Найдите наименьшее из положительных значений функции (4)/(3cos^2 x+2sin x-1).

Требуется найти наименьшее из **положительных** значений функции f(x)=(4)/(3cos^2 x+2sin x-1). **Сведение к одной переменной.** Числитель равен 4>0, поэтому знак и величина дроби полностью определяются знаменателем D(x)=3cos^2 x+2sin x-1. Выразим всё через sin x, используя cos^2 x=1-sin^2 x: D=3(1-sin^2 x)+2sin x-1=-3sin^2 x+2sin x+2. Обозначим t=sin x. При пробегании x по всей области определения функции t принимает **любое** значение из отрезка [-1,1] (и каждое такое значение действительно достигается), поэтому задача сводится к исследованию квадратичной функции g(t)=-3t^2+2t+2, tin[-1,1]. **Положительность дроби.** Значение f=(4)/(g(t)) положительно тогда и только тогда, когда g(t)>0. Корни уравнения g(t)=0 равны t=(1+-sqrt(7))/(3), то есть приближённо t_1~-0,549 и t_2~1,215. Так как ветви параболы направлены вниз, g(t)>0 на интервале (t_1,t_2); пересечение с допустимым отрезком даёт tin[-1,1]n(t_1,t_2)=((1-7)/(3),1] — непустое множество, значит положительные значения у функции есть. **Минимизация положительного значения.** Для g(t)>0 дробь (4)/(g(t)) убывает с ростом g(t): чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби. Поэтому наименьшее положительное значение f достигается там, где g(t) **максимально**. Парабола g(t)=-3t^2+2t+2 с отрицательным старшим коэффициентом имеет максимум в вершине t_0=-(2)/(2*(-3))=(1)/(3). Точка t_0=13 лежит внутри отрезка [-1,1], поэтому именно она даёт максимум g на этом отрезке. Сравним со значениями на концах: g(-1)=-3, g(13)=-3*19+23+2=-13+23+2=73, g(1)=1. Наибольшее из них — g_()=g(13)=(7)/(3)>0. Это значение достижимо: уравнение sin x=13 имеет решения, например x=arcsin13. **Ответ.** Наименьшее положительное значение функции равно f_()=(4)/(g_())=(4)/(7/3)=(12)/(7). Итог: (12)/(7).

\(\dfrac{12}{7}\)