Задача №18289

Решите систему уравнений

$$\{\begin{array}{l}3x^y=4^x+8,\\ y=\frac{x+1}{{\log }_{2}x}.\end{array}$$

Область допустимых значений. Во втором уравнении присутствует ${\log }_{2}x$ в знаменателе, поэтому необходимо $x>0$ и ${\log }_{2}x\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 1\text{.}$ При этих ограничениях степень $x^y$ определена и положительна. Итак, ОДЗ: $x>0,x\ne 1\text{.}$

Преобразование второго уравнения. На ОДЗ равенство

$$y=\frac{x+1}{{\log }_{2}x}$$

равносильно (умножаем на ${\log }_{2}x\ne 0$) равенству $y{\log }_{2}x=x+1\text{.}$ По свойству логарифма $y{\log }_{2}x={\log }_2{x}^y\text{,}$ поэтому

$${\log }_2{x}^y=x+1.$$

Так как функция ${\log }_2$ — биекция положительных чисел, а $x^y>0\text{,}$ это в точности означает

$$x^y=2^{x+1}.$$

Все переходы здесь — равносильные, ни один корень не теряется и не добавляется.

Подстановка в первое уравнение. Подставляя $x^y=2^{x+1}$ в равенство $3x^y=4^x+8\text{,}$ получаем уравнение уже только относительно $x\text{:}$

$$3\cdot 2^{x+1}=4^x+8,\text{то есть}6\cdot 2^x=4^x+8.$$

Обозначим $t=2^x\text{;}$ тогда $t>0$ и $4^x=(2^x{)}^2=t^2\text{.}$ Уравнение принимает вид

$$t^2-6t+8=0⟺(t-2)(t-4)=0,$$

откуда $t=2$ или $t=4\text{.}$

Возврат к $x$ и отбор по ОДЗ.

$$t=2^x=2\Rightarrow x=1;t=2^x=4\Rightarrow x=2.$$

Значение $x=1$ не входит в ОДЗ (при $x=1$ во втором уравнении ${\log }_{2}1=0$ и дробь не определена), поэтому оно посторонне и отбрасывается. Остаётся единственное допустимое значение $x=2\text{.}$

Нахождение $y\text{.}$ При $x=2$ из второго уравнения

$$y=\frac{x+1}{{\log }_{2}x}=\frac{2+1}{{\log }_{2}2}=\frac{3}{1}=3.$$

Проверка. Для пары $(x,y)=(2,3)\text{:}$

$$\text{первое уравнение: }3x^y=3\cdot 2^3=24,4^x+8=4^2+8=16+8=24,$$ $$\text{второе уравнение: }\frac{x+1}{{\log }_{2}x}=\frac{3}{1}=3=y.$$

Оба равенства выполнены, ОДЗ соблюдена.

Ответ: $x=2,y=3\text{.}$