Задача №18291

Найдите наименьшее из положительных значений функции

$$\frac{4}{3{\cos }^{2}x+2\sin x-1}.$$

Требуется найти наименьшее из положительных значений функции

$$f(x)=\frac{4}{3{\cos }^{2}x+2\sin x-1}.$$

Сведение к одной переменной. Числитель равен $4>0\text{,}$ поэтому знак и величина дроби полностью определяются знаменателем

$$D(x)=3{\cos }^{2}x+2\sin x-1.$$

Выразим всё через $\sin x\text{,}$ используя ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x\text{:}$

$$D=3(1-{\sin }^{2}x)+2\sin x-1=-3{\sin }^{2}x+2\sin x+2.$$

Обозначим $t=\sin x\text{.}$ При пробегании $x$ по всей области определения функции $t$ принимает любое значение из отрезка $[-1,1]$ (и каждое такое значение действительно достигается), поэтому задача сводится к исследованию квадратичной функции

$$g(t)=-3t^2+2t+2,t\in [-1,1].$$

Положительность дроби. Значение $f=\frac{4}{g(t)}$ положительно тогда и только тогда, когда $g(t)>0\text{.}$ Корни уравнения $g(t)=0$ равны

$$t=\frac{1\pm \sqrt{7}}{3},$$

то есть приближённо $t_1\approx -0,549$ и $t_2\approx 1,215\text{.}$ Так как ветви параболы направлены вниз, $g(t)>0$ на интервале $(t_1,t_2)\text{;}$ пересечение с допустимым отрезком даёт $t\in [-1,1]\cap (t_1,t_2)=\left(\frac{1-\sqrt{7}}{3},1\right]$ — непустое множество, значит положительные значения у функции есть.

Минимизация положительного значения. Для $g(t)>0$ дробь $\frac{4}{g(t)}$ убывает с ростом $g(t)\text{:}$ чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби. Поэтому наименьшее положительное значение $f$ достигается там, где $g(t)$ максимально.

Парабола $g(t)=-3t^2+2t+2$ с отрицательным старшим коэффициентом имеет максимум в вершине

$$t_0=-\frac{2}{2\cdot (-3)}=\frac{1}{3}.$$

Точка $t_0=\frac{1}{3}$ лежит внутри отрезка $[-1,1]\text{,}$ поэтому именно она даёт максимум $g$ на этом отрезке. Сравним со значениями на концах:

$$g(-1)=-3,g\left(\frac{1}{3}\right)=-3\cdot \frac{1}{9}+\frac{2}{3}+2=-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+2=\frac{7}{3},g(1)=1.$$

Наибольшее из них —

$$g_{\max }=g\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{7}{3}>0.$$

Это значение достижимо: уравнение $\sin x=\frac{1}{3}$ имеет решения, например $x=\arcsin \frac{1}{3}\text{.}$

Ответ. Наименьшее положительное значение функции равно

$$f_{\min }=\frac{4}{g_{\max }}=\frac{4}{7/3}=\frac{12}{7}.$$

Итог: $\frac{12}{7}\text{.}$