Решите неравенство (1-x)/(x)>sqrt((3x-2)/(3x+4)).

Решаем неравенство (1-x)/(x)>sqrt((3x-2)/(3x+4)). **Область допустимых значений.** Корень в правой части определён, когда подкоренное выражение неотрицательно, и одновременно x!= 0: (3x-2)/(3x+4) 0, x!= 0. Дробь (3x-2)/(3x+4) неотрицательна там, где числитель и знаменатель одного знака. Нули числителя и знаменателя — точки x=(2)/(3) и x=-(4)/(3). Метод интервалов даёт | интервал | (-inf,-43) | (-43,23) | (23,+inf) | |---|---|---|---| | знак (3x-2)/(3x+4) | + | - | + | Значит, (3x-2)/(3x+4) 0 при x-(4)/(3) или x(2)/(3) (в точке x=-43 знаменатель обращается в нуль, поэтому она исключается; точка x=23 допустима). **Знак левой части.** Правая часть неотрицательна как арифметический квадратный корень: sqrt((3x-2)/(3x+4)) 0. Поэтому неравенство может выполняться лишь там, где левая часть положительна: (1-x)/(x)>0 0<x<1. Пересекая это с условием ОДЗ (x-43 или x23), получаем рабочую область (2)/(3) x<1. Ветвь x-43 отпадает, так как там x<0 и левая часть отрицательна. **Возведение в квадрат.** На полученной области обе части неотрицательны (левая строго положительна при x<1, правая неотрицательна), поэтому возведение в квадрат равносильно. Отдельно отметим точку x=(2)/(3): там правая часть равна sqrt(0)=0, а левая равна (1-2/3)/(2/3)=(1)/(2)>0, так что неравенство 12>0 выполнено и точка x=23 входит в ответ. На интервале (2)/(3)<x<1 обе части строго положительны, и неравенство равносильно ((1-x)/(x))^(2)>(3x-2)/(3x+4). Перенесём всё в одну часть и приведём к общему знаменателю: ((1-x)/(x))^(2)-(3x-2)/(3x+4)=((1-x)^2(3x+4)-x^2(3x-2))/(x^2(3x+4)). Раскроем числитель: (1-x)^2(3x+4)=(1-2x+x^2)(3x+4)=3x^3-2x^2-5x+4, x^2(3x-2)=3x^3-2x^2, (1-x)^2(3x+4)-x^2(3x-2)=(3x^3-2x^2-5x+4)-(3x^3-2x^2)=4-5x. Таким образом, ((1-x)/(x))^(2)-(3x-2)/(3x+4)=(4-5x)/(x^2(3x+4)). **Знаковый анализ.** В рабочей области (2)/(3) x<1 знаменатель x^2(3x+4) положителен (множитель x^2>0, а 3x+4>0 при x>-43). Значит, знак выражения совпадает со знаком числителя 4-5x: (4-5x)/(x^2(3x+4))>0 4-5x>0 x<(4)/(5). **Сбор ответа.** Объединяя строгое неравенство x<(4)/(5) на интервале 23<x<1 с уже проверенной включённой точкой x=23, получаем (2)/(3) x<(4)/(5). В граничной точке x=(4)/(5) достигается равенство левой и правой частей (числитель 4-5x обращается в нуль), поэтому она в строгое неравенство не входит. **Ответ:** [(2)/(3),(4)/(5)).

\(\left[\dfrac{2}{3},\,\dfrac{4}{5}\right)\)