Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что ABC=(pi)/(12), BC=5, 2AC>AB, медиана CD образует со стороной AC треугольника угол величиной (5pi)/(12).

Обозначим углы треугольника ABC: B= ABC=(pi)/(12)=15^, пусть A= BAC=alpha и C= ACB=gamma. Медиана CD проведена из вершины C к середине D стороны AB, причём точки A, D, B лежат на одной прямой и AD=DB=(AB)/(2). По условию ACD=(5pi)/(12)=75^ — это угол между медианой CD и стороной AC. **Угловое соотношение.** Рассмотрим треугольник BCD с углом DBC= B=15^ при вершине B. Угол CDA (между DC и лучом DA) является внешним углом треугольника BCD при вершине D, поэтому он равен сумме двух несмежных внутренних углов: CDA= DBC+ BCD=15^+ BCD. В треугольнике ACD сумма углов даёт DAC+ ACD+ ADC=180^, alpha+75^+ ADC=180^. Так как A, D, B коллинеарны, углы ADC и CDA смежные, значит ADC=180^- CDA=180^-(15^+ BCD)=165^- BCD. Подставляя, alpha+75^+165^- BCD=180^ BCD=alpha+60^. Поскольку медиана CD идёт внутрь угла C, весь угол при C разбивается ею на два: gamma= ACD+ BCD=75^+(alpha+60^)=135^+alpha. Подставляя это в сумму углов треугольника ABC: alpha+15^+gamma=180^ alpha+15^+135^+alpha=180^ 2alpha=30^ alpha=15^. Тогда gamma=135^+15^=150^. Получаем A= B=15^, то есть треугольник **равнобедренный** с AC=BC=5, а ACB=150^. **Отбор по условию 2AC>AB.** Существует и вторая геометрическая конфигурация (когда медиана при том же значении угла 75^ даёт другое положение), приводящая к gamma=90^, A=75^. В ней по теореме синусов AC=BC*(sin B)/(sin A)=5*(15^)/(75^)~1,34, AB=5*(90^)/(75^)~5,18, и тогда 2AC~2,68<AB — условие 2AC>AB нарушено, эта конфигурация **отбрасывается**. Для найденного равнобедренного решения AB=AC*(sin C)/(sin B)=5*(150^)/(15^)=(2,5)/(15^)~9,66, 2AC=10>AB, неравенство выполнено строго. Значит подходит именно треугольник с C=150^. **Площадь.** В равнобедренном треугольнике с CA=CB=5 и углом между ними ACB=150^: S=12* CA* CB*sin ACB=12*5*5*150^=(25)/(2)*12=(25)/(4). **Ответ:** S=(25)/(4).

\(\dfrac{25}{4}\)