Решите систему уравнений cases3x^y=4^x+8, y=(x+1)/(_2 x).cases

**Область допустимых значений.** Во втором уравнении присутствует _2 x в знаменателе, поэтому необходимо x>0 и _2 x!= 0, то есть x!= 1. При этих ограничениях степень x^y определена и положительна. Итак, ОДЗ: x>0, x!= 1. **Преобразование второго уравнения.** На ОДЗ равенство y=(x+1)/(_2 x) равносильно (умножаем на _2 x!= 0) равенству y_2 x = x+1. По свойству логарифма y_2 x=_2 x^y, поэтому _2 x^y = x+1. Так как функция _2 — биекция положительных чисел, а x^y>0, это в точности означает x^y = 2^(x+1). Все переходы здесь — равносильные, ни один корень не теряется и не добавляется. **Подстановка в первое уравнение.** Подставляя x^y=2^(x+1) в равенство 3x^y=4^x+8, получаем уравнение уже только относительно x: 3* 2^(x+1)=4^x+8, то есть 6* 2^(x)=4^(x)+8. Обозначим t=2^(x); тогда t>0 и 4^(x)=(2^(x))^(2)=t^(2). Уравнение принимает вид t^(2)-6t+8=0 (t-2)(t-4)=0, откуда t=2 или t=4. **Возврат к x и отбор по ОДЗ.** t=2^(x)=2 => x=1; t=2^(x)=4 => x=2. Значение x=1 не входит в ОДЗ (при x=1 во втором уравнении _2 1=0 и дробь не определена), поэтому оно посторонне и отбрасывается. Остаётся единственное допустимое значение x=2. **Нахождение y.** При x=2 из второго уравнения y=(x+1)/(_2 x)=(2+1)/(_2 2)=(3)/(1)=3. **Проверка.** Для пары (x,y)=(2,3): первое уравнение: 3x^y=3* 2^(3)=24, 4^(x)+8=4^(2)+8=16+8=24, второе уравнение: (x+1)/(_2 x)=(3)/(1)=3=y. Оба равенства выполнены, ОДЗ соблюдена. **Ответ:** x=2, y=3.

\(x = 2,\ y = 3\)