Решить уравнение
3cosx⋅∣3sinx+cosx∣=sinx⋅∣cosx−3sinx∣.Требуется решить уравнение
3cosx⋅∣3sinx+cosx∣=sinx⋅∣cosx−3sinx∣.Область определения — вся числовая прямая: ни знаменателей, ни корней чётной степени, ни логарифмов здесь нет.
Период уравнения. Заменим x на x+π. Тогда cos(x+π)=−cosx, sin(x+π)=−sinx, а выражения под модулями 3sinx+cosx и cosx−3sinx лишь меняют знак, поэтому их модули не меняются. Левая часть переходит в 3(−cosx)∣−(3sinx+cosx)∣=−3cosx∣3sinx+cosx∣, правая — в (−sinx)∣−(cosx−3sinx)∣=−sinx∣cosx−3sinx∣. Обе части просто умножились на −1, значит равенство сохраняется. Следовательно, уравнение π-периодично, и достаточно найти все его решения на одном промежутке длины π, скажем на [0,π), а затем приписать +πn, n∈Z.
Раскрытие модулей. Обозначим
A=3sinx+cosx,B=cosx−3sinx.Знаки A и B определяют, как раскрываются модули. Разберём четыре случая.
Случаи совпадающих знаков A и B. Если A≥0, B≥0, то ∣A∣=A, ∣B∣=B и уравнение принимает вид 3cosxA=sinxB, то есть 3cosxA−sinxB=0. Раскрывая,
3cosx(3sinx+cosx)−sinx(cosx−3sinx)=8sinxcosx+3=4sin2x+3.Получаем sin2x=−43. Если же A≤0, B≤0, то ∣A∣=−A, ∣B∣=−B, и уравнение −3cosxA=−sinxB совпадает с предыдущим — снова 4sin2x+3=0, то есть
sin2x=−43.(1)Но условие A≥0, B≥0 означает 3sinx≥−cosx и 3sinx≤cosx, то есть cosx≥3∣sinx∣; условие A≤0, B≤0 означает cosx≤−3∣sinx∣. В обоих случаях ∣cosx∣≥3∣sinx∣, а тогда
9sin2x≤cos2x=1−sin2x ⇒ sin2x≤101,откуда ∣sin2x∣=2∣sinx∣∣cosx∣≤2⋅101⋅1=102≈0,632<43. Значит равенство (1) в этих областях недостижимо, и случаи совпадающих знаков решений не дают.
Случаи противоположных знаков A и B. Пусть A≥0, B≤0. Тогда ∣A∣=A, ∣B∣=−B, и уравнение 3cosxA=−sinxB, то есть 3cosxA+sinxB=0. Раскрывая,
3cosx(3sinx+cosx)+sinx(cosx−3sinx)=10sinxcosx+3(cos2x−sin2x)=5sin2x+3cos2x.Симметрично, при A≤0, B≥0 получается −(5sin2x+3cos2x)=0 — то же самое. Итак, в обоих случаях
5sin2x+3cos2x=0.(2)Так как cos2x=0 уравнению (2) не удовлетворяет (тогда было бы и sin2x=0, что невозможно), поделим на cos2x:
tan2x=−53.(3)Отбор по знакам. Уравнение (3) на промежутке 0≤x<π, то есть при 0≤2x<2π, даёт две серии: 2x=π−arctg53 и 2x=2π−arctg53, то есть
x1=2π−21arctg53≈1,3006 (≈74,5∘),x2=π−21arctg53≈2,8714 (≈164,5∘).Но (2) выведено лишь в предположении A и B разных знаков; нужно проверить, выполнено ли оно. Для x1: A=3sinx1+cosx1≈3,16>0, B=cosx1−3sinx1≈−2,62<0 — знаки противоположны, всё согласовано, x1 подходит. Для x2: A≈−0,163<0 и B≈−1,77<0 — знаки совпадают, то есть точка x2 попадает в область случая совпадающих знаков, где должно выполняться (1), а не (2). Прямая подстановка показывает, что x2 исходному уравнению не удовлетворяет, поэтому это посторонний корень, и его отбрасываем.
Единственный корень на периоде. Таким образом, на [0,π) уравнение имеет ровно один корень
x=2π−21arctg53.С учётом π-периодичности все решения записываются как
x=2π−21arctg53+πn,n∈Z.Преобразование ответа. Эту же серию удобно записать через tanx. Положим φ=arctg53; тогда sinφ=343, cosφ=345, и
tan2φ=1+cosφsinφ=1+5/343/34=34+53.Поскольку x=2π−2φ, имеем
tanx=tan(2π−2φ)=ctg2φ=334+5=35+34.Так как при x1∈(2π−2φ) угол лежит в первой четверти (тангенс положителен и больше нуля), серию можно записать в виде
x=arctg35+34+πn,n∈Z,полностью эквивалентном предыдущему.
Ответ:
x=2π−21arctg53+πn=arctg35+34+πn,n∈Z.Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)