58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T9e8,**Область допустимых значений.** Во втором уравнении присутствует $\log_2 x$ в знаменателе, поэтому необходимо $x>0$ и $\log_2 x\neq 0$, то есть $x\neq 1$. При этих ограничениях степень $x^y$ определена и положительна. Итак, ОДЗ: $x>0,\ x\neq 1$. **Преобразование второго уравнения.** На ОДЗ равенство \[y=\frac{x+1}{\log_2 x}\] равносильно (умножаем на $\log_2 x\neq 0$) равенству $y\log_2 x = x+1$. По свойству логарифма $y\log_2 x=\log_2 x^y$, поэтому \[\log_2 x^y = x+1.\] Так как функция $\log_2$ — биекция положительных чисел, а $x^y>0$, это в точности означает \[x^y = 2^{x+1}.\] Все переходы здесь — равносильные, ни один корень не теряется и не добавляется. **Подстановка в первое уравнение.** Подставляя $x^y=2^{x+1}$ в равенство $3x^y=4^x+8$, получаем уравнение уже только относительно $x$: \[3\cdot 2^{x+1}=4^x+8,\qquad\text{то есть}\qquad 6\cdot 2^{x}=4^{x}+8.\] Обозначим $t=2^{x}$; тогда $t>0$ и $4^{x}=(2^{x})^{2}=t^{2}$. Уравнение принимает вид \[t^{2}-6t+8=0\quad\Longleftrightarrow\quad (t-2)(t-4)=0,\] откуда $t=2$ или $t=4$. **Возврат к $x$ и отбор по ОДЗ.** \[t=2^{x}=2\ \Rightarrow\ x=1;\qquad t=2^{x}=4\ \Rightarrow\ x=2.\] Значение $x=1$ не входит в ОДЗ (при $x=1$ во втором уравнении $\log_2 1=0$ и дробь не определена), поэтому оно посторонне и отбрасывается. Остаётся единственное допустимое значение $x=2$. **Нахождение $y$.** При $x=2$ из второго уравнения \[y=\frac{x+1}{\log_2 x}=\frac{2+1}{\log_2 2}=\frac{3}{1}=3.\] **Проверка.** Для пары $(x,y)=(2,3)$: \[\text{первое уравнение: } 3x^y=3\cdot 2^{3}=24,\qquad 4^{x}+8=4^{2}+8=16+8=24,\] \[\text{второе уравнение: } \frac{x+1}{\log_2 x}=\frac{3}{1}=3=y.\] Оба равенства выполнены, ОДЗ соблюдена. **Ответ:** $x=2,\ y=3$.5c:T10a7,Решаем неравенство \[\frac{1-x}{x}>\sqrt{\frac{3x-2}{3x+4}}.\] **Область допустимых значений.** Корень в правой части определён, когда подкоренное выражение неотрицательно, и одновременно $x\neq 0$: \[\frac{3x-2}{3x+4}\geqslant 0,\qquad x\neq 0.\] Дробь $\dfrac{3x-2}{3x+4}$ неотрицательна там, где числитель и знаменатель одного знака. Нули числителя и знаменателя — точки $x=\dfrac{2}{3}$ и $x=-\dfrac{4}{3}$. Метод интервалов даёт | интервал | $\left(-\infty,-\tfrac43\right)$ | $\left(-\tfrac43,\tfrac23\right)$ | $\left(\tfrac23,+\infty\right)$ | |---|---|---|---| | знак $\frac{3x-2}{3x+4}$ | $+$ | $-$ | $+$ | Значит, $\dfrac{3x-2}{3x+4}\geqslant 0$ при $x\leqslant-\dfrac{4}{3}$ или $x\geqslant\dfrac{2}{3}$ (в точке $x=-\tfrac43$ знаменатель обращается в нуль, поэтому она исключается; точка $x=\tfrac23$ допустима). **Знак левой части.** Правая часть неотрицательна как арифметический квадратный корень: $\sqrt{\dfrac{3x-2}{3x+4}}\geqslant 0$. Поэтому неравенство может выполняться лишь там, где левая часть положительна: \[\frac{1-x}{x}>0\iff 00\), так что неравенство $\dfrac12>0$ выполнено и точка $x=\dfrac23$ входит в ответ. На интервале $\dfrac{2}{3}\frac{3x-2}{3x+4}.\] Перенесём всё в одну часть и приведём к общему знаменателю: \[\left(\frac{1-x}{x}\right)^{2}-\frac{3x-2}{3x+4}=\frac{(1-x)^2(3x+4)-x^2(3x-2)}{x^2(3x+4)}.\] Раскроем числитель: \[(1-x)^2(3x+4)=(1-2x+x^2)(3x+4)=3x^3-2x^2-5x+4,\] \[x^2(3x-2)=3x^3-2x^2,\] \[(1-x)^2(3x+4)-x^2(3x-2)=\bigl(3x^3-2x^2-5x+4\bigr)-\bigl(3x^3-2x^2\bigr)=4-5x.\] Таким образом, \[\left(\frac{1-x}{x}\right)^{2}-\frac{3x-2}{3x+4}=\frac{4-5x}{x^2(3x+4)}.\] **Знаковый анализ.