В основании параллелепипеда лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=1 и BC=4, боковые рёбра AA_1, BB_1, CC_1, DD_1 перпендикулярны основанию и равны 1. Сфера касается прямой DC_1 в точке C_1, прямой DB_1 в точке, лежащей внутри отрезка DB_1, и проходит через точку D_1. Найдите радиус сферы.

**Введём координаты.** Так как параллелепипед прямой (боковые рёбра перпендикулярны основанию) и в основании лежит прямоугольник, удобно работать в декартовой системе. Положим A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,4,0), D=(0,4,0), тогда AB=1, BC=4 — как в условии. Высота параллелепипеда равна 1, поэтому верхние вершины получаются сдвигом на вектор (0,0,1): A_1=(0,0,1), B_1=(1,0,1), C_1=(1,4,1), D_1=(0,4,1). Обозначим центр искомой сферы O=(x,y,z), радиус r>0. Запишем все четыре геометрических условия. **Условие касания прямой DC_1 в точке C_1.** Касание означает две вещи: точка касания лежит на сфере и радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой. Направляющий вектор прямой DC_1 равен DC_1=C_1-D=(1,0,1). Условие перпендикулярности OC_1_1 даёт (O-C_1)*(1,0,1)=0 (x-1)+(z-1)=0 x+z=2. 1 Условие «C_1 на сфере»: (x-1)^2+(y-4)^2+(z-1)^2=r^2. 2 **Условие прохождения через D_1:** x^2+(y-4)^2+(z-1)^2=r^2. 3 Вычитая (3) из (2), получаем (x-1)^2-x^2=0, то есть -2x+1=0, откуда x=12. Тогда из (1) сразу z=2-x=32. (Геометрически это естественно: C_1 и D_1 лежат на сфере, значит центр равноудалён от них, то есть лежит в плоскости x=12, а перпендикулярность к DC_1 фиксирует z.) **Условие касания прямой DB_1.** Сфера касается прямой DB_1 тогда и только тогда, когда расстояние от центра O до этой прямой равно r. Направляющий вектор DB_1=B_1-D=(1,-4,1), |DB_1|^2=18. Расстояние от O до прямой через D=(0,4,0): ^2=(|(O-D)* DB_1|^2)/(|DB_1|^2)=r^2. 4 Подставим уже найденные x=12, z=32 и неизвестный y. Из условия «D_1 на сфере» (3) при x=12, z=32: r^2=14+(y-4)^2+14=(y-4)^2+12. 3' Вектор O-D=(12,y-4,32). Векторное произведение с (1,-4,1): (O-D)*(1,-4,1)=((y-4)*1-32*(-4), 32*1-12*1, 12*(-4)-(y-4)*1). Обозначив u=y-4, получаем компоненты (u+6, 1, -u-2), и |(O-D)*DB_1|^2=(u+6)^2+1+(u+2)^2=2u^2+16u+41. Подставляя в (4): (2u^2+16u+41)/(18)=r^2. С учётом (3') r^2=u^2+12, значит 2u^2+16u+41=18(u^2+12)=18u^2+9. 16u^2-16u-32=0 u^2-u-2=0 (u-2)(u+1)=0. Итак, u=2 либо u=-1, то есть y=6 или y=3. **Отбор корня по условию «точка касания внутри отрезка DB_1».** Найдём положение точки касания (основания перпендикуляра из O на прямую DB_1) через параметр t: точка касания =D+tDB_1, где t=((O-D)*DB_1)/(|DB_1|^2)=(12*1+u*(-4)+32*1-?)/(18). Точнее, (O-D)*DB_1=12-4u+32=2-4u, поэтому t=(2-4u)/(18)=(1-2u)/(9). - При u=2 (то есть y=6): t=(1-4)/(9)=-13<0 — точка касания лежит **вне** отрезка, на продолжении за вершину D. Этот корень условию не удовлетворяет, отбрасываем. - При u=-1 (то есть y=3): t=(1+2)/(9)=13in(0,1) — точка касания лежит **внутри** отрезка DB_1. Этот корень подходит. **Итог.** Берём y=3, тогда центр O=(12,3,32), а радиус из (3'): r^2=(3-4)^2+12=1+12=32, r=sqrt(32)=(6)/(2). **Геометрическая проверка согласованности.** Из внешней точки D к сфере проведены две касательные прямые DC_1 и DB_1; длины отрезков касательных от D до точек касания должны быть равны. Действительно, DC_1=|DC_1|=sqrt(1^2+0+1^2)=2, а точка касания на DB_1 при t=13 отстоит от D на 13|DB_1|=13*32=2. Обе равны 2 — условие равных касательных выполнено, и точка делит DB_1 в отношении 1:2 от D, то есть строго внутри отрезка. **Ответ:** r=(6)/(2).

\(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)