Задача №18290

Решите неравенство

$$\frac{1-x}{x}>\sqrt{\frac{3x-2}{3x+4}}.$$

Решаем неравенство

$$\frac{1-x}{x}>\sqrt{\frac{3x-2}{3x+4}}.$$

Область допустимых значений. Корень в правой части определён, когда подкоренное выражение неотрицательно, и одновременно $x\ne 0\text{:}$

$$\frac{3x-2}{3x+4}⩾0,x\ne 0.$$

Дробь $\frac{3x-2}{3x+4}$ неотрицательна там, где числитель и знаменатель одного знака. Нули числителя и знаменателя — точки $x=\frac{2}{3}$ и $x=-\frac{4}{3}\text{.}$ Метод интервалов даёт

Значит, $\frac{3x-2}{3x+4}⩾0$ при $x⩽-\frac{4}{3}$ или $x⩾\frac{2}{3}$ (в точке $x=-\frac{4}{3}$ знаменатель обращается в нуль, поэтому она исключается; точка $x=\frac{2}{3}$ допустима).

Знак левой части. Правая часть неотрицательна как арифметический квадратный корень: $\sqrt{\frac{3x-2}{3x+4}}⩾0\text{.}$ Поэтому неравенство может выполняться лишь там, где левая часть положительна:

$$\frac{1-x}{x}>0⟺0<x<1.$$

Пересекая это с условием ОДЗ $(x⩽-\frac{4}{3}\text{или}x⩾\frac{2}{3})\text{,}$ получаем рабочую область

$$\frac{2}{3}⩽x<1.$$

Ветвь $x⩽-\frac{4}{3}$ отпадает, так как там $x<0$ и левая часть отрицательна.

Возведение в квадрат. На полученной области обе части неотрицательны (левая строго положительна при $x<1\text{,}$ правая неотрицательна), поэтому возведение в квадрат равносильно. Отдельно отметим точку $x=\frac{2}{3}\text{:}$ там правая часть равна $\sqrt{0}=0\text{,}$ а левая равна $\frac{1-2/3}{2/3}=\frac{1}{2}>0\text{,}$ так что неравенство $\frac{1}{2}>0$ выполнено и точка $x=\frac{2}{3}$ входит в ответ.

На интервале $\frac{2}{3}<x<1$ обе части строго положительны, и неравенство равносильно

$${\left(\frac{1-x}{x}\right)}^2>\frac{3x-2}{3x+4}.$$

Перенесём всё в одну часть и приведём к общему знаменателю:

$${\left(\frac{1-x}{x}\right)}^2-\frac{3x-2}{3x+4}=\frac{(1-x{)}^2(3x+4)-x^2(3x-2)}{x^2(3x+4)}.$$

Раскроем числитель:

$$(1-x{)}^2(3x+4)=(1-2x+x^2)(3x+4)=3x^3-2x^2-5x+4,$$ $$x^2(3x-2)=3x^3-2x^2,$$ $$(1-x{)}^2(3x+4)-x^2(3x-2)=(3x^3-2x^2-5x+4)-(3x^3-2x^2)=4-5x.$$

Таким образом,

$${\left(\frac{1-x}{x}\right)}^2-\frac{3x-2}{3x+4}=\frac{4-5x}{x^2(3x+4)}.$$

Знаковый анализ. В рабочей области $\frac{2}{3}⩽x<1$ знаменатель $x^2(3x+4)$ положителен (множитель $x^2>0\text{,}$ а $3x+4>0$ при $x>-\frac{4}{3}$). Значит, знак выражения совпадает со знаком числителя $4-5x\text{:}$

$$\frac{4-5x}{x^2(3x+4)}>0⟺4-5x>0⟺x<\frac{4}{5}.$$

Сбор ответа. Объединяя строгое неравенство $x<\frac{4}{5}$ на интервале $\frac{2}{3}<x<1$ с уже проверенной включённой точкой $x=\frac{2}{3}\text{,}$ получаем

$$\frac{2}{3}⩽x<\frac{4}{5}.$$

В граничной точке $x=\frac{4}{5}$ достигается равенство левой и правой частей (числитель $4-5x$ обращается в нуль), поэтому она в строгое неравенство не входит.

Ответ: $\left[\frac{2}{3},\frac{4}{5}\right)\text{.}$