** В рабочей области \(\dfrac{2}{3}\leqslant x<1$ знаменатель $x^2(3x+4)$ положителен (множитель $x^2>0$, а $3x+4>0$ при $x>-\tfrac43$). Значит, знак выражения совпадает со знаком числителя $4-5x$: \[\frac{4-5x}{x^2(3x+4)}>0\iff 4-5x>0\iff x<\frac{4}{5}.\] **Сбор ответа.** Объединяя строгое неравенство $x<\dfrac{4}{5}$ на интервале $\dfrac230$, поэтому знак и величина дроби полностью определяются знаменателем \[D(x)=3\cos^2 x+2\sin x-1.\] Выразим всё через $\sin x$, используя $\cos^2 x=1-\sin^2 x$: \[D=3(1-\sin^2 x)+2\sin x-1=-3\sin^2 x+2\sin x+2.\] Обозначим $t=\sin x$. При пробегании $x$ по всей области определения функции $t$ принимает **любое** значение из отрезка $[-1,1]$ (и каждое такое значение действительно достигается), поэтому задача сводится к исследованию квадратичной функции \[g(t)=-3t^2+2t+2,\qquad t\in[-1,1].\] **Положительность дроби.** Значение $f=\dfrac{4}{g(t)}$ положительно тогда и только тогда, когда $g(t)>0$. Корни уравнения $g(t)=0$ равны \[t=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3},\] то есть приближённо $t_1\approx-0{,}549$ и $t_2\approx1{,}215$. Так как ветви параболы направлены вниз, $g(t)>0$ на интервале $(t_1,t_2)$; пересечение с допустимым отрезком даёт $t\in[-1,1]\cap(t_1,t_2)=\left(\frac{1-\sqrt7}{3},\,1\right]$ — непустое множество, значит положительные значения у функции есть. **Минимизация положительного значения.** Для $g(t)>0$ дробь $\dfrac{4}{g(t)}$ убывает с ростом $g(t)$: чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби. Поэтому наименьшее положительное значение $f$ достигается там, где $g(t)$ **максимально**. Парабола $g(t)=-3t^2+2t+2$ с отрицательным старшим коэффициентом имеет максимум в вершине \[t_0=-\frac{2}{2\cdot(-3)}=\frac{1}{3}.\] Точка $t_0=\tfrac13$ лежит внутри отрезка $[-1,1]$, поэтому именно она даёт максимум $g$ на этом отрезке. Сравним со значениями на концах: \[g(-1)=-3,\qquad g\!\left(\tfrac13\right)=-3\cdot\tfrac19+\tfrac23+2=-\tfrac13+\tfrac23+2=\frac73,\qquad g(1)=1.\] Наибольшее из них — \[g_{\max}=g\!\left(\tfrac13\right)=\frac{7}{3}>0.\] Это значение достижимо: уравнение $\sin x=\tfrac13$ имеет решения, например $x=\arcsin\tfrac13$. **Ответ.** Наименьшее положительное значение функции равно \[f_{\min}=\frac{4}{g_{\max}}=\frac{4}{7/3}=\frac{12}{7}.\] Итог: $\dfrac{12}{7}$.5e:Te40,Обозначим углы треугольника $ABC$: $\angle B=\angle ABC=\dfrac{\pi}{12}=15^\circ$, пусть $\angle A=\angle BAC=\alpha$ и $\angle C=\angle ACB=\gamma$. Медиана $CD$ проведена из вершины $C$ к середине $D$ стороны $AB$, причём точки $A$, $D$, $B$ лежат на одной прямой и $AD=DB=\dfrac{AB}{2}$. По условию $\angle ACD=\dfrac{5\pi}{12}=75^\circ$ — это угол между медианой $CD$ и стороной $AC$. **Угловое соотношение.** Рассмотрим треугольник $BCD$ с углом $\angle DBC=\angle B=15^\circ$ при вершине $B$. Угол $\angle CDA$ (между $DC$ и лучом $DA$) является внешним углом треугольника $BCD$ при вершине $D$, поэтому он равен сумме двух несмежных внутренних углов: \[\angle CDA=\angle DBC+\angle BCD=15^\circ+\angle BCD.\] В треугольнике $ACD$ сумма углов даёт \[\angle DAC+\angle ACD+\angle ADC=180^\circ,\qquad \alpha+75^\circ+\angle ADC=180^\circ.\] Так как $A$, $D$, $B$ коллинеарны, углы $\angle ADC$ и $\angle CDA$ смежные, значит $\angle ADC=180^\circ-\angle CDA=180^\circ-(15^\circ+\angle BCD)=165^\circ-\angle BCD$. Подставляя, \[\alpha+75^\circ+165^\circ-\angle BCD=180^\circ\ \Longrightarrow\ \angle BCD=\alpha+60^\circ.