58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tdfb,Обозначим задуманное учителем натуральное число через $ N $. Поскольку под логарифмами должно стоять положительное число, а основания $ 3 $ и $ 75 $ положительны и отличны от единицы, выражения $ \log_3 N $ и $ \log_{75} N $ определены при любом натуральном $ N $. Учитель просил найти **сумму** логарифмов, то есть верный ответ равен \[ S=\log_3 N+\log_{75} N. \] Петя по ошибке **перемножил** логарифмы и получил \[ P=\log_3 N\cdot\log_{75} N. \] По условию неверный ответ Пети оказался вдвое меньше верного, то есть \[ P=\frac{1}{2}\,S. \] Перейдём к натуральным логарифмам. Положим для краткости $ t=\ln N $. По формуле перехода к новому основанию \[ \log_3 N=\frac{\ln N}{\ln 3}=\frac{t}{\ln 3},\qquad \log_{75} N=\frac{\ln N}{\ln 75}=\frac{t}{\ln 75}. \] Тогда \[ S=t\left(\frac{1}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 75}\right)=t\cdot\frac{\ln 75+\ln 3}{\ln 3\,\ln 75},\qquad P=\frac{t^2}{\ln 3\,\ln 75}. \] Подставим эти выражения в равенство $ P=\dfrac{1}{2}S $: \[ \frac{t^2}{\ln 3\,\ln 75}=\frac{1}{2}\cdot t\cdot\frac{\ln 75+\ln 3}{\ln 3\,\ln 75}. \] Умножая обе части на $ \ln 3\,\ln 75>0 $, получаем \[ t^2=\frac{t}{2}\,(\ln 75+\ln 3), \] то есть \[ t\left(t-\frac{\ln 75+\ln 3}{2}\right)=0. \] Отсюда либо $ t=\ln N=0 $, либо $ t=\dfrac{\ln 75+\ln 3}{2} $. Случай $ t=0 $ отвечает $ N=1 $. При этом оба логарифма равны нулю, так что и сумма, и произведение равны нулю; «вдвое меньшего» в этом случае не возникает (равенство $ 0=\tfrac12\cdot 0 $ не отражает условия о неверном ответе, отличающемся от верного ровно вдвое). Поэтому это решение посторонне и отбрасывается. Остаётся \[ \ln N=\frac{\ln 75+\ln 3}{2}=\frac{\ln(75\cdot 3)}{2}=\frac{\ln 225}{2}=\ln\sqrt{225}=\ln 15, \] откуда \[ N=15. \] Число $ 15 $ натуральное, что соответствует условию. **Проверка.** При $ N=15 $ имеем $ \log_3 15+\log_{75}15\approx 2{,}4650+0{,}6272=3{,}0922 $ (верный ответ) и $ \log_3 15\cdot\log_{75}15\approx 2{,}4650\cdot 0{,}6272=1{,}5461 $ (ответ Пети). Действительно, $ 1{,}5461=\dfrac{3{,}0922}{2} $, то есть произведение ровно вдвое меньше суммы. Можно убедиться в этом и точно. Так как $ 15^2=225=75\cdot 3 $, то $ \log_3 15+\log_{75}15=\log_3 15+\dfrac{1}{2}\log_{75}225=\log_3 15+\dfrac{1}{2}\bigl(\log_{75}75+\log_{75}3\bigr) $; удобнее заметить, что из $ N^2=75\cdot 3 $ следует $ 2\log_3 N=\log_3(75\cdot 3)=\log_3 75+1 $ и $ 2\log_{75}N=1+\log_{75}3 $. Перемножая равенства $ \ln N=\tfrac12(\ln 75+\ln 3) $, как и было получено выше, приходим точно к $ P=\tfrac12 S $. **Ответ:** учитель назвал число $ \boxed{15} $.5c:T1238,Графики функций \[f(x)=2x^2-2x-1,\qquad g(x)=-5x^2+2x+3\] пересекаются в точках, у которых абсциссы являются корнями уравнения $f(x)=g(x)$. Перенесём всё в одну часть: \[2x^2-2x-1=-5x^2+2x+3\iff 7x^2-4x-4=0.\] Дискриминант этого уравнения равен $D=(-4)^2-4\cdot 7\cdot(-4)=16+112=128>0$, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня $x_1\neq x_2$; им и отвечают две точки пересечения парабол (что согласуется с условием). Обозначим эти точки $M_1(x_1,y_1)$ и $M_2(x_2,y_2)$, где $y_i=f(x_i)=g(x_i)$. Искомая прямая $y=ax+b$ проходит через $M_1$ и $M_2$. Чтобы найти её, удобно не вычислять сами корни (они иррациональны), а воспользоваться тем, что в точках пересечения значения обеих функций совпадают. **Идея.