Найти наибольшее значение выражения sqrt((x-1)(y-x))+sqrt((7-y)(1-x))+sqrt((x-y)(y-7)) при xin[-2;3] и yin[0;11].

Требуется найти наибольшее значение выражения S=sqrt((x-1)(y-x))+sqrt((7-y)(1-x))+sqrt((x-y)(y-7)) при xin[-2;3], yin[0;11]. **Область определения.** Все три корня должны быть определены, то есть подкоренные выражения неотрицательны: A=(x-1)(y-x)>= 0, B=(7-y)(1-x)>= 0, C=(x-y)(y-7)>= 0. Ключевое наблюдение: эти три условия вместе очень жёсткие, и допустимое множество вырождено (имеет нулевую площадь). Найдём его точно, разобрав знак множителя 1-x. Удобно записать A=-(1-x)(y-x), B=(7-y)(1-x). **Случай x>1** (тогда 1-x<0). Из B>= 0 и 1-x<0 следует 7-y<= 0, т.е. y>= 7. Из A>= 0: так как -(1-x)>0, нужно y-x>= 0, то есть y>= x. Тогда в C=(x-y)(y-7) первый множитель x-y<= 0, а второй y-7>= 0, поэтому C<= 0; значит C=0. Это даёт x=y или y=7. Вариант x=y с y>= 7 невозможен, ибо x<= 3. Остаётся y=7; тогда B=0, C=0, а A=(x-1)(7-x)>= 0 выполнено при xin(1;3], и S=sqrt((x-1)(7-x)). Произведение (x-1)(7-x) растёт на (1;4), а так как x<= 3, наибольшее значение достигается в x=3: (3-1)(7-3)=8, откуда S<= 8=22<3. **Случай x<1** (тогда 1-x>0). Из B>= 0: 7-y>= 0, т.е. y<= 7. Из A>= 0: так как -(1-x)<0, нужно y-x<= 0, то есть y<= x<1. Тогда в C=(x-y)(y-7) первый множитель x-y>= 0, и для C>= 0 требуется y-7>= 0, т.е. y>= 7. Совместить y<= x<1 и y>= 7 нельзя, кроме как обратив один множитель C в нуль. Множитель y-7 в нуль не обращается (y<1), значит x-y=0, то есть y=x. Тогда A=0, C=0, а B=(7-x)(1-x)>0, и (учитывая y=x>= 0, x<1) S=sqrt((7-x)(1-x)), xin[0;1). На [0;1) произведение (7-x)(1-x) убывает (его вершина в x=4 справа), поэтому S<sqrt((7-0)(1-0))=7<3. **Случай x=1.** Тогда A=0 и B=(7-y)* 0=0, а C=(1-y)(y-7)=-(y-1)(y-7). Условие C>= 0 означает (y-1)(y-7)<= 0, т.е. yin[1;7] (этот отрезок лежит в [0;11]). На нём S=sqrt((1-y)(y-7))=sqrt(-(y-4)^2+9)<=9=3, поскольку (1-y)(y-7)=-y^2+8y-7=9-(y-4)^2. Равенство достигается при y=4. **Вывод.** Допустимое множество есть объединение трёх дуг: x=1, yin[1;7], y=x, xin[0;1] и y=7, xin[1;3]. На них наибольшие значения суть 3, 7 и 22 соответственно. Наибольшее из них — это 3, достигаемое в точке x=1, y=4 (точка лежит внутри заданных отрезков: 1in[-2;3], 4in[0;11]). В этой точке A=B=0, C=(1-4)(4-7)=9, и S=0+0+9=3. **Ответ:** наибольшее значение равно 3.

\(3\)