\] Поскольку медиана $CD$ идёт внутрь угла $C$, весь угол при $C$ разбивается ею на два: $\gamma=\angle ACD+\angle BCD=75^\circ+(\alpha+60^\circ)=135^\circ+\alpha$. Подставляя это в сумму углов треугольника $ABC$: \[\alpha+15^\circ+\gamma=180^\circ\ \Longrightarrow\ \alpha+15^\circ+135^\circ+\alpha=180^\circ\ \Longrightarrow\ 2\alpha=30^\circ\ \Longrightarrow\ \alpha=15^\circ.\] Тогда $\gamma=135^\circ+15^\circ=150^\circ$. Получаем $\angle A=\angle B=15^\circ$, то есть треугольник **равнобедренный** с $AC=BC=5$, а $\angle ACB=150^\circ$. **Отбор по условию $2AC>AB$.** Существует и вторая геометрическая конфигурация (когда медиана при том же значении угла $75^\circ$ даёт другое положение), приводящая к $\gamma=90^\circ$, $\angle A=75^\circ$. В ней по теореме синусов \[AC=BC\cdot\dfrac{\sin\angle B}{\sin\angle A}=5\cdot\dfrac{\sin15^\circ}{\sin75^\circ}\approx1{,}34,\qquad AB=5\cdot\dfrac{\sin90^\circ}{\sin75^\circ}\approx5{,}18,\] и тогда $2AC\approx2{,}68AB$ нарушено, эта конфигурация **отбрасывается**. Для найденного равнобедренного решения \[AB=AC\cdot\dfrac{\sin\angle C}{\sin\angle B}=5\cdot\dfrac{\sin150^\circ}{\sin15^\circ}=\dfrac{2{,}5}{\sin15^\circ}\approx9{,}66,\qquad 2AC=10>AB,\] неравенство выполнено строго. Значит подходит именно треугольник с $\angle C=150^\circ$. **Площадь.** В равнобедренном треугольнике с $CA=CB=5$ и углом между ними $\angle ACB=150^\circ$: \[S=\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot\sin\angle ACB=\frac12\cdot5\cdot5\cdot\sin150^\circ=\frac{25}{2}\cdot\frac12=\frac{25}{4}.\] **Ответ:** $S=\dfrac{25}{4}$.5f:T13a8,Обозначим через $S$ (в метрах) искомое расстояние от леса до тернового куста, а через $v$ — первоначальную скорость зайца. По условию волк всё время бежит со скоростью $v$. **Движение зайца.** Заяц стартует из леса и бежит по прямой к кусту со скоростью $v$. На полпути, то есть пройдя $S/2$ от старта (и оставив до куста те же $S/2$), он напарывается на колючку и продолжает бежать в полтора раза медленнее, то есть со скоростью \[v_{\text{медл}}=\frac{v}{1{,}5}=\frac{2v}{3}.\] **Момент старта волка.** Волк выбегает из того же места в лесу, когда зайцу остаётся до куста $50$ метров, то есть когда заяц находится на расстоянии $S-50$ от старта. От этого момента до прихода зайца к кусту проходит некоторое время $T$; за это время волк со скоростью $v$ пробегает $S-10$ метров (ему остаётся до куста $10$ метров). Значит, \[vT=S-10,\qquad\text{откуда}\qquad T=\frac{S-10}{v}.\] Теперь это же время $T$ выразим через движение зайца на последних $50$ метрах. Здесь важно, прошёл ли заяц точку замедления $S/2$ к моменту старта волка, поэтому разберём два случая. **Случай 1: $S\geqslant 100$.** Тогда $S/2\geqslant 50$, и весь последний участок длиной $50$ метров заяц проходит уже после замедления, со скоростью $\dfrac{2v}{3}$. Время этого участка \[T=\frac{50}{2v/3}=\frac{75}{v}.\] Приравнивая к $T=\dfrac{S-10}{v}$, получаем $75=S-10$, то есть $S=85$. Но это противоречит предположению $S\geqslant 100$, поэтому в данном случае решений нет. **Случай 2: $S<100$.** Тогда $S/2<50$, и в момент старта волка заяц (он в точке $S-50$) ещё не доехал до точки замедления $S/2$, так как $S-500$. Запишем все четыре геометрических условия. **Условие касания прямой $DC_1$ в точке $C_1$.