Задача №18569

В правильном тетраэдре $SABC$ с ребром $6$ точка $M$ — середина ребра $SA\text{.}$ Сфера $\Omega$ проходит через вершины $B$ и $C\text{,}$ касается прямой $SA$ в точке $M$ и пересекает ребро $SB$ в точке $N\text{.}$ Найдите радиус сферы $\Omega$ и длину отрезка $BN\text{.}$

Дано и обозначения

Правильный тетраэдр $SABC$ с ребром $6\text{:}$ все шесть рёбер равны $6\text{,}$ все грани — правильные треугольники. Точка $M$ — середина $SA\text{,}$ поэтому $SM=MA=3\text{.}$

Сфера $\Omega$ проходит через $B$ и $C\text{,}$ касается прямой $SA$ в точке $M$ и пересекает ребро $SB$ вторично в точке $N$ (одна из точек пересечения — сама вершина $B\text{,}$ лежащая на сфере).

Шаг 1. Длина $BN$ через степень точки

Рассмотрим степень вершины $S$ относительно сферы $\Omega \text{.}$

Прямая $SA$ касается сферы в точке $M\text{.}$ Значит, $SM$ — отрезок касательной, проведённой из $S\text{,}$ и степень точки $S$ равна квадрату длины касательной:

С другой стороны, прямая $SB$ — секущая: она пересекает сферу в двух точках $N$ и $B\text{,}$ лежащих на одном луче из $S\text{.}$ Поэтому та же степень равна произведению отрезков секущей:

Приравнивая и подставляя $SB=6\text{,}$ получаем

Так как $0<SN=\frac{3}{2}<6=SB\text{,}$ точка $N$ действительно лежит на ребре $SB$ между $S$ и $B\text{,}$ и

Шаг 2. Радиус сферы через координаты

Введём систему координат. Поместим центр основания $ABC$ в начало координат. Радиус описанной окружности основания равен $\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\text{,}$ а высота тетраэдра $h$ находится из условия $h^2+(2\sqrt{3}{)}^2=6^2\text{,}$ то есть $h=2\sqrt{6}\text{.}$ Тогда

(Проверка: все попарные расстояния равны $6\text{.}$) Отсюда

Симметрия. Вершины $B$ и $C$ симметричны относительно плоскости $y=0\text{,}$ которая содержит $A\text{,}$ $S\text{,}$ а значит и всю прямую $SA$ с точкой касания $M\text{.}$ Вся конфигурация переходит в себя при отражении в этой плоскости, поэтому центр сферы лежит в ней:

Запишем два условия на центр.

Условие касания. В точке касания радиус перпендикулярен касательной прямой: $(O-M)\perp (A-S)\text{.}$ Так как $A-S=(2\sqrt{3},0,-2\sqrt{6})\text{,}$ получаем

Равенство радиусов $|OM|=|OB|$ (обе точки лежат на сфере):

Раскрывая и упрощая,

Из $(1)\text{:}$ $\sqrt{3}x=\sqrt{6}z-3\text{,}$ то есть $x=\sqrt{2}z-\sqrt{3}\text{.}$ Подставляя в $(2)\text{:}$

Итак, $O=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{\sqrt{6}}{4}\right)\text{.}$ Радиус:

Проверка

Прямой подсчёт даёт $|OM{|}^2=|OB{|}^2=|OC{|}^2=\frac{81}{8}$ (все три вершины и точка касания лежат на сфере), а $(O-M)\cdot (A-S)=0$ (касание). Степень точки $S$ равна $|OS{|}^2-R^2=\frac{153}{8}-\frac{81}{8}=9=S{M}^2\text{,}$ что согласовано с шагом 1. Вторичное пересечение прямой $SB$ со сферой даёт точку с $SN=\frac{3}{2}\text{,}$ $BN=\frac{9}{2}\text{.}$

Ответ