Графики функций f(x)=2x^2-2x-1 и g(x)=-5x^2+2x+3 пересекаются в двух точках. Найти коэффициенты a и b в уравнении прямой y=ax+b, проходящей через те же точки.

Графики функций f(x)=2x^2-2x-1, g(x)=-5x^2+2x+3 пересекаются в точках, у которых абсциссы являются корнями уравнения f(x)=g(x). Перенесём всё в одну часть: 2x^2-2x-1=-5x^2+2x+3 7x^2-4x-4=0. Дискриминант этого уравнения равен D=(-4)^2-4* 7*(-4)=16+112=128>0, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня x_1!= x_2; им и отвечают две точки пересечения парабол (что согласуется с условием). Обозначим эти точки M_1(x_1,y_1) и M_2(x_2,y_2), где y_i=f(x_i)=g(x_i). Искомая прямая y=ax+b проходит через M_1 и M_2. Чтобы найти её, удобно не вычислять сами корни (они иррациональны), а воспользоваться тем, что в точках пересечения значения обеих функций совпадают. **Идея.** Рассмотрим линейную комбинацию f(x)+ g(x) с числовыми коэффициентами ,. В каждой из точек пересечения f(x_i)=g(x_i)=y_i, поэтому f(x_i)+ g(x_i)=(+)y_i. Если взять +=1, то комбинация f(x)+ g(x) в обеих точках пересечения принимает в точности значение y_i, то есть проходит через M_1 и M_2. Подберём при этом , так, чтобы у комбинации пропал квадратичный член — тогда она окажется линейной функцией, а линейная функция, проходящая через две данные точки, и есть искомая прямая. **Подбор коэффициентов.** Старший коэффициент комбинации равен 2-5. Приравняем его к нулю вместе с условием нормировки: cases2-5=0, +=1.cases Из первого уравнения =(5)/(2); подставляя во второе, получаем (5)/(2)+=1, то есть (7)/(2)=1, откуда =(2)/(7) и =(5)/(7). Удобно работать с пропорциональной комбинацией 5f(x)+2g(x) (она получается умножением на 7 и потому отличается от f+ g множителем 7). Прямо вычислим её, складывая коэффициенты при одинаковых степенях: - при x^2: 5* 2+2*(-5)=10-10=0; - при x: 5*(-2)+2* 2=-10+4=-6; - свободный член: 5*(-1)+2* 3=-5+6=1. Значит, 5f(x)+2g(x)=-6x+1. Возвращаясь к нормированной комбинации с +=1, делим на 7: (5)/(7)f(x)+(2)/(7)g(x)=(-6x+1)/(7)=-(6)/(7)x+(1)/(7). **Вывод уравнения прямой.** В каждой точке пересечения f(x_i)=g(x_i)=y_i, поэтому y_i=(5)/(7)f(x_i)+(2)/(7)g(x_i)=-(6)/(7)x_i+(1)/(7), i=1,2. Таким образом, обе точки M_1 и M_2 лежат на прямой y=-(6)/(7)x+(1)/(7). Так как через две различные точки проходит ровно одна прямая, именно она и является искомой. Следовательно, a=-(6)/(7), b=(1)/(7). **Проверка.** Корни уравнения 7x^2-4x-4=0 равны x_(1,2)=(2+- 42)/(7). Подставляя их, например, в f, получаем точки пересечения ((2)/(7)+-(42)/(7), -(5)/(49)+-(242)/(49)), и непосредственная подстановка показывает, что значение -(6)/(7)x_i+(1)/(7) совпадает с ординатой y_i (разность равна нулю в обеих точках). Ответ: y=-(6)/(7)x+(1)/(7), то есть a=-(6)/(7), b=(1)/(7).

\(y=-\frac{6}{7}x+\frac{1}{7}\)