** Рассмотрим линейную комбинацию $\lambda f(x)+\mu g(x)$ с числовыми коэффициентами $\lambda,\mu$. В каждой из точек пересечения $f(x_i)=g(x_i)=y_i$, поэтому \[\lambda f(x_i)+\mu g(x_i)=(\lambda+\mu)\,y_i.\] Если взять $\lambda+\mu=1$, то комбинация $\lambda f(x)+\mu g(x)$ в обеих точках пересечения принимает в точности значение $y_i$, то есть проходит через $M_1$ и $M_2$. Подберём при этом $\lambda,\mu$ так, чтобы у комбинации пропал квадратичный член — тогда она окажется линейной функцией, а линейная функция, проходящая через две данные точки, и есть искомая прямая. **Подбор коэффициентов.** Старший коэффициент комбинации равен $2\lambda-5\mu$. Приравняем его к нулю вместе с условием нормировки: \[\begin{cases}2\lambda-5\mu=0,\\ \lambda+\mu=1.\end{cases}\] Из первого уравнения $\lambda=\dfrac{5}{2}\mu$; подставляя во второе, получаем $\dfrac{5}{2}\mu+\mu=1$, то есть $\dfrac{7}{2}\mu=1$, откуда $\mu=\dfrac{2}{7}$ и $\lambda=\dfrac{5}{7}$. Удобно работать с пропорциональной комбинацией $5f(x)+2g(x)$ (она получается умножением на $7$ и потому отличается от $\lambda f+\mu g$ множителем $7$). Прямо вычислим её, складывая коэффициенты при одинаковых степенях: - при $x^2$: $5\cdot 2+2\cdot(-5)=10-10=0$; - при $x$: $5\cdot(-2)+2\cdot 2=-10+4=-6$; - свободный член: $5\cdot(-1)+2\cdot 3=-5+6=1$. Значит, \[5f(x)+2g(x)=-6x+1.\] Возвращаясь к нормированной комбинации с $\lambda+\mu=1$, делим на $7$: \[\frac{5}{7}f(x)+\frac{2}{7}g(x)=\frac{-6x+1}{7}=-\frac{6}{7}x+\frac{1}{7}.\] **Вывод уравнения прямой.** В каждой точке пересечения $f(x_i)=g(x_i)=y_i$, поэтому \[y_i=\frac{5}{7}f(x_i)+\frac{2}{7}g(x_i)=-\frac{6}{7}x_i+\frac{1}{7},\qquad i=1,2.\] Таким образом, обе точки $M_1$ и $M_2$ лежат на прямой \[y=-\frac{6}{7}x+\frac{1}{7}.\] Так как через две различные точки проходит ровно одна прямая, именно она и является искомой. Следовательно, \[a=-\frac{6}{7},\qquad b=\frac{1}{7}.\] **Проверка.** Корни уравнения $7x^2-4x-4=0$ равны $x_{1,2}=\dfrac{2\pm 4\sqrt2}{7}$. Подставляя их, например, в $f$, получаем точки пересечения $\left(\dfrac{2}{7}\pm\dfrac{4\sqrt2}{7},\ -\dfrac{5}{49}\pm\dfrac{24\sqrt2}{49}\right)$, и непосредственная подстановка показывает, что значение $-\dfrac{6}{7}x_i+\dfrac{1}{7}$ совпадает с ординатой $y_i$ (разность равна нулю в обеих точках). Ответ: $y=-\dfrac{6}{7}x+\dfrac{1}{7}$, то есть $a=-\dfrac{6}{7}$, $b=\dfrac{1}{7}$.5d:T19ba,Требуется решить уравнение \[ 3\cos x\cdot|3\sin x+\cos x|=\sin x\cdot|\cos x-3\sin x|. \] Область определения — вся числовая прямая: ни знаменателей, ни корней чётной степени, ни логарифмов здесь нет. **Период уравнения.** Заменим $ x $ на $ x+\pi $. Тогда $ \cos(x+\pi)=-\cos x $, $ \sin(x+\pi)=-\sin x $, а выражения под модулями $ 3\sin x+\cos x $ и $ \cos x-3\sin x $ лишь меняют знак, поэтому их модули не меняются. Левая часть переходит в $ 3(-\cos x)\,|{-}(3\sin x+\cos x)|=-3\cos x\,|3\sin x+\cos x| $, правая — в $ (-\sin x)\,|{-}(\cos x-3\sin x)|=-\sin x\,|\cos x-3\sin x| $. Обе части просто умножились на $ -1 $, значит равенство сохраняется. Следовательно, уравнение $ \pi $-периодично, и достаточно найти все его решения на одном промежутке длины $ \pi $, скажем на $ [0,\pi) $, а затем приписать $ +\pi n,\ n\in\mathbb{Z} $. **Раскрытие модулей.** Обозначим \[ A=3\sin x+\cos x,\qquad B=\cos x-3\sin x. \] Знаки $ A $ и $ B $ определяют, как раскрываются модули. Разберём четыре случая. **Случаи совпадающих знаков $ A $ и $ B $.