Задача №18269

Учитель назвал Пете натуральное число и попросил найти сумму его логарифмов по основаниям 3 и 75. Однако Петя, по ошибке, не сложил эти логарифмы, а перемножил их, получив неверный ответ, который оказался вдвое меньше верного. Какое число назвал ему учитель?

Обозначим задуманное учителем натуральное число через $N\text{.}$ Поскольку под логарифмами должно стоять положительное число, а основания $3$ и $75$ положительны и отличны от единицы, выражения ${\log }_{3}N$ и ${\log }_{75}N$ определены при любом натуральном $N\text{.}$

Учитель просил найти сумму логарифмов, то есть верный ответ равен

Петя по ошибке перемножил логарифмы и получил

По условию неверный ответ Пети оказался вдвое меньше верного, то есть

Перейдём к натуральным логарифмам. Положим для краткости $t=\ln N\text{.}$ По формуле перехода к новому основанию

Тогда

Подставим эти выражения в равенство $P=\frac{1}{2}S\text{:}$

Умножая обе части на $\ln 3\ln 75>0\text{,}$ получаем

то есть

Отсюда либо $t=\ln N=0\text{,}$ либо $t=\frac{\ln 75+\ln 3}{2}\text{.}$

Случай $t=0$ отвечает $N=1\text{.}$ При этом оба логарифма равны нулю, так что и сумма, и произведение равны нулю; «вдвое меньшего» в этом случае не возникает (равенство $0=\frac{1}{2}\cdot 0$ не отражает условия о неверном ответе, отличающемся от верного ровно вдвое). Поэтому это решение посторонне и отбрасывается.

Остаётся

откуда

Число $15$ натуральное, что соответствует условию.

Проверка. При $N=15$ имеем ${\log }_{3}15+{\log }_{75}15\approx 2,4650+0,6272=3,0922$ (верный ответ) и ${\log }_{3}15\cdot {\log }_{75}15\approx 2,4650\cdot 0,6272=1,5461$ (ответ Пети). Действительно, $1,5461=\frac{3,0922}{2}\text{,}$ то есть произведение ровно вдвое меньше суммы.

Можно убедиться в этом и точно. Так как $15^2=225=75\cdot 3\text{,}$ то ${\log }_{3}15+{\log }_{75}15={\log }_{3}15+\frac{1}{2}{\log }_{75}225={\log }_{3}15+\frac{1}{2}({\log }_{75}75+{\log }_{75}3)\text{;}$ удобнее заметить, что из $N^2=75\cdot 3$ следует $2{\log }_{3}N={\log }_3(75\cdot 3)={\log }_{3}75+1$ и $2{\log }_{75}N=1+{\log }_{75}3\text{.}$ Перемножая равенства $\ln N=\frac{1}{2}(\ln 75+\ln 3)\text{,}$ как и было получено выше, приходим точно к $P=\frac{1}{2}S\text{.}$

Ответ: учитель назвал число $\boxed{15}\text{.}$