Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что ∠ABC=12π, BC=5, 2AC>AB, медиана CD образует со стороной AC треугольника угол величиной 125π.
Обозначим углы треугольника ABC: ∠B=∠ABC=12π=15∘, пусть ∠A=∠BAC=α и ∠C=∠ACB=γ. Медиана CD проведена из вершины C к середине D стороны AB, причём точки A, D, B лежат на одной прямой и AD=DB=2AB. По условию ∠ACD=125π=75∘ — это угол между медианой CD и стороной AC.
Угловое соотношение. Рассмотрим треугольник BCD с углом ∠DBC=∠B=15∘ при вершине B. Угол ∠CDA (между DC и лучом DA) является внешним углом треугольника BCD при вершине D, поэтому он равен сумме двух несмежных внутренних углов:
∠CDA=∠DBC+∠BCD=15∘+∠BCD.В треугольнике ACD сумма углов даёт
∠DAC+∠ACD+∠ADC=180∘,α+75∘+∠ADC=180∘.Так как A, D, B коллинеарны, углы ∠ADC и ∠CDA смежные, значит ∠ADC=180∘−∠CDA=180∘−(15∘+∠BCD)=165∘−∠BCD. Подставляя,
α+75∘+165∘−∠BCD=180∘ ⟹ ∠BCD=α+60∘.Поскольку медиана CD идёт внутрь угла C, весь угол при C разбивается ею на два: γ=∠ACD+∠BCD=75∘+(α+60∘)=135∘+α. Подставляя это в сумму углов треугольника ABC:
α+15∘+γ=180∘ ⟹ α+15∘+135∘+α=180∘ ⟹ 2α=30∘ ⟹ α=15∘.Тогда γ=135∘+15∘=150∘. Получаем ∠A=∠B=15∘, то есть треугольник равнобедренный с AC=BC=5, а ∠ACB=150∘.
Отбор по условию 2AC>AB. Существует и вторая геометрическая конфигурация (когда медиана при том же значении угла 75∘ даёт другое положение), приводящая к γ=90∘, ∠A=75∘. В ней по теореме синусов
AC=BC⋅sin∠Asin∠B=5⋅sin75∘sin15∘≈1,34,AB=5⋅sin75∘sin90∘≈5,18,и тогда 2AC≈2,68<AB — условие 2AC>AB нарушено, эта конфигурация отбрасывается. Для найденного равнобедренного решения
AB=AC⋅sin∠Bsin∠C=5⋅sin15∘sin150∘=sin15∘2,5≈9,66,2AC=10>AB,неравенство выполнено строго. Значит подходит именно треугольник с ∠C=150∘.
Площадь. В равнобедренном треугольнике с CA=CB=5 и углом между ними ∠ACB=150∘:
S=21⋅CA⋅CB⋅sin∠ACB=21⋅5⋅5⋅sin150∘=225⋅21=425.Ответ: S=425.