В правильном тетраэдре SABC с ребром 6 точка M — середина ребра SA. Сфера проходит через вершины B и C, касается прямой SA в точке M и пересекает ребро SB в точке N. Найдите радиус сферы и длину отрезка BN.
## Дано и обозначения Правильный тетраэдр SABC с ребром 6: все шесть рёбер равны 6, все грани — правильные треугольники. Точка M — середина SA, поэтому SM=MA=3. Сфера проходит через B и C, касается прямой SA в точке M и пересекает ребро SB вторично в точке N (одна из точек пересечения — сама вершина B, лежащая на сфере). ## Шаг 1. Длина BN через степень точки Рассмотрим степень вершины S относительно сферы . Прямая SA касается сферы в точке M. Значит, SM — отрезок касательной, проведённой из S, и степень точки S равна квадрату длины касательной: pow(S)=SM^2=3^2=9. С другой стороны, прямая SB — секущая: она пересекает сферу в двух точках N и B, лежащих на одном луче из S. Поэтому та же степень равна произведению отрезков секущей: pow(S)=SN* SB. Приравнивая и подставляя SB=6, получаем SN* 6 = 9 SN=(3)/(2). Так как 0<SN=32<6=SB, точка N действительно лежит на ребре SB между S и B, и BN=SB-SN=6-32=(9)/(2). ## Шаг 2. Радиус сферы через координаты Введём систему координат. Поместим центр основания ABC в начало координат. Радиус описанной окружности основания равен (6)/(3)=23, а высота тетраэдра h находится из условия h^2+(23)^2=6^2, то есть h=26. Тогда A=(23,0,0), B=(-3,3,0), C=(-3,-3,0), S=(0,0,26). (Проверка: все попарные расстояния равны 6.) Отсюда M=(S+A)/(2)=(3,0,6). **Симметрия.** Вершины B и C симметричны относительно плоскости y=0, которая содержит A, S, а значит и всю прямую SA с точкой касания M. Вся конфигурация переходит в себя при отражении в этой плоскости, поэтому центр сферы лежит в ней: O=(x,0,z). Запишем два условия на центр. **Условие касания.** В точке касания радиус перпендикулярен касательной прямой: (O-M)(A-S). Так как A-S=(23,0,-26), получаем (x-3)* 23+(z-6)*(-26)=0 3x-6z+3=0. 1 **Равенство радиусов** |OM|=|OB| (обе точки лежат на сфере): (x-3)^2+(z-6)^2=(x+3)^2+9+z^2. Раскрывая и упрощая, -43x-26z-3=0 43x+26z+3=0. 2 Из (1): 3x=6z-3, то есть x=2z-3. Подставляя в (2): 43(2z-3)+26z+3=0 66z-9=0 =(6)/(4), x=-(3)/(2). Итак, O=(-(3)/(2),0,(6)/(4)). Радиус: R^2=|O-B|^2=((3)/(2))^2+(-3)^2+((6)/(4))^2=34+9+(3)/(8)=(81)/(8), R=sqrt((81)/(8))=(9)/(22)=(92)/(4). ## Проверка Прямой подсчёт даёт |OM|^2=|OB|^2=|OC|^2=(81)/(8) (все три вершины и точка касания лежат на сфере), а (O-M)*(A-S)=0 (касание). Степень точки S равна |OS|^2-R^2=(153)/(8)-(81)/(8)=9=SM^2, что согласовано с шагом 1. Вторичное пересечение прямой SB со сферой даёт точку с SN=32, BN=92. ## Ответ R=(92)/(4), BN=(9)/(2).
Радиус сферы \(R=\dfrac{9\sqrt2}{4}\); длина отрезка \(BN=\dfrac{9}{2}\).