** Если $ A\ge 0,\ B\ge 0 $, то $ |A|=A,\ |B|=B $ и уравнение принимает вид $ 3\cos x\,A=\sin x\,B $, то есть $ 3\cos x\,A-\sin x\,B=0 $. Раскрывая, \[ 3\cos x(3\sin x+\cos x)-\sin x(\cos x-3\sin x)=8\sin x\cos x+3=4\sin 2x+3. \] Получаем $ \sin 2x=-\dfrac34 $. Если же $ A\le 0,\ B\le 0 $, то $ |A|=-A,\ |B|=-B $, и уравнение $ -3\cos x\,A=-\sin x\,B $ совпадает с предыдущим — снова $ 4\sin 2x+3=0 $, то есть \[ \sin 2x=-\frac34. \tag{1} \] Но условие $ A\ge0,\ B\ge0 $ означает $ 3\sin x\ge-\cos x $ и $ 3\sin x\le\cos x $, то есть $ \cos x\ge 3|\sin x| $; условие $ A\le0,\ B\le0 $ означает $ \cos x\le-3|\sin x| $. В обоих случаях $ |\cos x|\ge 3|\sin x| $, а тогда \[ 9\sin^2 x\le\cos^2 x=1-\sin^2 x\ \Rightarrow\ \sin^2 x\le\frac{1}{10}, \] откуда $ |\sin 2x|=2|\sin x|\,|\cos x|\le 2\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot 1=\frac{2}{\sqrt{10}}\approx0{,}632<\frac34 $. Значит равенство (1) в этих областях недостижимо, и случаи совпадающих знаков решений не дают. **Случаи противоположных знаков $ A $ и $ B $.** Пусть $ A\ge 0,\ B\le 0 $. Тогда $ |A|=A,\ |B|=-B $, и уравнение $ 3\cos x\,A=-\sin x\,B $, то есть $ 3\cos x\,A+\sin x\,B=0 $. Раскрывая, \[ 3\cos x(3\sin x+\cos x)+\sin x(\cos x-3\sin x)=10\sin x\cos x+3(\cos^2 x-\sin^2 x)=5\sin 2x+3\cos 2x. \] Симметрично, при $ A\le 0,\ B\ge 0 $ получается $ -(5\sin 2x+3\cos 2x)=0 $ — то же самое. Итак, в обоих случаях \[ 5\sin 2x+3\cos 2x=0. \tag{2} \] Так как $ \cos 2x=0 $ уравнению (2) не удовлетворяет (тогда было бы и $ \sin 2x=0 $, что невозможно), поделим на $ \cos 2x $: \[ \tan 2x=-\frac35. \tag{3} \] **Отбор по знакам.** Уравнение (3) на промежутке $ 0\le x<\pi $, то есть при $ 0\le 2x<2\pi $, даёт две серии: $ 2x=\pi-\operatorname{arctg}\dfrac35 $ и $ 2x=2\pi-\operatorname{arctg}\dfrac35 $, то есть \[ x_1=\frac{\pi}{2}-\frac12\operatorname{arctg}\frac35\approx 1{,}3006\ (\approx74{,}5^\circ),\qquad x_2=\pi-\frac12\operatorname{arctg}\frac35\approx 2{,}8714\ (\approx164{,}5^\circ). \] Но (2) выведено лишь в предположении $ A $ и $ B $ разных знаков; нужно проверить, выполнено ли оно. Для $ x_1 $: $ A=3\sin x_1+\cos x_1\approx3{,}16>0 $, $ B=\cos x_1-3\sin x_1\approx-2{,}62<0 $ — знаки противоположны, всё согласовано, $ x_1 $ подходит. Для $ x_2 $: $ A\approx-0{,}163<0 $ и $ B\approx-1{,}77<0 $ — знаки **совпадают**, то есть точка $ x_2 $ попадает в область случая совпадающих знаков, где должно выполняться (1), а не (2). Прямая подстановка показывает, что $ x_2 $ исходному уравнению не удовлетворяет, поэтому это посторонний корень, и его отбрасываем. **Единственный корень на периоде.** Таким образом, на $ [0,\pi) $ уравнение имеет ровно один корень \[ x=\frac{\pi}{2}-\frac12\operatorname{arctg}\frac35. \] С учётом $ \pi $-периодичности все решения записываются как \[ x=\frac{\pi}{2}-\frac12\operatorname{arctg}\frac35+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}. \] **Преобразование ответа.** Эту же серию удобно записать через $ \tan x $. Положим $ \varphi=\operatorname{arctg}\dfrac35 $; тогда $ \sin\varphi=\dfrac{3}{\sqrt{34}} $, $ \cos\varphi=\dfrac{5}{\sqrt{34}} $, и \[ \tan\frac{\varphi}{2}=\frac{\sin\varphi}{1+\cos\varphi}=\frac{3/\sqrt{34}}{1+5/\sqrt{34}}=\frac{3}{\sqrt{34}+5}. \] Поскольку $ x=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\varphi}{2} $, имеем \[ \tan x=\tan\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}\right)=\operatorname{ctg}\frac{\varphi}{2}=\frac{\sqrt{34}+5}{3}=\frac{5+\sqrt{34}}{3}. \] Так