** Касание означает две вещи: точка касания лежит на сфере и радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой. Направляющий вектор прямой $DC_1$ равен \[ \vec{DC_1}=C_1-D=(1,0,1). \] Условие перпендикулярности $\vec{OC_1}\perp\vec{DC_1}$ даёт \[ (O-C_1)\cdot(1,0,1)=0\ \Longleftrightarrow\ (x-1)+(z-1)=0\ \Longleftrightarrow\ x+z=2. \tag{1} \] Условие «$C_1$ на сфере»: \[ (x-1)^2+(y-4)^2+(z-1)^2=r^2. \tag{2} \] **Условие прохождения через $D_1$:** \[ x^2+(y-4)^2+(z-1)^2=r^2. \tag{3} \] Вычитая $(3)$ из $(2)$, получаем $(x-1)^2-x^2=0$, то есть $-2x+1=0$, откуда \[ x=\tfrac12. \] Тогда из $(1)$ сразу $z=2-x=\tfrac32$. (Геометрически это естественно: $C_1$ и $D_1$ лежат на сфере, значит центр равноудалён от них, то есть лежит в плоскости $x=\tfrac12$, а перпендикулярность к $DC_1$ фиксирует $z$.) **Условие касания прямой $DB_1$.** Сфера касается прямой $DB_1$ тогда и только тогда, когда расстояние от центра $O$ до этой прямой равно $r$. Направляющий вектор \[ \vec{DB_1}=B_1-D=(1,-4,1),\qquad |\vec{DB_1}|^2=18. \] Расстояние от $O$ до прямой через $D=(0,4,0)$: \[ \rho^2=\frac{\bigl|(O-D)\times \vec{DB_1}\bigr|^2}{|\vec{DB_1}|^2}=r^2. \tag{4} \] Подставим уже найденные $x=\tfrac12,\ z=\tfrac32$ и неизвестный $y$. Из условия «$D_1$ на сфере» $(3)$ при $x=\tfrac12,\ z=\tfrac32$: \[ r^2=\tfrac14+(y-4)^2+\tfrac14=(y-4)^2+\tfrac12. \tag{3'} \] Вектор $O-D=\bigl(\tfrac12,\,y-4,\,\tfrac32\bigr)$. Векторное произведение с $(1,-4,1)$: \[ (O-D)\times(1,-4,1)=\Bigl((y-4)\cdot1-\tfrac32\cdot(-4),\ \ \tfrac32\cdot1-\tfrac12\cdot1,\ \ \tfrac12\cdot(-4)-(y-4)\cdot1\Bigr). \] Обозначив $u=y-4$, получаем компоненты $(u+6,\ 1,\ -u-2)$, и \[ \bigl|(O-D)\times\vec{DB_1}\bigr|^2=(u+6)^2+1+(u+2)^2=2u^2+16u+41. \] Подставляя в $(4)$: $\dfrac{2u^2+16u+41}{18}=r^2$. С учётом $(3')$ $r^2=u^2+\tfrac12$, значит \[ 2u^2+16u+41=18\Bigl(u^2+\tfrac12\Bigr)=18u^2+9. \] \[ 16u^2-16u-32=0\ \Longleftrightarrow\ u^2-u-2=0\ \Longleftrightarrow\ (u-2)(u+1)=0. \] Итак, $u=2$ либо $u=-1$, то есть $y=6$ или $y=3$. **Отбор корня по условию «точка касания внутри отрезка $DB_1$».** Найдём положение точки касания (основания перпендикуляра из $O$ на прямую $DB_1$) через параметр $t$: точка касания $=D+t\,\vec{DB_1}$, где \[ t=\frac{(O-D)\cdot\vec{DB_1}}{|\vec{DB_1}|^2}=\frac{\tfrac12\cdot1+u\cdot(-4)+\tfrac32\cdot1-?}{18}. \] Точнее, $(O-D)\cdot\vec{DB_1}=\tfrac12-4u+\tfrac32=2-4u$, поэтому $t=\dfrac{2-4u}{18}=\dfrac{1-2u}{9}$. - При $u=2$ (то есть $y=6$): $t=\dfrac{1-4}{9}=-\dfrac13<0$ — точка касания лежит **вне** отрезка, на продолжении за вершину $D$. Этот корень условию не удовлетворяет, отбрасываем. - При $u=-1$ (то есть $y=3$): $t=\dfrac{1+2}{9}=\dfrac13\in(0,1)$ — точка касания лежит **внутри** отрезка $DB_1$. Этот корень подходит. **Итог.** Берём $y=3$, тогда центр $O=\bigl(\tfrac12,\,3,\,\tfrac32\bigr)$, а радиус из $(3')$: \[ r^2=(3-4)^2+\tfrac12=1+\tfrac12=\tfrac32,\qquad r=\sqrt{\tfrac32}=\frac{\sqrt6}{2}. \] **Геометрическая проверка согласованности.** Из внешней точки $D$ к сфере проведены две касательные прямые $DC_1$ и $DB_1$; длины отрезков касательных от $D$ до точек касания должны быть равны. Действительно, $DC_1=|\vec{DC_1}|=\sqrt{1^2+0+1^2}=\sqrt2$, а точка касания на $DB_1$ при $t=\tfrac13$ отстоит от $D$ на $\tfrac13\,|\vec{DB_1}|=\tfrac13\cdot3\sqrt2=\sqrt2$. Обе равны $\sqrt2$ — условие равных касательных выполнено, и точка делит $DB_1$ в отношении $1:2$ от $D$, то есть строго внутри отрезка. **Ответ:** $r=\dfrac{\sqrt6}{2}$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — 2010\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — 2010\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2010\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T04:20:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — 2010\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — 2010-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — 2010"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2010","serverCollection":{"id":"5061ddb5-cf99-4c3a-87aa-55ca59e2a966","name":"Мехмат МГУ — 2010","code":"mehmat-2010","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":null,"session_label":"Письменный экзамен, 2010 год","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2010.