Задача №18273

Найти наибольшее значение выражения

$$\sqrt{(x-1)(y-x)}+\sqrt{(7-y)(1-x)}+\sqrt{(x-y)(y-7)}$$

при $x\in [-2;3]$ и $y\in [0;11]\text{.}$

Требуется найти наибольшее значение выражения

$$S=\sqrt{(x-1)(y-x)}+\sqrt{(7-y)(1-x)}+\sqrt{(x-y)(y-7)}$$

при $x\in [-2;3]\text{,}$ $y\in [0;11]\text{.}$

Область определения. Все три корня должны быть определены, то есть подкоренные выражения неотрицательны:

$$A=(x-1)(y-x)\ge 0,B=(7-y)(1-x)\ge 0,C=(x-y)(y-7)\ge 0.$$

Ключевое наблюдение: эти три условия вместе очень жёсткие, и допустимое множество вырождено (имеет нулевую площадь). Найдём его точно, разобрав знак множителя $1-x\text{.}$ Удобно записать

$$A=-(1-x)(y-x),B=(7-y)(1-x).$$

Случай $x>1$ (тогда $1-x<0$). Из $B\ge 0$ и $1-x<0$ следует $7-y\le 0\text{,}$ т.е. $y\ge 7\text{.}$ Из $A\ge 0\text{:}$ так как $-(1-x)>0\text{,}$ нужно $y-x\ge 0\text{,}$ то есть $y\ge x\text{.}$ Тогда в $C=(x-y)(y-7)$ первый множитель $x-y\le 0\text{,}$ а второй $y-7\ge 0\text{,}$ поэтому $C\le 0\text{;}$ значит $C=0\text{.}$ Это даёт $x=y$ или $y=7\text{.}$ Вариант $x=y$ с $y\ge 7$ невозможен, ибо $x\le 3\text{.}$ Остаётся $y=7\text{;}$ тогда $B=0,C=0\text{,}$ а $A=(x-1)(7-x)\ge 0$ выполнено при $x\in (1;3]\text{,}$ и

$$S=\sqrt{(x-1)(7-x)}.$$

Произведение $(x-1)(7-x)$ растёт на $(1;4)\text{,}$ а так как $x\le 3\text{,}$ наибольшее значение достигается в $x=3\text{:}$ $(3-1)(7-3)=8\text{,}$ откуда $S\le \sqrt{8}=2\sqrt{2}<3\text{.}$

Случай $x<1$ (тогда $1-x>0$). Из $B\ge 0\text{:}$ $7-y\ge 0\text{,}$ т.е. $y\le 7\text{.}$ Из $A\ge 0\text{:}$ так как $-(1-x)<0\text{,}$ нужно $y-x\le 0\text{,}$ то есть $y\le x<1\text{.}$ Тогда в $C=(x-y)(y-7)$ первый множитель $x-y\ge 0\text{,}$ и для $C\ge 0$ требуется $y-7\ge 0\text{,}$ т.е. $y\ge 7\text{.}$ Совместить $y\le x<1$ и $y\ge 7$ нельзя, кроме как обратив один множитель $C$ в нуль. Множитель $y-7$ в нуль не обращается ($y<1$), значит $x-y=0\text{,}$ то есть $y=x\text{.}$ Тогда $A=0,C=0\text{,}$ а $B=(7-x)(1-x)>0\text{,}$ и (учитывая $y=x\ge 0\text{,}$ $x<1$)

$$S=\sqrt{(7-x)(1-x)},x\in [0;1).$$

На $[0;1)$ произведение $(7-x)(1-x)$ убывает (его вершина в $x=4$ справа), поэтому $S<\sqrt{(7-0)(1-0)}=\sqrt{7}<3\text{.}$

Случай $x=1\text{.}$ Тогда $A=0$ и $B=(7-y)\cdot 0=0\text{,}$ а

$$C=(1-y)(y-7)=-(y-1)(y-7).$$

Условие $C\ge 0$ означает $(y-1)(y-7)\le 0\text{,}$ т.е. $y\in [1;7]$ (этот отрезок лежит в $[0;11]$). На нём

$$S=\sqrt{(1-y)(y-7)}=\sqrt{-(y-4{)}^2+9}\le \sqrt{9}=3,$$

поскольку $(1-y)(y-7)=-y^2+8y-7=9-(y-4{)}^2\text{.}$ Равенство достигается при $y=4\text{.}$

Вывод. Допустимое множество есть объединение трёх дуг: $\{x=1,y\in [1;7]\}\text{,}$ $\{y=x,x\in [0;1]\}$ и $\{y=7,x\in [1;3]\}\text{.}$ На них наибольшие значения суть $3\text{,}$ $\sqrt{7}$ и $2\sqrt{2}$ соответственно. Наибольшее из них — это $3\text{,}$ достигаемое в точке $x=1,y=4$ (точка лежит внутри заданных отрезков: $1\in [-2;3]\text{,}$ $4\in [0;11]$). В этой точке $A=B=0\text{,}$ $C=(1-4)(4-7)=9\text{,}$ и

$$S=\sqrt{0}+\sqrt{0}+\sqrt{9}=3.$$

Ответ: наибольшее значение равно $3\text{.}$