как при $ x_1\in\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\varphi}{2}\right) $ угол лежит в первой четверти (тангенс положителен и больше нуля), серию можно записать в виде \[ x=\operatorname{arctg}\frac{5+\sqrt{34}}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}, \] полностью эквивалентном предыдущему. **Ответ:** \[ x=\frac{\pi}{2}-\frac12\operatorname{arctg}\frac35+\pi n=\operatorname{arctg}\frac{5+\sqrt{34}}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}. \]5e:T1115,Введём обозначения: $R=2$ — радиус окружности с центром $O$; прямая через $K$ касается окружности в точке $B$, поэтому $OB\perp KB$ и $KB$ — касательная. Обозначим длины интересующих нас отрезков $AK=p$, $BK=b$, $CK=q$ и положим $d=OK$. **Связь прогрессии с касательной.** По условию числа $AK,\ BK,\ CK$ образуют возрастающую геометрическую прогрессию, то есть средний член есть среднее геометрическое крайних: \[BK^2=AK\cdot CK,\qquad\text{иначе говоря}\qquad b^2=pq.\] С другой стороны, длина касательной из внешней точки выражается через степень точки $K$ относительно окружности: \[BK^2=OK^2-R^2=d^2-4.\] Сравнивая, получаем ключевое соотношение \[pq=d^2-4,\qquad\text{откуда}\qquad d=\sqrt{pq+4}.\] **Угол $AKO$.** Рассмотрим треугольники $OAK$ и $OCK$. В них $OA=OC=R=2$, сторона $OK=d$ общая. Обозначим $x=\angle AKO$, $y=\angle CKO$ — углы при вершине $K$. По теореме косинусов в треугольнике $OAK$: \[OA^2=OK^2+AK^2-2\cdot OK\cdot AK\cos x\ \Longrightarrow\ 4=d^2+p^2-2dp\cos x,\] откуда \[\cos x=\frac{d^2+p^2-4}{2dp}.\] Подставляя $d^2-4=pq$, получаем $d^2+p^2-4=pq+p^2=p(p+q)$, поэтому \[\cos x=\frac{p(p+q)}{2dp}=\frac{p+q}{2\sqrt{pq+4}}.\] Совершенно аналогично из треугольника $OCK$ \[\cos y=\frac{d^2+q^2-4}{2dq}=\frac{q(p+q)}{2dq}=\frac{p+q}{2\sqrt{pq+4}}.\] Выражения совпали, значит $\cos x=\cos y$, то есть $x=y$: луч $KO$ делит угол $AKC$ пополам. Так как точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от $KO$ (центр $O$ расположен внутри угла $AKC$), то $\angle AKC=x+y=2x$, и \[\angle AKO=x=\frac{\angle AKC}{2}=\frac{46^\circ}{2}=23^\circ.\] **Точки $O,A,K,C$ лежат на одной окружности.** Из равенства $KA\cdot KC=KB^2=d^2-4=OK^2-R^2$ и из того, что $OA=OC=R$, четырёхугольник $OAKC$ оказывается вписанным: вершины $A$ и $C$ видят отрезок $OK$ под одинаковым (или дополняющим до $180^\circ$) углом. Прямая проверка подтверждает, что $\angle OAK+\angle OCK=180^\circ$ — а это и есть признак вписанного четырёхугольника. Итак, $O,A,K,C$ — концикличны. **Расстояние $AC$.** В этом вписанном четырёхугольнике $OAKC$ углы при противоположных вершинах $K$ и $O$ в сумме дают $180^\circ$: \[\angle AOC=180^\circ-\angle AKC=180^\circ-46^\circ=134^\circ.\] Но $\angle AOC$ — это центральный угол исходной окружности, опирающийся на хорду $AC$. Из равнобедренного треугольника $AOC$ с боковыми сторонами $OA=OC=2$: \[AC=2\cdot OA\cdot\sin\frac{\angle AOC}{2}=2\cdot 2\cdot\sin\frac{134^\circ}{2}=4\sin 67^\circ.\] Численно $AC=4\sin 67^\circ\approx 3{,}68$. **Сравнение углов $ACK$ и $AOK$.** Поскольку $O,A,K,C$ лежат на одной окружности, а точки $C$ и $O$ находятся по одну сторону от хорды $AK$, вписанные углы $\angle ACK$ и $\angle AOK$, опирающиеся на одну и ту же хорду $AK$ из одной дуги, равны между собой: \[\angle ACK=\angle AOK.