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2010},"created_at":"2026-06-10T04:20:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"1cbc106e-baf1-4cfe-b23f-f76bfd8a76fc","collection_id":"5061ddb5-cf99-4c3a-87aa-55ca59e2a966","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"1cbc106e-baf1-4cfe-b23f-f76bfd8a76fc","short_id":18289,"task_number":17,"topic_id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите систему уравнений\n\\[\\begin{cases}3x^y=4^x+8,\\\\ y=\\dfrac{x+1}{\\log_2 x}.\\end{cases}\\]","answer_text":"\$x = 2,\\ y = 3\$","answer":"\$x = 2,\\ y = 3\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":null,"variant_key":"mm2010","year":2010},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","name":"Системы уравнений","description":null},"tags":[{"id":"1561837c-f5e6-4e19-9d89-ecdaba78d70c","code":"tag-19","name":"Показательные уравнения, свойства степени"},{"id":"164a5062-f1e8-49cd-ad14-ee6f3e291522","code":"tag-23","name":"Уравнения рациональные относительно показательных функций"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"}]}},{"problem_id":"60b0c78d-39d6-470b-8f13-fdfe4c451db9","collection_id":"5061ddb5-cf99-4c3a-87aa-55ca59e2a966","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"60b0c78d-39d6-470b-8f13-fdfe4c451db9","short_id":18290,"task_number":16,"topic_id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство\n\\[\\frac{1-x}{x}>\\sqrt{\\frac{3x-2}{3x+4}}.\\]","answer_text":"\$\\left[\\dfrac{2}{3},\\,\\dfrac{4}{5}\\right)\$","answer":"\$\\left[\\dfrac{2}{3},\\,\\dfrac{4}{5}\\right)\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":null,"variant_key":"mm2010","year":2010},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","name":"Иррациональные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"a310e1e9-64c5-40c5-9928-aeb385bdeb13","code":"tag-149","name":"Рациональные неравенства"}]}},{"problem_id":"af230281-d3a2-42ed-91e8-ff6265e47fa8","collection_id":"5061ddb5-cf99-4c3a-87aa-55ca59e2a966","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"af230281-d3a2-42ed-91e8-ff6265e47fa8","short_id":18291,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найдите наименьшее из положительных значений функции\n\\[\\frac{4}{3\\cos^2 x+2\\sin x-1}.\\]","answer_text":"\$\\dfrac{12}{7}\$","answer":"\$\\dfrac{12}{7}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":null,"variant_key":"mm2010","year":2010},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"2a6876b0-df38-4bc8-89a9-d986e627b92a","code":"tag-38","name":"Основное тригонометрическое тождество и его следствия"},{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"39f76dc0-848e-472d-88e1-62a691f44e23","code":"tag-53","name":"Тригонометрические функции, их графики"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"}]}},{"problem_id":"0cf86414-26f6-4612-87bc-cc075a169e49","collection_id":"5061ddb5-cf99-4c3a-87aa-55ca59e2a966","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"0cf86414-26f6-4612-87bc-cc075a169e49","short_id":18292,"task_number":18,"topic_id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найдите