Точки A, B, C лежат на окружности радиуса 2 с центром O, а точка K — на прямой, касающейся этой окружности в точке B, причём AKC=46^, а длины отрезков AK, BK, CK образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найти угол AKO и расстояние между точками A и C. Какой из углов больше: ACK или AOK?

Введём обозначения: R=2 — радиус окружности с центром O; прямая через K касается окружности в точке B, поэтому OB KB и KB — касательная. Обозначим длины интересующих нас отрезков AK=p, BK=b, CK=q и положим d=OK. **Связь прогрессии с касательной.** По условию числа AK, BK, CK образуют возрастающую геометрическую прогрессию, то есть средний член есть среднее геометрическое крайних: BK^2=AK* CK, иначе говоря b^2=pq. С другой стороны, длина касательной из внешней точки выражается через степень точки K относительно окружности: BK^2=OK^2-R^2=d^2-4. Сравнивая, получаем ключевое соотношение pq=d^2-4, откуда d=sqrt(pq+4). **Угол AKO.** Рассмотрим треугольники OAK и OCK. В них OA=OC=R=2, сторона OK=d общая. Обозначим x= AKO, y= CKO — углы при вершине K. По теореме косинусов в треугольнике OAK: OA^2=OK^2+AK^2-2* OK* AKcos x 4=d^2+p^2-2dpcos x, откуда cos x=(d^2+p^2-4)/(2dp). Подставляя d^2-4=pq, получаем d^2+p^2-4=pq+p^2=p(p+q), поэтому cos x=(p(p+q))/(2dp)=(p+q)/(2sqrt(pq+4)). Совершенно аналогично из треугольника OCK cos y=(d^2+q^2-4)/(2dq)=(q(p+q))/(2dq)=(p+q)/(2sqrt(pq+4)). Выражения совпали, значит cos x=cos y, то есть x=y: луч KO делит угол AKC пополам. Так как точки A и C лежат по разные стороны от KO (центр O расположен внутри угла AKC), то AKC=x+y=2x, и AKO=x=( AKC)/(2)=(46^)/(2)=23^. **Точки O,A,K,C лежат на одной окружности.** Из равенства KA* KC=KB^2=d^2-4=OK^2-R^2 и из того, что OA=OC=R, четырёхугольник OAKC оказывается вписанным: вершины A и C видят отрезок OK под одинаковым (или дополняющим до 180^) углом. Прямая проверка подтверждает, что OAK+ OCK=180^ — а это и есть признак вписанного четырёхугольника. Итак, O,A,K,C — концикличны. **Расстояние AC.** В этом вписанном четырёхугольнике OAKC углы при противоположных вершинах K и O в сумме дают 180^: AOC=180^- AKC=180^-46^=134^. Но AOC — это центральный угол исходной окружности, опирающийся на хорду AC. Из равнобедренного треугольника AOC с боковыми сторонами OA=OC=2: AC=2* OA*sin( AOC)/(2)=2* 2*sin(134^)/(2)=4sin 67^. Численно AC=4sin 67^~ 3,68. **Сравнение углов ACK и AOK.** Поскольку O,A,K,C лежат на одной окружности, а точки C и O находятся по одну сторону от хорды AK, вписанные углы ACK и AOK, опирающиеся на одну и ту же хорду AK из одной дуги, равны между собой: ACK= AOK. Поэтому ни один из них не больше другого — **углы одинаковы**. **Ответ:** AKO=23^, AC=4sin 67^, углы ACK и AOK одинаковы.

\(23^\circ,\ 4\sin 67^\circ,\ \text{одинаковы}\)