\] Поэтому ни один из них не больше другого — **углы одинаковы**. **Ответ:** $\angle AKO=23^\circ$, $AC=4\sin 67^\circ$, углы $ACK$ и $AOK$ одинаковы.5f:Te89,Требуется найти наибольшее значение выражения \[ S=\sqrt{(x-1)(y-x)}+\sqrt{(7-y)(1-x)}+\sqrt{(x-y)(y-7)} \] при $x\in[-2;3]$, $y\in[0;11]$. **Область определения.** Все три корня должны быть определены, то есть подкоренные выражения неотрицательны: \[ A=(x-1)(y-x)\ge 0,\qquad B=(7-y)(1-x)\ge 0,\qquad C=(x-y)(y-7)\ge 0. \] Ключевое наблюдение: эти три условия вместе очень жёсткие, и допустимое множество вырождено (имеет нулевую площадь). Найдём его точно, разобрав знак множителя $1-x$. Удобно записать \[ A=-(1-x)(y-x),\qquad B=(7-y)(1-x). \] **Случай $x>1$** (тогда $1-x<0$). Из $B\ge 0$ и $1-x<0$ следует $7-y\le 0$, т.е. $y\ge 7$. Из $A\ge 0$: так как $-(1-x)>0$, нужно $y-x\ge 0$, то есть $y\ge x$. Тогда в $C=(x-y)(y-7)$ первый множитель $x-y\le 0$, а второй $y-7\ge 0$, поэтому $C\le 0$; значит $C=0$. Это даёт $x=y$ или $y=7$. Вариант $x=y$ с $y\ge 7$ невозможен, ибо $x\le 3$. Остаётся $y=7$; тогда $B=0,\ C=0$, а $A=(x-1)(7-x)\ge 0$ выполнено при $x\in(1;3]$, и \[ S=\sqrt{(x-1)(7-x)}. \] Произведение $(x-1)(7-x)$ растёт на $(1;4)$, а так как $x\le 3$, наибольшее значение достигается в $x=3$: $(3-1)(7-3)=8$, откуда $S\le\sqrt 8=2\sqrt2<3$. **Случай $x<1$** (тогда $1-x>0$). Из $B\ge 0$: $7-y\ge 0$, т.е. $y\le 7$. Из $A\ge 0$: так как $-(1-x)<0$, нужно $y-x\le 0$, то есть $y\le x<1$. Тогда в $C=(x-y)(y-7)$ первый множитель $x-y\ge 0$, и для $C\ge 0$ требуется $y-7\ge 0$, т.е. $y\ge 7$. Совместить $y\le x<1$ и $y\ge 7$ нельзя, кроме как обратив один множитель $C$ в нуль. Множитель $y-7$ в нуль не обращается ($y<1$), значит $x-y=0$, то есть $y=x$. Тогда $A=0,\ C=0$, а $B=(7-x)(1-x)>0$, и (учитывая $y=x\ge 0$, $x<1$) \[ S=\sqrt{(7-x)(1-x)},\qquad x\in[0;1). \] На $[0;1)$ произведение $(7-x)(1-x)$ убывает (его вершина в $x=4$ справа), поэтому $S<\sqrt{(7-0)(1-0)}=\sqrt7<3$. **Случай $x=1$.** Тогда $A=0$ и $B=(7-y)\cdot 0=0$, а \[ C=(1-y)(y-7)=-(y-1)(y-7). \] Условие $C\ge 0$ означает $(y-1)(y-7)\le 0$, т.е. $y\in[1;7]$ (этот отрезок лежит в $[0;11]$). На нём \[ S=\sqrt{(1-y)(y-7)}=\sqrt{-(y-4)^2+9}\le\sqrt9=3, \] поскольку $(1-y)(y-7)=-y^2+8y-7=9-(y-4)^2$. Равенство достигается при $y=4$. **Вывод.** Допустимое множество есть объединение трёх дуг: $\{x=1,\ y\in[1;7]\}$, $\{y=x,\ x\in[0;1]\}$ и $\{y=7,\ x\in[1;3]\}$. На них наибольшие значения суть $3$, $\sqrt7$ и $2\sqrt2$ соответственно. Наибольшее из них — это $3$, достигаемое в точке $x=1,\ y=4$ (точка лежит внутри заданных отрезков: $1\in[-2;3]$, $4\in[0;11]$). В этой точке $A=B=0$, $C=(1-4)(4-7)=9$, и \[ S=\sqrt0+\sqrt0+\sqrt9=3. \] **Ответ:** наибольшее значение равно $3$.60:T1840,Оба конуса имеют общую вершину $O$; поместим её в начало координат. У обоих конусов есть единственная общая образующая $g$ — направим её по оси $Oz$, то есть $g=(0,0,1)$. **Расположение конусов.** Конус с углом полураствора $\alpha$ (угол между образующей и осью) и осью $\mathbf a$ — это множество направлений $\mathbf u$, для которых угол между $\mathbf u$ и $\mathbf a$ равен $\alpha$. По условию полууглы равны $\alpha_1=30^\circ$ и $\alpha_2=45^\circ$. Поскольку образующая $g$ общая и единственная, конусы касаются вдоль $g$: касательная плоскость к обоим конусам вдоль $g$ одна и та же. Касательная плоскость к конусу вдоль образующей содержит эту образующую, поэтому ось каждого конуса лежит в плоскости, проходящей через $g$ перпендикулярно общей касательной плоскости. Возьмём общую касательную плоскость $x=0$; тогда обе оси лежат в плоскости $Oxz$. Единственность общей образующей означает, что конусы примыкают к плоскости $x=0$ с разных сторон (внешнее касание), поэтому оси берём с противоположными знаками $x$-координаты: \[\mathbf a_1=\left(\sin30^\circ,\,0,\,\cos30^\circ\right)=\left(\tfrac12,0,\tfrac{\sqrt3}{2}\right),\qquad \mathbf a_2=\left(-\sin45^\circ,\,0,\,\cos45^\circ\right)=\left(-\tfrac{1}{\sqrt2},0,\tfrac{1}{\sqrt2}\right).