Учитель назвал Пете натуральное число и попросил найти сумму его логарифмов по основаниям 3 и 75. Однако Петя, по ошибке, не сложил эти логарифмы, а перемножил их, получив неверный ответ, который оказался вдвое меньше верного. Какое число назвал ему учитель?

Обозначим задуманное учителем натуральное число через N . Поскольку под логарифмами должно стоять положительное число, а основания 3 и 75 положительны и отличны от единицы, выражения _3 N и _(75) N определены при любом натуральном N . Учитель просил найти **сумму** логарифмов, то есть верный ответ равен S=_3 N+_(75) N. Петя по ошибке **перемножил** логарифмы и получил P=_3 N*_(75) N. По условию неверный ответ Пети оказался вдвое меньше верного, то есть P=(1)/(2)S. Перейдём к натуральным логарифмам. Положим для краткости t=ln N . По формуле перехода к новому основанию _3 N=(ln N)/(ln 3)=(t)/(ln 3), _(75) N=(ln N)/(ln 75)=(t)/(ln 75). Тогда S=t((1)/(ln 3)+(1)/(ln 75))=t*(ln 75+ln 3)/(ln 3ln 75), P=(t^2)/(ln 3ln 75). Подставим эти выражения в равенство P=(1)/(2)S : (t^2)/(ln 3ln 75)=(1)/(2)* t*(ln 75+ln 3)/(ln 3ln 75). Умножая обе части на ln 3ln 75>0 , получаем t^2=(t)/(2)(ln 75+ln 3), то есть t(t-(ln 75+ln 3)/(2))=0. Отсюда либо t=ln N=0 , либо t=(ln 75+ln 3)/(2) . Случай t=0 отвечает N=1 . При этом оба логарифма равны нулю, так что и сумма, и произведение равны нулю; «вдвое меньшего» в этом случае не возникает (равенство 0=12* 0 не отражает условия о неверном ответе, отличающемся от верного ровно вдвое). Поэтому это решение посторонне и отбрасывается. Остаётся ln N=(ln 75+ln 3)/(2)=(ln(75* 3))/(2)=(ln 225)/(2)=(225)=ln 15, откуда N=15. Число 15 натуральное, что соответствует условию. **Проверка.** При N=15 имеем _3 15+_(75)15~ 2,4650+0,6272=3,0922 (верный ответ) и _3 15*_(75)15~ 2,4650* 0,6272=1,5461 (ответ Пети). Действительно, 1,5461=(3,0922)/(2) , то есть произведение ровно вдвое меньше суммы. Можно убедиться в этом и точно. Так как 15^2=225=75* 3 , то _3 15+_(75)15=_3 15+(1)/(2)_(75)225=_3 15+(1)/(2)(_(75)75+_(75)3) ; удобнее заметить, что из N^2=75* 3 следует 2_3 N=_3(75* 3)=_3 75+1 и 2_(75)N=1+_(75)3 . Перемножая равенства ln N=12(ln 75+ln 3) , как и было получено выше, приходим точно к P=12 S . **Ответ:** учитель назвал число 15 .

\(15\)