Задача №18272

Точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ лежат на окружности радиуса 2 с центром $O\text{,}$ а точка $K$ — на прямой, касающейся этой окружности в точке $B\text{,}$ причём $\angle AKC=46^{\circ }\text{,}$ а длины отрезков $AK\text{,}$ $BK\text{,}$ $CK$ образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найти угол $AKO$ и расстояние между точками $A$ и $C\text{.}$ Какой из углов больше: $ACK$ или $AOK\text{?}$

Введём обозначения: $R=2$ — радиус окружности с центром $O\text{;}$ прямая через $K$ касается окружности в точке $B\text{,}$ поэтому $OB\perp KB$ и $KB$ — касательная. Обозначим длины интересующих нас отрезков $AK=p\text{,}$ $BK=b\text{,}$ $CK=q$ и положим $d=OK\text{.}$

Связь прогрессии с касательной. По условию числа $AK,BK,CK$ образуют возрастающую геометрическую прогрессию, то есть средний член есть среднее геометрическое крайних:

С другой стороны, длина касательной из внешней точки выражается через степень точки $K$ относительно окружности:

Сравнивая, получаем ключевое соотношение

Угол $AKO\text{.}$ Рассмотрим треугольники $OAK$ и $OCK\text{.}$ В них $OA=OC=R=2\text{,}$ сторона $OK=d$ общая. Обозначим $x=\angle AKO\text{,}$ $y=\angle CKO$ — углы при вершине $K\text{.}$ По теореме косинусов в треугольнике $OAK\text{:}$

откуда

Подставляя $d^2-4=pq\text{,}$ получаем $d^2+p^2-4=pq+p^2=p(p+q)\text{,}$ поэтому

Совершенно аналогично из треугольника $OCK$

Выражения совпали, значит $\cos x=\cos y\text{,}$ то есть $x=y\text{:}$ луч $KO$ делит угол $AKC$ пополам. Так как точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от $KO$ (центр $O$ расположен внутри угла $AKC$), то $\angle AKC=x+y=2x\text{,}$ и

Точки $O,A,K,C$ лежат на одной окружности. Из равенства $KA\cdot KC=K{B}^2=d^2-4=O{K}^2-R^2$ и из того, что $OA=OC=R\text{,}$ четырёхугольник $OAKC$ оказывается вписанным: вершины $A$ и $C$ видят отрезок $OK$ под одинаковым (или дополняющим до $180^{\circ }$) углом. Прямая проверка подтверждает, что $\angle OAK+\angle OCK=180^{\circ }$ — а это и есть признак вписанного четырёхугольника. Итак, $O,A,K,C$ — концикличны.

Расстояние $AC\text{.}$ В этом вписанном четырёхугольнике $OAKC$ углы при противоположных вершинах $K$ и $O$ в сумме дают $180^{\circ }\text{:}$

Но $\angle AOC$ — это центральный угол исходной окружности, опирающийся на хорду $AC\text{.}$ Из равнобедренного треугольника $AOC$ с боковыми сторонами $OA=OC=2\text{:}$

Численно $AC=4\sin 67^{\circ }\approx 3,68\text{.}$

Сравнение углов $ACK$ и $AOK\text{.}$ Поскольку $O,A,K,C$ лежат на одной окружности, а точки $C$ и $O$ находятся по одну сторону от хорды $AK\text{,}$ вписанные углы $\angle ACK$ и $\angle AOK\text{,}$ опирающиеся на одну и ту же хорду $AK$ из одной дуги, равны между собой:

Поэтому ни один из них не больше другого — углы одинаковы.

Ответ: $\angle AKO=23^{\circ }\text{,}$ $AC=4\sin 67^{\circ }\text{,}$ углы $ACK$ и $AOK$ одинаковы.