\] Проверка: угол между $g$ и $\mathbf a_1$ равен $30^\circ$, между $g$ и $\mathbf a_2$ — $45^\circ$; градиенты $\mathbf a_i-g\cos\alpha_i$ обоих конусов в точке $g$ дают одну прямую $x=0$ (касание подтверждено). **Грани двугранного угла.** Каждая грань — это полуплоскость с вершиной в $O$, касающаяся обоих конусов (по образующим, отличным от общей). Плоскость через вершину с единичной нормалью $\mathbf n=(p,q,r)$ касается конуса $(\mathbf a_i,\alpha_i)$ тогда и только тогда, когда угол между осью и плоскостью равен $\alpha_i$, то есть \[\left|\mathbf n\cdot\mathbf a_i\right|=\sin\alpha_i.\] Действительно, угол между вектором $\mathbf a$ и плоскостью с нормалью $\mathbf n$ равен $90^\circ-\angle(\mathbf a,\mathbf n)$; при равенстве этого угла $\alpha$ плоскость касается конуса, и условие даёт $\cos\angle(\mathbf a,\mathbf n)=\sin\alpha$, то есть $|\mathbf n\cdot\mathbf a|=\sin\alpha$. Получаем систему \[\begin{cases}\left|\tfrac{p}{2}+\tfrac{\sqrt3}{2}r\right|=\tfrac12\\ \left|\tfrac{-p+r}{\sqrt2}\right|=\tfrac{\sqrt2}{2}\end{cases}\iff\begin{cases}p+\sqrt3\,r=\pm1\\ -p+r=\pm1.\end{cases}\] Тривиальное касание вдоль самой общей образующей даёт плоскость $x=0$ (нормаль $(\pm1,0,0)$, здесь $q=0$) — её исключаем, так как тогда грань касается обоих конусов по одной и той же образующей. Невырожденная ветвь — это $p+\sqrt3\,r=1,\ -p+r=1$, откуда \[p=\sqrt3-2,\qquad r=\sqrt3-1,\qquad q^2=1-p^2-r^2=6\sqrt3-10>0,\qquad q=\pm\sqrt{6\sqrt3-10}.\] Заметим тождество $6\sqrt3-10=\left(\sqrt3-1\right)^3$, поэтому \[q=\pm\left(\sqrt3-1\right)^{3/2}.\] Два знака $q$ дают две плоскости — это и есть грани двугранного угла; они симметричны относительно плоскости $Oxz$ (которая содержит обе оси и общую образующую). Прямой подсчёт точек касания показывает, что каждая грань касается первого конуса по образующей под углом $\arccos\sqrt{\tfrac23}\approx54{,}74^\circ$ к $g$, а второго — под углом $\approx74{,}46^\circ$ к $g$; все эти образующие различны и отличны от $g$, что согласуется с условием «по разным образующим». **Величина двугранного угла.** Нормали граней $\mathbf n_{\pm}=(p,\pm q,r)$. Ребро двугранного угла лежит в плоскости симметрии $Oxz$, и грани переходят друг в друга отражением в этой плоскости. Косинус искомого двугранного угла (того, что охватывает конфигурацию конусов, — тупого) равен \[\cos\varphi=2q^2-1=2(6\sqrt3-10)-1=12\sqrt3-21\approx-0{,}2154,\] то есть $\varphi=\arccos(12\sqrt3-21)$. Так как $\cos\varphi=2q^2-1=2\left(\sqrt3-1\right)^{3}-1=\cos\!\big(2\arccos q\big)$ при $q=\left(\sqrt3-1\right)^{3/2}\in(0,1)$, окончательно \[\boxed{\,\varphi=2\arccos\left(\left(\sqrt3-1\right)^{3/2}\right)\approx102{,}44^\circ.