Решить уравнение 3cos x*|3sin x+cos x|=sin x*|cos x-3sin x|.

Требуется решить уравнение 3cos x*|3sin x+cos x|=sin x*|cos x-3sin x|. Область определения — вся числовая прямая: ни знаменателей, ни корней чётной степени, ни логарифмов здесь нет. **Период уравнения.** Заменим x на x+pi . Тогда cos(x+pi)=-cos x , sin(x+pi)=-sin x , а выражения под модулями 3sin x+cos x и cos x-3sin x лишь меняют знак, поэтому их модули не меняются. Левая часть переходит в 3(-cos x)|-(3sin x+cos x)|=-3cos x|3sin x+cos x| , правая — в (-sin x)|-(cos x-3sin x)|=-sin x|cos x-3sin x| . Обе части просто умножились на -1 , значит равенство сохраняется. Следовательно, уравнение pi -периодично, и достаточно найти все его решения на одном промежутке длины pi , скажем на [0,pi) , а затем приписать +pi n, ninZ . **Раскрытие модулей.** Обозначим A=3sin x+cos x, B=cos x-3sin x. Знаки A и B определяют, как раскрываются модули. Разберём четыре случая. **Случаи совпадающих знаков A и B .** Если A>= 0, B>= 0 , то |A|=A, |B|=B и уравнение принимает вид 3cos xA=sin xB , то есть 3cos xA-sin xB=0 . Раскрывая, 3cos x(3sin x+cos x)-sin x(cos x-3sin x)=8sin xcos x+3=4sin 2x+3. Получаем sin 2x=-34 . Если же A<= 0, B<= 0 , то |A|=-A, |B|=-B , и уравнение -3cos xA=-sin xB совпадает с предыдущим — снова 4sin 2x+3=0 , то есть sin 2x=-34. 1 Но условие A0, B0 означает 3sin x>=-cos x и 3sin x<=cos x , то есть cos x>= 3|sin x| ; условие A0, B0 означает cos x<=-3|sin x| . В обоих случаях |cos x|>= 3|sin x| , а тогда 9sin^2 x<=cos^2 x=1-sin^2 x => sin^2 x<=(1)/(10), откуда |sin 2x|=2|sin x||cos x|<= 2*(1)/(sqrt(10))* 1=(2)/(sqrt(10))~0,632<34 . Значит равенство (1) в этих областях недостижимо, и случаи совпадающих знаков решений не дают. **Случаи противоположных знаков A и B .** Пусть A>= 0, B<= 0 . Тогда |A|=A, |B|=-B , и уравнение 3cos xA=-sin xB , то есть 3cos xA+sin xB=0 . Раскрывая, 3cos x(3sin x+cos x)+sin x(cos x-3sin x)=10sin xcos x+3(cos^2 x-sin^2 x)=5sin 2x+3cos 2x. Симметрично, при A<= 0, B>= 0 получается -(5sin 2x+3cos 2x)=0 — то же самое. Итак, в обоих случаях 5sin 2x+3cos 2x=0. 2 Так как cos 2x=0 уравнению (2) не удовлетворяет (тогда было бы и sin 2x=0 , что невозможно), поделим на cos 2x : tan 2x=-35. 3 **Отбор по знакам.** Уравнение (3) на промежутке 0<= x<pi , то есть при 0<= 2x<2pi , даёт две серии: 2x=pi-arctg35 и 2x=2pi-arctg35 , то есть x_1=(pi)/(2)-12arctg35~ 1,3006 (~74,5^), x_2=pi-12arctg35~ 2,8714 (~164,5^). Но (2) выведено лишь в предположении A и B разных знаков; нужно проверить, выполнено ли оно. Для x_1 : A=3sin x_1+cos x_1~3,16>0 , B=cos x_1-3sin x_1~-2,62<0 — знаки противоположны, всё согласовано, x_1 подходит. Для x_2 : A~-0,163<0 и B~-1,77<0 — знаки **совпадают**, то есть точка x_2 попадает в область случая совпадающих знаков, где должно выполняться (1), а не (2). Прямая подстановка показывает, что x_2 исходному уравнению не удовлетворяет, поэтому это посторонний корень, и его отбрасываем. **Единственный корень на периоде.** Таким образом, на [0,pi) уравнение имеет ровно один корень x=(pi)/(2)-12arctg35. С учётом pi -периодичности все решения записываются как x=(pi)/(2)-12arctg35+pi n, ninZ. **Преобразование ответа.** Эту же серию удобно записать через tan x . Положим =arctg35 ; тогда sin=(3)/(sqrt(34)) , cos=(5)/(sqrt(34)) , и tan()/(2)=(sin)/(1+cos)=(3/sqrt(34))/(1+5/sqrt(34))=(3)/(sqrt(34)+5). Поскольку x=(pi)/(2)-()/(2) , имеем tan x=tan((pi)/(2)-()/(2))=ctg()/(2)=(sqrt(34)+5)/(3)=(5+sqrt(34))/(3). Так как при x_1in((pi)/(2)-()/(2)) угол лежит в первой четверти (тангенс положителен и больше нуля), серию можно записать в виде x=arctg(5+sqrt(34))/(3)+pi n, ninZ, полностью эквивалентном предыдущему. **Ответ:** x=(pi)/(2)-12arctg35+pi n=arctg(5+sqrt(34))/(3)+pi n, ninZ.

\(x=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\frac{3}{5}+\pi n=\operatorname{arctg}\frac{5+\sqrt{34}}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\)