Задача №18270

Графики функций

$$f(x)=2x^2-2x-1\text{и}g(x)=-5x^2+2x+3$$

пересекаются в двух точках. Найти коэффициенты $a$ и $b$ в уравнении прямой $y=ax+b\text{,}$ проходящей через те же точки.

Графики функций

$$f(x)=2x^2-2x-1,g(x)=-5x^2+2x+3$$

пересекаются в точках, у которых абсциссы являются корнями уравнения $f(x)=g(x)\text{.}$ Перенесём всё в одну часть:

$$2x^2-2x-1=-5x^2+2x+3⟺7x^2-4x-4=0.$$

Дискриминант этого уравнения равен $D=(-4{)}^2-4\cdot 7\cdot (-4)=16+112=128>0\text{,}$ поэтому уравнение имеет два различных действительных корня $x_1\ne x_2\text{;}$ им и отвечают две точки пересечения парабол (что согласуется с условием).

Обозначим эти точки $M_1(x_1,y_1)$ и $M_2(x_2,y_2)\text{,}$ где $y_i=f(x_i)=g(x_i)\text{.}$ Искомая прямая $y=ax+b$ проходит через $M_1$ и $M_2\text{.}$ Чтобы найти её, удобно не вычислять сами корни (они иррациональны), а воспользоваться тем, что в точках пересечения значения обеих функций совпадают.

Идея. Рассмотрим линейную комбинацию $\lambda f(x)+\mu g(x)$ с числовыми коэффициентами $\lambda ,\mu \text{.}$ В каждой из точек пересечения $f(x_i)=g(x_i)=y_i\text{,}$ поэтому

$$\lambda f(x_i)+\mu g(x_i)=(\lambda +\mu )y_i.$$

Если взять $\lambda +\mu =1\text{,}$ то комбинация $\lambda f(x)+\mu g(x)$ в обеих точках пересечения принимает в точности значение $y_i\text{,}$ то есть проходит через $M_1$ и $M_2\text{.}$ Подберём при этом $\lambda ,\mu$ так, чтобы у комбинации пропал квадратичный член — тогда она окажется линейной функцией, а линейная функция, проходящая через две данные точки, и есть искомая прямая.

Подбор коэффициентов. Старший коэффициент комбинации равен $2\lambda -5\mu \text{.}$ Приравняем его к нулю вместе с условием нормировки:

$$\{\begin{array}{l}2\lambda -5\mu =0,\\ \lambda +\mu =1.\end{array}$$

Из первого уравнения $\lambda =\frac{5}{2}\mu \text{;}$ подставляя во второе, получаем $\frac{5}{2}\mu +\mu =1\text{,}$ то есть $\frac{7}{2}\mu =1\text{,}$ откуда $\mu =\frac{2}{7}$ и $\lambda =\frac{5}{7}\text{.}$

Удобно работать с пропорциональной комбинацией $5f(x)+2g(x)$ (она получается умножением на $7$ и потому отличается от $\lambda f+\mu g$ множителем $7$). Прямо вычислим её, складывая коэффициенты при одинаковых степенях:

• при $x^2\text{:}$ $5\cdot 2+2\cdot (-5)=10-10=0\text{;}$
• при $x\text{:}$ $5\cdot (-2)+2\cdot 2=-10+4=-6\text{;}$
• свободный член: $5\cdot (-1)+2\cdot 3=-5+6=1\text{.}$

Значит,

$$5f(x)+2g(x)=-6x+1.$$

Возвращаясь к нормированной комбинации с $\lambda +\mu =1\text{,}$ делим на $7\text{:}$

$$\frac{5}{7}f(x)+\frac{2}{7}g(x)=\frac{-6x+1}{7}=-\frac{6}{7}x+\frac{1}{7}.$$

Вывод уравнения прямой. В каждой точке пересечения $f(x_i)=g(x_i)=y_i\text{,}$ поэтому

$$y_i=\frac{5}{7}f(x_i)+\frac{2}{7}g(x_i)=-\frac{6}{7}{x}_i+\frac{1}{7},i=1,2.$$

Таким образом, обе точки $M_1$ и $M_2$ лежат на прямой

$$y=-\frac{6}{7}x+\frac{1}{7}.$$

Так как через две различные точки проходит ровно одна прямая, именно она и является искомой. Следовательно,

$$a=-\frac{6}{7},b=\frac{1}{7}.$$

Проверка. Корни уравнения $7x^2-4x-4=0$ равны $x_{1,2}=\frac{2\pm 4\sqrt{2}}{7}\text{.}$ Подставляя их, например, в $f\text{,}$ получаем точки пересечения $\left(\frac{2}{7}\pm \frac{4\sqrt{2}}{7},-\frac{5}{49}\pm \frac{24\sqrt{2}}{49}\right)\text{,}$ и непосредственная подстановка показывает, что значение $-\frac{6}{7}{x}_i+\frac{1}{7}$ совпадает с ординатой $y_i$ (разность равна нулю в обеих точках).

Ответ: $y=-\frac{6}{7}x+\frac{1}{7}\text{,}$ то есть $a=-\frac{6}{7}\text{,}$ $b=\frac{1}{7}\text{.}$