}\] (Дополнительный к нему угол $180^\circ-\varphi\approx77{,}56^\circ$ — это угол между нормалями граней; искомый двугранный угол, внутри которого лежат конусы, тупой.)41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — 2007\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — 2007\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2007\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T03:50:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — 2007\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — 2007-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — 2007"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2007","serverCollection":{"id":"331f8d77-c1f0-4060-a2b7-a9fbed35a0ae","name":"Мехмат МГУ — 2007","code":"mehmat-2007","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":null,"session_label":"Письменный экзамен, 2007 год","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2007.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2007},"created_at":"2026-06-10T03:50:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"3d15c343-09b9-4c6b-8597-a9e67e2893cf","collection_id":"331f8d77-c1f0-4060-a2b7-a9fbed35a0ae","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"3d15c343-09b9-4c6b-8597-a9e67e2893cf","short_id":18269,"task_number":14,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Учитель назвал Пете натуральное число и попросил найти сумму его логарифмов по основаниям 3 и 75. Однако Петя, по ошибке, не сложил эти логарифмы, а перемножил их, получив неверный ответ, который оказался вдвое меньше верного. Какое число назвал ему учитель?","answer_text":"\$15\$","answer":"\$15\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":null,"variant_key":"mm2007","year":2007},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"69dbd048-33e5-42a7-ae46-9f908eab9d5a","code":"tag-93","name":"Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"e082d742-24ab-47dd-aa86-811e2d0d11d4","code":"tag-215","name":"Логарифм числа"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"72a3af73-f388-4230-9a21-2d636c3cae4e","collection_id":"331f8d77-c1f0-4060-a2b7-a9fbed35a0ae","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"72a3af73-f388-4230-9a21-2d636c3cae4e","short_id":18270,"task_number":14,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Графики функций\n\\[f(x)=2x^2-2x-1 \\quad \\text{и} \\quad g(x)=-5x^2+2x+3\\]\nпересекаются в двух точках. Найти коэффициенты \$a\$ и \$b\$ в уравнении прямой \$y=ax+b\$, проходящей через те же точки.","answer_text":"\$y=-\\frac{6}{7}x+\\frac{1}{7}\$","answer":"\$y=-\\frac{6}{7}x+\\frac{1}{7}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":null,"variant_key":"mm2007","year":2007},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"3d9767c8-9d32-43b3-8f7f-88bb737e56c8","code":"tag-59","name":"Квадратичная функция, её график"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"},{"id":"ca722914-7ca0-48b5-9a58-91bd98e348ba","code":"tag-192","name":"Линейная функция, её график"}]}},{"problem_id":"57b56f23-0632-4305-a0d4-39eed7fa78f1","collection_id":"331f8d77-c1f0-4060-a2b7-a9fbed35a0ae","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"57b56f23-0632-4305-a0d4-39eed7fa78f1","short_id":18271,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решить уравнение\n\\[3\\cos x\\cdot|3\\sin x+\\cos x|=\\sin x\\cdot|\\cos x-3\\sin x|.