(-2cos 2xsin x)=2sin x(sin^2 2x+cos^2 2x)=2sin x. Тот же результат даёт прямая группировка слагаемых: sin 2xcos x-cos 2xsin x=sin(2x-x)=sin x, а cos 2xsin 3x-sin 2xcos 3x=sin(3x-2x)=sin x; в сумме снова 2sin x. **2. Переход к простому уравнению.** Уравнение принимает вид 2sin x=4cos x-2 sin x-2cos x=-1. **3. Решение.** Применим универсальную тригонометрическую подстановку t=tan(x)/(2), при которой sin x=(2t)/(1+t^2), cos x=(1-t^2)/(1+t^2). Значения x=pi+2pi n, при которых подстановка не определена, проверяем отдельно: тогда sin x=0, cos x=-1 и левая часть равна 0-2*(-1)=2!= -1 — это не корни, поэтому при подстановке решения не теряются. Подставляем и умножаем обе части на 1+t^2>0: 2t-2(1-t^2)=-(1+t^2) 2t-2+2t^2=-1-t^2 3t^2+2t-1=0. Корни квадратного уравнения: t=(-1+- 2)/(3) t=13 или t=-1. Возвращаемся к переменной x: - tan(x)/(2)=-1 => (x)/(2)=-(pi)/(4)+pi n => x=-(pi)/(2)+2pi n. - tan(x)/(2)=13 => x=2arctan13+2pi n. Второе семейство можно записать компактнее. При tan(x)/(2)=13 получаем sin x=(2*13)/(1+19)=35, cos x=(1-19)/(1+19)=45; оба значения положительны, значит x лежит в первой четверти и tan x=34. Поэтому 2arctan13=arctan34. **4. Проверка.** Для x=-(pi)/(2): 2sin(-(pi)/(2))=-2, а 4cos(-(pi)/(2))-2=-2. Совпало. Для x с sin x=35, cos x=45: 2*35=65, а 4*45-2=(16)/(5)-(10)/(5)=65. Совпало. Численный скан на промежутке [-2pi,2pi] даёт ровно корни -(3pi)/(2) (=arctan34-2pi), -(pi)/(2), arctan34, (3pi)/(2) — это в точности две найденные серии. ## Ответ x=-(pi)/(2)+2pi n или x=arctan34+2pi n=2arctan13+2pi n, ninZ.
\(x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\) или \(x=\operatorname{arctan}\dfrac{3}{4}+2\pi n=2\operatorname{arctan}\dfrac13+2\pi n\), \(n\in\mathbb{Z}\).