Решите уравнение:
sin2x⋅(cosx−cos3x)−cos2x⋅(sinx−sin3x)=4cosx−21. Упрощение левой части.
Свернём разности косинусов и синусов в произведения по формулам суммы-разности:
cosx−cos3x=−2sin2xsin(−x)=2sin2xsinx, sinx−sin3x=2cos2xsin(−x)=−2cos2xsinx.Подставим эти выражения в левую часть:
sin2x⋅(2sin2xsinx)−cos2x⋅(−2cos2xsinx)=2sinx(sin22x+cos22x)=2sinx.Тот же результат даёт прямая группировка слагаемых: sin2xcosx−cos2xsinx=sin(2x−x)=sinx, а cos2xsin3x−sin2xcos3x=sin(3x−2x)=sinx; в сумме снова 2sinx.
2. Переход к простому уравнению.
Уравнение принимает вид
2sinx=4cosx−2⟺sinx−2cosx=−1.3. Решение.
Применим универсальную тригонометрическую подстановку t=tan2x, при которой
sinx=1+t22t,cosx=1+t21−t2.Значения x=π+2πn, при которых подстановка не определена, проверяем отдельно: тогда sinx=0, cosx=−1 и левая часть равна 0−2⋅(−1)=2=−1 — это не корни, поэтому при подстановке решения не теряются.
Подставляем и умножаем обе части на 1+t2>0:
2t−2(1−t2)=−(1+t2)⟹2t−2+2t2=−1−t2⟹3t2+2t−1=0.Корни квадратного уравнения:
t=3−1±2⟹t=31 или t=−1.Возвращаемся к переменной x:
Второе семейство можно записать компактнее. При tan2x=31 получаем sinx=1+912⋅31=53, cosx=1+911−91=54; оба значения положительны, значит x лежит в первой четверти и tanx=43. Поэтому
2arctan31=arctan43.4. Проверка.
Для x=−2π: 2sin(−2π)=−2, а 4cos(−2π)−2=−2. Совпало.
Для x с sinx=53, cosx=54: 2⋅53=56, а 4⋅54−2=516−510=56. Совпало.
Численный скан на промежутке [−2π,2π] даёт ровно корни −23π (=arctan43−2π), −2π, arctan43, 23π — это в точности две найденные серии.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Александр Ларин (тренировочный вариант 126)