\\]","answer_text":"\$x=\\frac{\\pi}{2}-\\frac{1}{2}\\operatorname{arctg}\\frac{3}{5}+\\pi n=\\operatorname{arctg}\\frac{5+\\sqrt{34}}{3}+\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x=\\frac{\\pi}{2}-\\frac{1}{2}\\operatorname{arctg}\\frac{3}{5}+\\pi n=\\operatorname{arctg}\\frac{5+\\sqrt{34}}{3}+\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":null,"variant_key":"mm2007","year":2007},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"737c582e-61bc-4f46-8a97-869156e7dda5","code":"tag-108","name":"Однородные уравнения 2-й и 3-й степени"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"}]}},{"problem_id":"d39ea7e3-d6b2-4919-84d2-c547a0d60255","collection_id":"331f8d77-c1f0-4060-a2b7-a9fbed35a0ae","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"d39ea7e3-d6b2-4919-84d2-c547a0d60255","short_id":18272,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Точки \$A\$, \$B\$, \$C\$ лежат на окружности радиуса 2 с центром \$O\$, а точка \$K\$ — на прямой, касающейся этой окружности в точке \$B\$, причём \$\\angle AKC=46^\\circ\$, а длины отрезков \$AK\$, \$BK\$, \$CK\$ образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найти угол \$AKO\$ и расстояние между точками \$A\$ и \$C\$. Какой из углов больше: \$ACK\$ или \$AOK\$?","answer_text":"\$23^\\circ,\\ 4\\sin 67^\\circ,\\ \\text{одинаковы}\$","answer":"\$23^\\circ,\\ 4\\sin 67^\\circ,\\ \\text{одинаковы}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":null,"variant_key":"mm2007","year":2007},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"d3b75ad2-c6a5-4ba6-85c8-0cbefe7f8516","code":"tag-199","name":"Окружность, описанная вокруг треугольника"}]}},{"problem_id":"19f431e7-158b-4c88-b727-34859d2f24d5","collection_id":"331f8d77-c1f0-4060-a2b7-a9fbed35a0ae","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"19f431e7-158b-4c88-b727-34859d2f24d5","short_id":18273,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти наибольшее значение выражения\n\\[\\sqrt{(x-1)(y-x)}+\\sqrt{(7-y)(1-x)}+\\sqrt{(x-y)(y-7)}\\]\nпри \$x\\in[-2;3]\$ и \$y\\in[0;11]\$.","answer_text":"\$3\$","answer":"\$3\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":null,"variant_key":"mm2007","year":2007},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"}]}},{"problem_id":"a4423c90-c24f-4a80-a79b-573ebf0e0cc2","collection_id":"331f8d77-c1f0-4060-a2b7-a9fbed35a0ae","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"a4423c90-c24f-4a80-a79b-573ebf0e0cc2","short_id":18274,"task_number":20,"topic_id":"57632be7-7c51-406a-8a6f-58e0708032ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Два конуса имеют общую вершину и единственную общую образующую, которая составляет с их осями углы в \$30^\\circ\$ и \$45^\\circ\$. Двугранный угол расположен так, что каждая его грань касается каждого из конусов по разным образующим. Найти величину этого угла.","answer_text":"\$2\\arccos\\left(\\sqrt{3}-1\\right)^{3/2}\$","answer":"\$2\\arccos\\left(\\sqrt{3}-1\\right)^{3/2}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":null,"variant_key":"mm2007","year":2007},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57632be7-7c51-406a-8a6f-58e0708032ea","name":"Расстояния, углы, координаты и векторы","description":null},"tags":[{"id":"309363a4-c398-4191-9dc3-1e3703d52aea","code":"tag-44","name":"Конус"},{"id":"7f6f1832-aea8-4501-ac5d-7296bd91787e","code":"tag-118","name":"Угол между плоскостями"},{"id":"95ce61b0-ecd4-41ee-a17a-5d5f2298515b","code":"tag-132","name":"Комбинации стереометрических тел"},{"id":"d72e5676-86a6-4521-aa99-b097dd7dde8d","code":"tag-203","name":"Двугранный угол, линейный угол двугранного угла"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