Из лесу выскочил заяц и помчался по прямой в направлении тернового куста. На полпути до куста заяц напоролся на колючку и стал бежать в полтора раза медленнее. Когда зайцу оставалось до куста 50 метров, из лесу (из того же места) выбежал волк и погнался за зайцем. Когда заяц добежал до куста, волку оставалось до него 10 метров. На каком расстоянии от леса находится терновый куст, если известно, что волк всё время бежал со скоростью, с которой первоначально бежал заяц?

Обозначим через S (в метрах) искомое расстояние от леса до тернового куста, а через v — первоначальную скорость зайца. По условию волк всё время бежит со скоростью v. **Движение зайца.** Заяц стартует из леса и бежит по прямой к кусту со скоростью v. На полпути, то есть пройдя S/2 от старта (и оставив до куста те же S/2), он напарывается на колючку и продолжает бежать в полтора раза медленнее, то есть со скоростью v_(медл)=(v)/(1,5)=(2v)/(3). **Момент старта волка.** Волк выбегает из того же места в лесу, когда зайцу остаётся до куста 50 метров, то есть когда заяц находится на расстоянии S-50 от старта. От этого момента до прихода зайца к кусту проходит некоторое время T; за это время волк со скоростью v пробегает S-10 метров (ему остаётся до куста 10 метров). Значит, vT=S-10, откуда T=(S-10)/(v). Теперь это же время T выразим через движение зайца на последних 50 метрах. Здесь важно, прошёл ли заяц точку замедления S/2 к моменту старта волка, поэтому разберём два случая. **Случай 1: S 100.** Тогда S/2 50, и весь последний участок длиной 50 метров заяц проходит уже после замедления, со скоростью (2v)/(3). Время этого участка T=(50)/(2v/3)=(75)/(v). Приравнивая к T=(S-10)/(v), получаем 75=S-10, то есть S=85. Но это противоречит предположению S 100, поэтому в данном случае решений нет. **Случай 2: S<100.** Тогда S/2<50, и в момент старта волка заяц (он в точке S-50) ещё не доехал до точки замедления S/2, так как S-50<S/2 при S<100. Поэтому последние 50 метров разбиваются на два участка: - от точки S-50 до точки замедления S/2 заяц бежит с быстрой скоростью v; длина этого участка (S)/(2)-(S-50)=50-(S)/(2); - от точки S/2 до куста заяц бежит с медленной скоростью (2v)/(3); длина этого участка (S)/(2). Суммарное время прохождения последних 50 метров: T=(50-(S)/(2))/(v)+((S)/(2))/((2v)/(3))=(50-(S)/(2))/(v)+(3S)/(4v)=(1)/(v)(50-(S)/(2)+(3S)/(4))=(1)/(v)(50+(S)/(4)). Приравниваем к выражению через волка T=(S-10)/(v). Множитель 1v сокращается: 50+(S)/(4)=S-10. Отсюда 60=S-(S)/(4)=(3S)/(4), S=80. Проверяем условие случая: S=80<100 — выполнено, значит решение допустимо. (Заметим попутно, что S-50=30<S/2=40, то есть в момент старта волка заяц действительно ещё на быстром участке — предположение случая 2 подтверждается.) **Проверка.** Возьмём S=80, для удобства v=3 (тогда медленная скорость (2v)/(3)=2). Замедление происходит в точке 40. Когда зайцу остаётся 50 метров, он в точке 30; отсюда он бежит 10 метров с быстрой скоростью 3 (время 10/3) и затем 40 метров с медленной скоростью 2 (время 20). Итого T=(10)/(3)+20=(70)/(3) единиц времени. За это время волк со скоростью v=3 пробегает 3*(70)/(3)=70 метров, и ему остаётся до куста 80-70=10 метров — ровно как в условии. **Ответ:** терновый куст находится на расстоянии 80 метров от леса.

\(80\ \text{м}\)