площадь треугольника \$ABC\$, если известно, что \$\\angle ABC=\\dfrac{\\pi}{12}\$, \$BC=5\$, \$2AC>AB\$, медиана \$CD\$ образует со стороной \$AC\$ треугольника угол величиной \$\\dfrac{5\\pi}{12}\$.","answer_text":"\$\\dfrac{25}{4}\$","answer":"\$\\dfrac{25}{4}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":null,"variant_key":"mm2010","year":2010},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","name":"Треугольники","description":null},"tags":[{"id":"216e942d-23ac-41e6-9818-1b091baf30c1","code":"tag-30","name":"Синус, косинус, тангенс и котангенс числа"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"d3ec0e69-d667-41d1-ae0a-a79b81adcdd9","code":"tag-200","name":"Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов"}]}},{"problem_id":"db911fba-6073-43e3-afce-3e1e92e30d3c","collection_id":"5061ddb5-cf99-4c3a-87aa-55ca59e2a966","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"db911fba-6073-43e3-afce-3e1e92e30d3c","short_id":18293,"task_number":15,"topic_id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Из лесу выскочил заяц и помчался по прямой в направлении тернового куста. На полпути до куста заяц напоролся на колючку и стал бежать в полтора раза медленнее. Когда зайцу оставалось до куста 50 метров, из лесу (из того же места) выбежал волк и погнался за зайцем. Когда заяц добежал до куста, волку оставалось до него 10 метров. На каком расстоянии от леса находится терновый куст, если известно, что волк всё время бежал со скоростью, с которой первоначально бежал заяц?","answer_text":"\$80\\ \\text{м}\$","answer":"\$80\\ \\text{м}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":null,"variant_key":"mm2010","year":2010},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","name":"Текстовые задачи","description":null},"tags":[{"id":"0947cb7d-1121-40d3-91de-9e7503353a95","code":"tag-8","name":"Задачи на движение по прямой"},{"id":"9e643d2b-7a7f-4452-a41c-b237ce5b1458","code":"tag-140","name":"Разные задачи с прикладным содержанием"}]}},{"problem_id":"ca667261-8d7f-4891-bf6a-9b6f06df56ea","collection_id":"5061ddb5-cf99-4c3a-87aa-55ca59e2a966","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"ca667261-8d7f-4891-bf6a-9b6f06df56ea","short_id":18294,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"В основании параллелепипеда лежит прямоугольник \$ABCD\$ со сторонами \$AB=1\$ и \$BC=4\$, боковые рёбра \$AA_1\$, \$BB_1\$, \$CC_1\$, \$DD_1\$ перпендикулярны основанию и равны 1. Сфера касается прямой \$DC_1\$ в точке \$C_1\$, прямой \$DB_1\$ в точке, лежащей внутри отрезка \$DB_1\$, и проходит через точку \$D_1\$. Найдите радиус сферы.","answer_text":"\$\\dfrac{\\sqrt{6}}{2}\$","answer":"\$\\dfrac{\\sqrt{6}}{2}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":null,"variant_key":"mm2010","year":2010},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"16ed6d76-9afe-45ae-a1ef-59cfaa5ba43d","code":"tag-24","name":"Шар и сфера, их сечения"},{"id":"720324ca-61cd-4043-8f06-78f5c54c5067","code":"tag-105","name":"Координаты вектора, скалярное произведение векторов, угол между векторами"},{"id":"b08fa4e2-4af6-40f5-ad34-408bf3068be7","code":"tag-165","name":"Шар"},{"id":"fc410a00-792e-42cc-97d3-9408df44ef53","code":"tag-241","name":"Прямоугольный параллелепипед"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